微课(5) 中点问题中的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

构造 题型四 利用角平分线作对称轴 全等三角形 模型归纳 况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE, 即可求OE=ON=5,由题意可证△PMN≌ 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，AB>AC.在AB上截取AF=AC,连接 △PDE,可求OD的长. DF.结论：△ACD≌△AFD. 《对点演练 4.如图，∠AOB=30°，点M,N分别在边OA, OB上，且OM=3,ON=5,点P,Q分别在边 D D OB,OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 例4如图，点P是∠AOB的平分线OC上 点，PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一 点.已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点， 若满足PD=PM,则OD的长度为 A.34 B.√35 C.√34-2 D.W35-2 [思路分析]过点P作PE⊥OA于点E,分点 第 D在线段OE上，点D在射线EA上两种情 友情提示请完成分层特训P1微课（四） 二 部 分 微课（五） 中点问题中的常见模型 图 题型一 遇中点找中点，构造三角形中位线 与 模型归纳 不共线，设AC,BC的中点分别为M,N,若 何 MN=3米，则AB ( 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的 中位线，利用三角形中位线的性质定理得DE∥ BC且DE= BC,△ADE∽△ABC,解决线段 A4米 B.6米 C.8米 D.10米 之间的相等关系、比例关系或平行问题， 《对点演练 连接DE D 1.如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB=120°， 构造中位线 D是边AB的中点，E是边BC上一点，若 取另一边中点 DE平分△ABC的周长，则DE的长为 D 构造中位线 B4 过点A作AE∥CD 交BC的延长线 于点E 例1如图，A,B两点被池塘隔开，A,B,C三点 B②+1 2 C.2 D.√3 104 指，点中考数学 题型二 遇直角三角形斜边的中点，构造斜边中线 ·模型归纳 《对点演练 直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上 2.如图，已知DE是△ABC的中位线，AB=6, 的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半，即 AC=10,点F是DE延长线上一点，且 CD=AD=BD=2AB来证明线段间的数量关 ∠AFC=90°，则线段EF的长为 () 系，且可以得到两个等腰三角形：△ACD, △BCD,该方法经常会与中位线定理一起综合 应用， 构造直角三角 A.5 B.4 C.3 D.2 形斜边上的中线 3.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中， 例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 点D在CG上，BC=1,CE=3,点H是AF 90°，点D,E分别是边AB,AC的中 的中点，那么CH的长是 点，延张BC至点F,使CF-2BC 第 若AB=10,则EF的长是 部 题型三 遇等腰三角形底边的中点，作中线，构造“三线合一” 分 模型归纳 对点演练 形 4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, 等腰三角形中有底边的中点时，常作底边 几 BD⊥CD,∠A=∠ABD.若BD=1,BC=3, 何 上的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶 则AC的长为 ( 角平分线“三线合一”的性质得到∠BAD= ∠CAD,AD⊥BC,BD=CD,解决线段相等及 平行问题、角度之间的相等问题 A.5 B.4 C.3 D.2 连接AD 5.