微课(8) 十字模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

微课（八）十字模型 题型一 正方形的十字模型 模型归纳 《对点演练】 1.(2024广西)如图，边长为5的正方形ABCD, 如图1，E,F分别为正方形ABCD边CD,AD E,F,G,H分别为各边中点，连接AG,BH, 上一点，且AE⊥BF 如图2，E,F,G分别为正方形ABCD边CD, CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形 () AD,BC上一点，且AE⊥GF MNPQ的面积为 如图3，E,F,G,H分别为正方形ABCD边 AB,CD,BC,AD上一点，且EF⊥GH …空内 A.1 B.2 C.5 D.10 2.如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是 图 图2 BA延长线上一点，F是CB上一点，CF 结论：图1中△ABF≌△DAE,AE=BF:图2 AE,连接EF,过点D作DG⊥EF于点H,若 中AE=GF:图3中EF=GH. 第 S△=6，则CF .DG= 例1（人教八下教材P3T8改编）如图，已知四 二 边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,CD 部 上一点，且DE=CF,连接AF,BE相交于点 分 G,探究线段AF,BE有什么关系，并说明 图 3.在例1已知条件和图象都不变的前提下，若 理由， 与 AB=4,DE=1,求AG的长. 何 知识精讲 133 题型二 矩形的十字模型 ◆模型归纲 5.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边 形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，且 CE⊥BD. 如图2，在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在 AD,BC,AB,DC边上，且EF⊥GH. 图1 2 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别 是AB,AD上一点，连接DE,CF,DE⊥CF, 图1 图2 结论：图1中△DCE△ADB,图2中需畏 则配器的值为 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=6,CD 例2如图，四边形ABCD是矩形，E,G分别是 4,点E是AD上一点，连接CE,BD,且CE⊥ BC,AD边上的点，且GE⊥BD,若AB=3, BC=4,求GE的长， BD.则需的值为 第 (③)如图2，在矩形ABCD中，若 =2,点 二部 E是AD上一点，连接CE,BD,且CE⊥BD, 分 点E是否为AD的中点？请说明理由。 图形与几何 对点演练】 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB= AD=10,BC=CD=5,点M,N分别在边BC, AB上.且AMLDN,求的值 友情提灵请完成分层特训P微课（八） 134 指，点中考数学OB=OD, 微课（八）十字模型 在△BOE与△DOE中，{OE=OE, 【例1】解：AF=BE且AF⊥BE.理由如下： BE=DE, ∴.△BOE≌△DOE(SSS). ,四边形ABCD为正方形， ∴∠BEO=∠DEO. ∴.AB=AD=CD,∠BAE=∠ADF=90°. BE=DE, 又.DE=CF, 在△BAE与△DAE中，∠AEB=∠AED, AD-DE=CD-CF,即AE=DF. AE-AE. ∴.△BAE≌△ADF(SAS), .△BAE≌△DAE(SAS)..AB=AD. ∴.AF=BE,∠ABE=∠DAF .四边形ABCD是菱形. :∠ABE+∠AEB=90°， 5.D ∴∠DAF+∠AEB=90°，AF⊥BE. 6.解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 【例2】解：如图，过点A作AK∥GE, 理由：：四边形ABCD为平行四边形， 交BC于点K,交BD于点H. :.0XC-OA-7AC.OB-OD-7BD. 四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,CD=AB=3,∠ABC=∠C=90°， :以点B,C为圆心，2AC,BD长为半径画 .四边形AKEG是平行四边形，.AK=GE GE⊥BD,AK⊥BD, 弧，两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC, ∴∠HAB=∠DBC,∴.