微课(4) 角平分线的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

【知识梳理】 等边 (1)BCAC(2)60 ∴.EF+FD=AE+CD, 60(3)三 (4)所有(5)等边 (6)等边 ∴AE+CD=DE=AC, 等边(7)60°60° 3 AC=AB=6,∴.DE=3. 知识点3 【例3】C 【教材引入】 【例4】(1)证明：，ADLBC,∴∠ADC=∠BDF 3.解：由题意可得AB=2BC,AC十BC= 9O,在R△ADC和R△BDF中，DC=DF, (AC=BF, AB,即4+AB=AB,解得AB=4(负值 ∴，Rt△ADC≌Rt△BDF(HL). (2)证明：.Rt△ADC≌Rt△BDF,.∠C 已舍去). ∠BFD,:'∠DBF+∠BFD=90°， 【知识梳理】 (1)互余 (2)一半(3)一半 ∴.∠C+∠DBF=90°，∴.BE⊥AC (4)c2(6)直角 (7)直角 (3)解：.Rt△ADC≌Rt△BDF, 考点素养精讲 BD=4,CD=3,BF=5, 【例1】(1)解：∠ABE=∠ACD.理由如下. ..AD=BD=4.AC=BF=5.BC=BD+ 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, CD-7,SA-BC.AD-AC.BE, 所以△ABE≌△ACD(SAS).所以∠ABE= ∠ACD. ∴号X7X4=号×5XBE∴BE- 5 (2)证明：因为AB=AC,所以∠APC=∠ACB. 对点演练 由(1)可知∠ABE=∠ACD, 1.B2.C 3.D4.B5.A6.8 所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为 微课（四）角平分线的常见模型 AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直 平分线上，即过点A,F的直线垂直平分线段 【例1】1【例2】2【例3】W2-1 BC. 【例4】3或7解法提示：过点P作PE⊥OA于 【例2】解：(1)证明：如图1，过点P作PF∥BC 点E,:点P是∠AOB的平分线OC上一点， 可得OE=ON=5,①如图1，若点D在线段 交AC于点F. OE上，连接PD,易证△PMN≌△PDE, 则DE=MN=2,∴.OD=OE-DE=3. ②如图2，若点D在射线EA上，连接PD, 易证△PMN≌△PDE,则DE=MN=2, 图1 ∴.OD=OE+DE=7.综上，OD=3或7. ,△ABC是等边三角形， 0 .△AFP也是等边三角形 ∴.∠AFP=∠BCA=60°，AP=PF=CQ, ∴.∠DFP=∠DCQ. 图2 ∠PDF=∠QDC, 对点演练 在△PDF和△QDC中，{∠DFP=∠DCQ, 1.[探究]证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E, PF=QC, DF⊥AC于点F. ∴.△PDF≌△QDC(AAS),∴.PD=QD. (2)解：如图2，过点P作PF∥BC交AC于点F ,AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF, ,PF∥BC,△ABC是等边三角形， ∠F=∠DEB=90°. △APF是等边三角形， ∠EBD+∠ACD=180°， ∴.AP=PF=AF,.PE⊥AC,∴.AE=EF ∠ACD+∠FCD=180°， 由(1)得△PFD≌△QCD,.FD=CD, ∠EBD=∠FCD. ·22· ∠F=∠DEB, 对点演练 在△DFC和△DEB中，{∠FCD=∠EBD, 1.C2.D3.54.A5.B6.5 DF-DE, 7.证明：如图，延长FD到点G,使DG=DF,连 ∴.△DFC≌△DEB(AAS)...DB=DC 接CG. [应用]2a 2.9 3.证明：如图，延长BE交CA的延长线于点F. AD是BC边上的中线，.BD=CD 易证△BDF≌△CDG(SAS), ∴.BF=CG,∠BFD=∠G .CD平分∠ACB,∴.∠BCE=∠FCE .'AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA=∠BFD I∠BCE=∠FCE. .∠G=∠EAF.∴.AC=CG..BF=AC 在△BEC和△FEC中，CE=CE, ∠BEC=∠FEC, 第18讲相似三角形 ∴.△BEC≌△FEC(ASA.).BE=FE=BE 基础知识梳理 知识点1 :∠CDA+∠ACD=90°， 【教材引入】 ∠CFE+∠ACD=90°，∴.∠CDA=∠CFE, 1.解：设两地的实际距离为xcm, 即∠CDA=∠BFA. ∠CAD=∠BAF, 由题意得10000000 1 30,解得x=300000000, 在△CAD和△BAF中，∠CDA=∠BFA, ,300000000cm=3000km, AC=AB. ∴.两地的实际距离为3000km .△CAD≌△BAF(AAS).∴.CD=BF 【知识梳理】 1.相等bc BE-7CD. 2.bc c±d 35-1 d 0.618 d 4.A 知识点2 微课（五）中点问题中的常见模型 【教材引入】 2.解：AG=2,GD=1, 【例1】B【例2】5【例3】号 【例4】35 ∴.AD=3,AB∥CD∥EF,DF=5, 【例5】解：如图，延长AE交BC于点F. 器架是 5 D 【知识梳理】 DE 1. DE DE 2 AE AC 知识点3 点E是CD的中点，DE=CE 【教材引入】 .'AB⊥BC,AB⊥AD, 玉解，(1相似，原因是提斧品=区 .AD∥BC,.∠ADE=∠BCE. I∠ADE=∠FCE, ②)h瓷瓷.∠ACB=∠BCD,知△ACn 在△AED和△FEC中，{DE=CE, △EDC,所以x=40.5,y=98. ∠AED=∠FEC, 【知识梳理】1.相似三角形相似比 ∴.△AED≌△FEC(ASA). 2.(1)相等成比例(2)相似比(3)相似比 .'.AD=FC=5,AE=EF. 相似比的平方 ∴.BF=BC-FC=BC-AD=5. 