微课(6) 相似三角形的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

【知识梳理】1.相等成比例 相似比 2.(1)相等成比例(2)相似比相似比的平方 cos∠DAE=cos30°=AD- AE 2 知识点5 【教材引入】 同理提-9架总 5.(0,2).0,0.(2.0),(2)或0，-2.0. ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. 0.(-2,0).(-2,-2》 罂是.∴BDcE 故(1)中的结论不成立. 【知识梳理】3.(1)相似比 (2)一(3)平行 考点素养精讲 【例619 【例1】B【例2】D【例3】B【例4】48 【例6】解：AE+BF=号AB,证明如下： 【变式1】2：3 【变式2】解：(1)，EF∥BC, 如图，过点D作DN LAC于点N,DH⊥BC于 .△AEFC∽△ABC. 点H. AK,AD分别是△AEF,△ABC的高， 部既紫器 D (2).EH⊥BC,AD⊥BC,.EH∥AD ∠C=90°，AC=BC,∴∠A=∠B=45, 六△BEHO△BAD.EH-BE DN⊥AC,DH⊥BC, AD BA ①. ∴.△ADN和△BDH是等腰直角三角形， 同理影福 ®.①+@，得器+ =1 ..AN=DN,DH=BH,AD=/2AN.BD= V2BH,∠A=∠B=45°=∠ADN=∠BDH, .EH=x,AD=8,BC=12, EF=12-∴S=EH·EF= + △ADNABDH.品- 设AN=DN=x,则BH=DH=2x, 12x=26-40+24 .AD=√2x,BD=2√2x,.AB=3√2x, ,DN⊥AC,DH⊥BC,∠ACB=90°， 当x=4时，S取得最大值，最大值为24. .四边形DHCN是矩形， 【例5】D ∴.∠NDH=90°=∠EDF, 对点演练 ∴∠EDN=∠FDH,又：∠END=∠FHD, 1.B2.A3.D4.205.A △EDNAFDH.器B别号 2 微课（六)相似三角形的常见模型 【例1】A【例2】(1)B(2)D ∴FH=2EN,AE+BF=x+EN+ 【例3】(1)证明：CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥ BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°， ∴.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE= 对点演练 90°，∠C=∠DBE,△ABC△DEB. 1.D 2.C (2)解：：△ABC∽△DEB, 品司 4.解：如图，分别过点A,E作BC的垂线，相交于 品0品是BD-8 点H,G,易证△EGD∽△DHA(一线三垂直). 【例4】解：(1)相等 (2)不成立，理由：在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠DAE=∠BAC=30°， G D H ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE, 设DE=√3a,AD=2a,则AE=√DE+AD= 即∠BAD=∠CAE. √7a,∴BE=6-√7a, ·24· 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6, AC-AR-2/3.BC-2AC-4/5. sin B=310 10 ,c0sB=10 10,tanB-3. 在Rt△BEG中，∠EBG=30°，BE=6-√7a, (3)sin A=3 2,cos A= ,tan A=3,sin B= 则BG-些=8-在R△AHC中， 2'cos B=3 2,tanB= 3 C-60AC-23.AH-3AC-3. 【知识梳理】 b 2 知识点2 DH=√AD-AF=√4a-9,由△EGD∽ 【教材引入】 △DiA,器-器图 3 2 2解：原式-号+号- √4a2-9 解得a=3 5,a:=-3V7(舍)， 2原式-号×名号=- 2 放AE-7a=2马 (3)原式-(+5×号-2， 5.√26.D 1 7.证明：过点P作PM⊥AB于点M, (4)原式 3 +B=3-1. 2 PN⊥AC于点N,则四边形PNAM为矩形， 2 知识点3 【教材引入】 3.(1)∠B=60°，a=4,b=43. (2)∠B=75°，a≈1.9，c≈7.2. ∴.PM=AN.由折叠可知，∠DPE=∠A=90°， (3)c=13,∠A≈23°，∠B≈67° ∴.∠ADP+∠AEP=180°，：∠PEN+ 【知识梳理】1.(1)a2+=c2 ∠AEP=180°，∴∠ADP=∠PEN. (2②)∠A+∠B=90(3号名号 a b 又：∠DMP=∠ENP=90°， APMP△ENR0兴：∠C-4行. 2.已知元素 未知元素 知识点4 ∴△PNC是等腰直角三角形，.PN=NC 【教材引入】 ∠PNC=∠A=90°，∴.PN∥AB, 4.解：如图，过点A作AC⊥BD于点C. 即兴腮 北 PNPC' 器咒PCPD=BPE B 第19讲 锐角三角函数 在B点测得小岛A在北偏东60的方向上， 在D点测得小岛A在北偏东30的方向上， 基础知识梳理 .∠ABD=90°-60°=30°，∠ADC=90° 知识点1 30°=60°， 【教材引入】 ∴.∠BAD=∠ADC-∠ABD=60°-30°=30°， L解：0血A=号osA-22mA-是， ∴.∠BAD=∠ABD,.∴BD=AD=12 n mile, 3 sin B=2/2 在R△ADC中，n∠ADC=m60-S 3,cos B=1 3,tan B=22. 10,cosA=30 (2)sinA=0, AC-AD·s60=12×号-65amie)> 0,tanA=3: 8 n mile. ·25·对点演练 若OB:BB=2·3,则△ABC1的面积是 4.跨物理学科物理课上学过小孔成像的原理， () 2024杨州 A.90 cm2 B.135 cm2 它是一种利用光的直线传播特性实现图像投 C.150 cm2 D.375 cm2 影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 《对点演练 经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB'.设 AB=36cm,A'B'=24cm.小孔O到AB的 5.(2024浙江)如图，在平面直角坐标系中， 距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为 △ABC与△A'B'C是位似图形，位似中心为 cm. 点O.若点A(一3,1)的对应点为A'(一6， 2),则点B(一2,4)的对应点B的坐标为 ( 30em十2cm 第4题图 例5图 考点4位似 A.(-4,8) B.(8,-4) 例5(2024凉山)如图，一块面积为60cm的三 C.(-8,4) D.(4,-8) 角形硬纸板（记为△ABC)平行于投影面时，在 点光源O的照射下形成的投影是△A1BC, 友情提示请完成分层特训P:第18讲 第 微课（六） 相似三角形的常见模型 部 题型一 A字型 分 《对点演练 ●模型归纳 形 1.