△ABK∽△BCD, .四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO 提部=4，D-3∠C=90 为正方形.理由：，AC⊥BD,∴.∠BOC=90°. ∴BD=√BC+CD=√4+32=5， AC-BD.OB-7BD.OC-AC..OB-OC. ÷是-GE-AK- 4 又，四边形BPCO为平行四边形， .四边形BPCO为正方形. 对点演练 7.(1)证明：连接BD,AC 1.C2.2 4√0 :AB∥CD,AD∥BC, 3 .四边形ABCD是平行四边 3.解：由例1可知AF⊥BE,即∠AGB=90° 形，：四边形ABCD中，点 AB=4,DE=1, E,F,G,H分别是各边的中 .AE=AD-DE=4-1=3 点，∴.GF∥BD,HG∥AC, ∴.BE=√AB+AE=√42+32=5， ,四边形EFGH是矩形，∴.HG⊥GF, .BD⊥AC,∴.四边形ABCD是菱形. SA-XAEXAB-XBEXAG. (2)解：记AC与BD交于点O,:四边形AB CD中，点E,F,G,H分别是各边的中点， ÷号X3X4=号×5×AG.AG号 4.解：如图，过点D作DR∥ :.GF-EH-BD.HG-EF-AC, AB交BC的延长线于点R, ,矩形EFGH的周长为22，∴.BD+AC=22, 过点A作AS∥BC交RD ,四边形ABCD是菱形， 的延长线于点S,则四边形 ∴2BD+2AC=0A+0B=1, ABRS是平行四边形 ∠ABC=90°，.四边形ABRS是矩形， .四边形ABCD的面积为10， ∴.∠R=∠=90°，RS=AB=10,AS=BR. ∴2BD·AC=10.即20A0B=10, 过点D作DE⊥AB于点E,连接AC 'AM⊥DN,∴.∠BAM+∠AND=90°. .(OA+OB)2=OA2+20A.OB-+OB2=121, ,∠EDN+∠END=90°，∴.∠BAM=∠EDN, .OA2+OB2=121-10=111, .AB=√OA+OB=√111. ADENAARM,R-器 ·29· DE=BRX-器 第六单元圆 .AB=AD,CB=CD.AC=AC. 第22讲 圆的有关概念和性质 '.△ACD≌△ACB(SSS), 基础知识梳理 ∴.∠ADC=∠ABC=90°， 知识点1 ∴∠RDC+∠SDA=90°. 【教材引入】 .∠SAD+∠SDA=90°，∴.∠SAD=∠RDC, 1.提示：连接点C与边AB的中点D,证明CD= △SAD△RDC,提-認 AD=BD即可： 【知识梳理】1.圆2.弦3.圆心长 RC=x,:0=SD,:.SD=2x,DR=10- 4.等弧6.重合 5 2x,在Rt△CRD中，CD=DR2+RC, 知识点2 【教材引入】 即52=(10-2.x)2+x2, 2.解：分两种情况讨论： 解得x1=3,x2=5(舍去)， ①当弦AB,CD位于圆心O的异侧时，如图 服=5+=8别器-品- 1,过圆心O作EF⊥AB,垂足为E,交CD于 点F,连接OA,OC 5.解：11.2)号 AB∥CD,∴EF⊥CD, (3)点E是AD的中点.理由如下： AE-7AB-12 cm.CF-CD-5 cm. 设AB=CD=a,则AD=√2a,记BD与CE 在Rt△OAE中，OE=√OA-AE区=5cm, 交于点G ,四边形ABCD是矩形， 在Rt△OCF中，OF=√OC-CF=12cm, .∠A=∠EDC=90°. ∴.EF=OF+OE=12+5=17(cm). .CE⊥BD,∴.∠DGC=90°， .∠CDG+∠ECD=90°， ,∠ADB+∠CDG=90°， ∴∠ECD=∠ADB,又，∠CDE=∠A, ∴.△DECp△ABD. 图1 图2 器% -a ②当弦AB,CD位于圆心O的同侧时，如图 a √2a 2,作OE⊥AB,垂足为点E,交CD于点F,连 DE-号。-号AD点E是AD的中点 接OA,OC. 同理可得OE=5cm,OF=12cm, 单元整合方案 .EF=OF-OE=12-5=7(cm). 综上，AB和CD之间的距离为7cm或17cm. 【例1】B【例2】D 【知识梳理】1.直径圆心 【例3】解：BD⊥AD,AB=5,AD=4, 2.平分平分 ①垂直②平分 ③二三 BD=30B=0D=, 3.相等 知识点3 S0B=0B·AD=号×2×4=3 【教材引入】 :AD=4,0D=号∠AD0=90, 3.解：△ABC是等边三角形.证明如下： AC=AC,∴.∠APC=∠ABC=60°， ∴A0=VAD+OD= BC=BC,∴.∠CPB=∠BAC=60°， 2 ,∴.△ABC是等边三角形 △40B的周长为5+号+厘-18+国 【知识梳理】1.圆周角2.一半 2 2 3.(1)相等相等(2)直角直径 【例4】B【例5】C 4.(2)互补 ·30·