3.平行三边成比例夹角相等成比例 ∴.在Rt△ABF中，AF=√AB+BF=13. 知识点4 ..AE-AF_13 【教材引入】 221 4.略 ·23·对点演练 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB 5.(2024青海)如图，在Rt△ABC中， 交BC于点D,BC=12,则BD= D是AC的中点，∠BDC=60, AC=6,则BC的长是 ( D A.3 B.6 C.3 D.33 友情提示请完成分层特训P第17讲 微课（四） 角平分线的常见模型 题型一 构造 角平分线十边的垂线号双垂直 ◆模型归纳 ∠ACD=180°，∠ABD90°.求证：DB=DC [应用]如图3，在四边形ABDC中，∠B 过角平分线上一点P向角两边作垂线，这 45°，∠C=135°，DB=DC=a,则AB-AC= 两条垂线段相等，两个垂足到角顶点的距离 .(用含a的代数式表示) 相等 第 部 如图，点P在∠AOB的平分线上，PD LOA. 分 辅助线作法：作PE⊥OB. 图 结论：PD=PE 形 原理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下 步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为 半径作弧，分别交AC,AB于点M,N:②分别 以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作 弧，在∠BAC内两弧交于点O:③作射线 AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为 1,则CD的长为 对点演练 1.[感知]如图1，AD平分∠BAC,∠B十∠C 180°，∠B=90°，易知：DB=DC [探究]如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+ 102 指，点中考数学 题型二 角平分线十平行线 构造 等腰三角形 模型归纳 结论：△ODP是等腰三角形. 注：若已知△ODP是等腰三角形，可证DP∥CC 过角平分线上一点P作平行线，构造等腰 例2如图，在△ABC中，AC=5,AD是△ABC 三角形 的角平分线，DE∥AB.若CE=3,则DE的 已知OC平分∠AOB. 情况1：如图1，点P在角平分线O℃上. 长是 图 《对点演练 辅助线作法：作PD∥OB 2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分 结论：△ODP是等腰三角形 线相交于点E,过点E作MN∥BC交AB于 情况2：如图2，点P在角的一边上. 点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线 段MN的长为 第 图2 辅助线作法：作PD∥OC. 部 构造 题型三 角平分线十角平分线的垂线 二等腰三角形 分 图 ◆模型归纳 《对点演练 与 过角平分线上一点P作垂线，构造等腰三 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， 角形 CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的 何 如图，点P在∠AOB的平分线上，DP⊥OP, 延长线上.求证：BE-=2CD, 辅助线作法：延长DP交OB于点E. 结论：△ODE是等腰三角形 例3如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC 90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD 的延长线上，F为AB的中点，则EF的长等 于 知识精讲 103 构造 题型四 利用角平分线作对称轴 全等三角形 模型归纳 况讨论，利用角平分线的性质可得PV=PE, 即可求OE=ON=5,由题意可证△PMN≌ 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，AB>AC.在AB上截取AF=AC,连接 △PDE,可求OD的长， DF.结论：△ACD≌△AFD, 《对点演练 4.如图，∠AOB=30°，点M,N分别在边OA, OB上，且OM=3,ON=5,点P,Q分别在边 OB,OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 例4如图，点P是∠AOB的平分线OC上 点，PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一 点.已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点， 若满足PD=PM,则OD的长度为 A./34 B.√35 C.√34-2 D.√35-2 [思路分析]过点P作PE⊥OA于点E,分点 第 D在线段OE上，点D在射线EA上两种情 友债提示请完成分层特训P1微课（四） 部 分 微课（五） 中点问题中的常见模型 图 题型一 遇中点找中点，构造三角形中位线 模型归纳 不共线，设AC,BC的中点分别为M,N,若 何 MN=3米，则AB= 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的 中位线，利用三角形中位线的性质定理得DE∥ BC且DE= 2BC,△ADE△ABC,解决线段 A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 之间的相等关系、比例关系或平行问题， 对点演练 连按DE 1.如图，在△ABC中，AC=2,2,∠ACB=120°， 造小级 D是边AB的中点，E是边BC上一点，若 取方·边中点 DE平分△ABC的周长，则DE的长为 均边中位线 B4 过点作A/D 交BC的延长线 于点E 例1如图，A,B两点被池塘隔开，A,B,C三点 B12+1 D.3 2 2 C.2 104 指，点中考数学