如图，在△ABC中，AB=BC=7,BD平分∠ABC 交AC于点D,点F在BC上，且BF=1,连接 AF,E为AF的中点，连接DE,则DE的长为 例3如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6, () 点M为BC的中点，MN⊥AC于点N,则 MN的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 知识精讲 105 题型四 遇边的垂线经过边的中点，联想“线段的垂直平分线” 模型归纳 遇到边的垂线经过边的中点，常联想到线 ED C 段的垂直平分线，连接线段垂直平分线上的点 [思路分析]连接AE,由EF是AB的垂直平 和线段的端点，根据线段的垂直平分线的性质， 分线，可得BE=AE,又BE=AC,∴.AE= 得到BE=CE. AC,∴·△ACE是等腰三角形，利用“三线合 此模型的作用：(1)证明线段相等或求线段长 一”的性质得到∠CAD=∠EAD,再结合已 (周长)：(2)构造角相等进行等量代换 知角度数与三角形内角和可求解。 《对点演练 连接B 6.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是 AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E. 例4如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF 若CE=3,AC=4,则DE的长为 交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE 的中点，BE=AC.若∠BAC=75°，则∠B的 度数为 第 题型五 遇三角形一边的中点，倍长中线，构造全等三角形 部 模型归纳 BC于点F,构造全等三角形，根据边的关系 分 求出BF的长度，再利用勾股定理求解， 当遇到中线或者中点时，可以尝试用倍长 中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关 与 系，该方法经常会与中位线定理一起综合应用. 何 倍长中线AD 《对点演练 7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， 点F是AD上一点，延长BF交AC于点E, 倍长类中线ED 且AE=EF.求证：BF=AC 例5如图，已知AB=12,AB⊥BC,垂足为点 B,AB⊥AD,垂足为点A,AD=5,BC=10, 点E是CD的中点，求AE的长. [思路分析]点E是CD的中点，延长AE交 友情提示请完成分层特训P:微课（五） 106 指，点中考数学∠F=∠DEB, 对点演练 在△DFC和△DEB中，{∠FCD=∠EBD, 1.C2.D3.54.A5.B6.5 DF-DE, 7.证明：如图，延长FD到点G,使DG=DF,连 ∴.△DFC≌△DEB(AAS)...DB=DC 接CG. [应用]2a 2.9 3.证明：如图，延长BE交CA的延长线于点F. AD是BC边上的中线，.BD=CD 易证△BDF≌△CDG(SAS), ∴.BF=CG,∠BFD=∠G .CD平分∠ACB,∴.∠BCE=∠FCE .'AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA=∠BFD I∠BCE=∠FCE. .∠G=∠EAF.∴.AC=CG..BF=AC 在△BEC和△FEC中，CE=CE, ∠BEC=∠FEC, 第18讲相似三角形 ∴.△BEC≌△FEC(ASA.).BE=FE=BE 基础知识梳理 知识点1 :∠CDA+∠ACD=90°， 【教材引入】 ∠CFE+∠ACD=90°，∴.∠CDA=∠CFE, 1.解：设两地的实际距离为xcm, 即∠CDA=∠BFA. ∠CAD=∠BAF, 由题意得10000000 1 30,解得x=300000000, 在△CAD和△BAF中，∠CDA=∠BFA, ,300000000cm=3000km, AC=AB. ∴.两地的实际距离为3000km .△CAD≌△BAF(AAS).∴.CD=BF 【知识梳理】 1.相等bc BE-7CD. 2.bc c±d 35-1 d 0.618 d 4.A 知识点2 微课（五）中点问题中的常见模型 【教材引入】 2.解：AG=2,GD=1, 【例1】B【例2】5【例3】号 【例4】35 ∴.AD=3,AB∥CD∥EF,DF=5, 【例5】解：如图，延长AE交BC于点F. 器架是 5 D 【知识梳理】 DE 1. DE DE 2 AE AC 知识点3 点E是CD的中点，DE=CE 【教材引入】 .'AB⊥BC,AB⊥AD, 玉解，(1相似，原因是提斧品=区 .AD∥BC,.∠ADE=∠BCE. I∠ADE=∠FCE, ②)h瓷瓷.∠ACB=∠BCD,知△ACn 在△AED和△FEC中，{DE=CE, △EDC,所以x=40.5,y=98. ∠AED=∠FEC, 【知识梳理】1.相似三角形相似比 ∴.△AED≌△FEC(ASA). 2.(1)相等成比例(2)相似比(3)相似比 .'.AD=FC=5,AE=EF. 相似比的平方 ∴.BF=BC-FC=BC-AD=5. 3.平行三边成比例夹角相等成比例 ∴.在Rt△ABF中，AF=√AB+BF=13. 知识点4 ..AE-AF_13 【教材引入】 221 4.略 ·23·