正A字型：根据同位角相等可得另外一组对 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 应角相等，得这两个三角形相似， 上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED 几 何 2.斜交型：根据条件找除公共角外另一组角也 的是 相等或者公共角的两边对应成比例，得这两 个三角形相似， 3.当没有说明对应角的关系时，需分情况讨论。 A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C ∠ACB=909 DE⊥AB B c是船 n品怨 正A字型 斜交型 双垂直共角型 (DE∥BC) 2.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B= 例1如图，在△ABC中，点D在 90°，D为AB的中点，E在线段AC 边AB上，过点D作DE∥BC 交AC于点E.若AD=2,BD= 上，铝瓷则晓的值为 3,则哈是的值是 A B号 A号 B.Z c C或号 D.1 知识精讲 111 题型二 8字型 。模型归纳 A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 em D.1 cm 有一组隐含的等角（对顶角），需要从已知 (2)如图，线段AE,BD交于点C,如果AC=9, 条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相 等.若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则 CE=4,BC=CD=6,DE=3,则AB的长为 需要分类讨论。 AB/ICD ∠A=∠C或∠B=∠D 正8字型 斜8字型 B.3 C.4 D 9 《对点渍练 D C ABICDIEF ∠A=∠C或∠ABF=∠CDF 3.(2024吉林)如图，正方形ABCD的对角线 三平行型 共享型 AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点 例2(1)如图，某零件的外径为10cm, F是OD上一点，连接EF.若∠FEO=45°， 第 用一个交叉卡钳（两条尺长AC和 BD相等)可测量零件的内孔直径 则瓷的值为 部 AB.如果OA：OC=OB：OD= 分 3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为 ☒ 图 ( 与 题型三 一线三等角型 何 模型归纳 3.以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等 角顶点在同一直线上，也形成“一线三等角” 1.点P在线段AB上（同侧型） 模型，其中∠1=∠2=∠3，可根据三角形内 角和及补角得到另一组等角，可得图中两阴 影部分三角形相似， 一线三等锐角 一线三垂直 一线三等钝角 已知：∠1=∠2=∠3，结论：△APC∽△BDP, 2.点P在线段AB的延长线上（异侧型） 例3如图，CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段 AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB=8, AC=6,DE=4. 线三等锐角 一线三垂直 线三等钝角 已知：∠1=∠2=∠3，结论：△APCp△BDP. 112 指点中考数学 (1)求证：△ABC△DEB; 《对点演练 (2)求线段BD的长 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°， 点D在BC边上由点C向点B运动（不与点 B,C重合)，过点D作DE⊥AD,交射线AB 于点E.若AB=6,当5=受时，求AE 的长 各用图 题型四“手拉手”旋转型 第 ●模型归纳 顶点的直角三角形，∠DAE=∠BAC=30°， 部 (1)中的结论还成立吗？请说明理由. 根据两组对应边之比始终相等，以及旋转 分 角相等得到两个三角形相似.该模型的难度较 大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出 题，对考生的综合能力要求较高，考查知识点有 与 相似、旋转、勾股定理、锐角三角函数等 何 已知DE∥BC 绕点A旋转△ADE B 例4[问题发现] (1)如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶 《对点演练 点的等边三角形，BD,CE的关系是 5.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角 (填“相等”或“不相等”)： 形，∠ABC=∠EFC=90°，点E在△ABC 内，连接BF,AE.若AE=2,则BF的长为 图1 图2 工类比探究] (2)如图2所示，△ABC和△ADE是有公共 知识精讲 113 题型五 母子型 。模型归纳 例5如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC= √3AB=3BD,则AD:AC的值为 有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到 两个三角形相似.不仅要熟记模型，还要熟记模型 的结论，当题目中给出三角形边的乘积或比例关 系时，要能快速地判断题中的相似三角形，模型中 对点演练 由△ACD∽△ABC可以得到AC=AD·AB. 6.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,已 知AD=4,BD=9,则CD的长为 () ∠ACB=909 CD⊥AB B 母子型，也称共边共角型 双垂直共角共线型」 已知：∠ACD=∠ABC 也称射影定理型 A.23 C.313D.6 结论：△ACDn△ABC 题型六 对角互补型 时，试探究线段AE,BF,AB之间的数量关 第 模型归纳 系，请写出结论并证明. 利用角度互补关系找等角，得到相似三角 部 形，通常过一直角顶点向边或边的延长线作垂 分 线，构造相似三角形.如图，△ODE∽△OHF, 形 几 公一 例6探究式学习是新课程倡导的重要学习方 《对点演练 式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC 7.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°， 中，∠C=90°，AC=BC,D是AB边上一点， 将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上 且品-m为正整数)，E是AC边上的动 的点P处，求证：PC·PD=PB·PE 点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F. 图2 [初步感知](1)如图1，当n=1时，兴趣小组 探究得出结论：AE+BF=号AB, [深入探究](2)当n=2,且点F在线段BC上 友情提示请完成分层特训P,微课（六） 114 指点中考数学