微课(3) 全等三角形的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

考点素养精讲 在Rt△ACD中，AD+CD=AC, 【例1】D【例2】100°【例3】(1)C (2)C ∴.(4a)2+(3a)2=25, 【例4】(1)C(2)D a>0,∴a=5. 对点演练 答：砌墙砖块的厚度a为5cm. 1.4(答案不唯一，大于2且小于8的数均可) 对点演练 2.B3.B4.A 1.A2.D3.6 第16讲 全等三角形 微课（三）全等三角形的常见模型 【例1】(1)证明：，AD=BE, 基础知识梳理 .'.AD++DB=BE+DB,AB=DE. 知识点1 .AC=DF,BC=EF, 【教材引入】 ∴.△ABC≌△DEF(SSS). 1.解：I)对应边：EF与NM,FC与MH,EG与NH (2)解：，△ABC≌△DEF,∠A=55°， 对应角：∠E与∠N,∠EGF与∠NHM ∴∠A=∠FDE=55°，∠E=45°， (2)NM=EF=2.1 cm,HG=NH-NG= ∴∠F=180°-∠FDE-∠E=80°. NH-EH=2.2 cm. 【例2】(1)证明：在△ABC和△BAD中， 【知识梳理】1.重合 ∠C=∠D, ∠CBA=∠DAB,.△ABC≌△BAD(AAS). 2.(1)相等相等(2)相等 相等 相等 AB-BA, 知识点2 (2)20. 【教材引入】 【例3】证明：，AC∥DB,∠A=∠B. 2.0.8 ∠A=∠B. 3.证明：，∠1=∠2，∴.∠1+∠ECA=∠2+ 在△AOC和△BOD中，AO=BO, ∠ACE,即∠ACB=∠DCE. ∠AOC=∠BOD. CA-CD. .△AOC≌△BOD.∴.AC=BD 在△ABC和△DEC中，{∠ACB=∠DCE, 【例4】证明：，∠B=∠C=90°，∠AED=90°， BC=EC, ∴·∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°， .△ABC≌△DEC(SAS),.AB=DE. ∴.∠BAE=∠CED. 【知识梳理】SSS SAS ASA AAS HL ∠B=∠C, 在△ABE和△ECD中，AB=EC, 考点素养精讲 ∠BAE=∠CED 【例1】(1)/ (2)× (3)×(4)× (5)× .△ABE≌△ECD(ASA),∴.AE=ED (6)× ,∠AED=90°，.△ADE是等腰直角三角形 【例2】B 【例5】解：(1)，△ABC和△ADE均为等边三角 【例3】(1)证明：由题意得AC=BC,∠ACB= 形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= 90°，AD⊥DE,BE⊥DE ∠B=60°，∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE ∴.∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=90, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE.∴.△BAD≌ ∴∠ACD+∠CAD=90°，.∠BCE=∠CAD. △CAE(SAS).∴.∠ACE=∠B=60 (2)AC=CD+CE.证明如下： ∠ADC=∠CEB, 由(1)得△BAD≌△CAE,.BD=CE. 在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE, .AC=BC=BD+CD...AC=CD+CE. AC=BC, 【例6】证明：如图，连接CD, ∴.△ADC≌△CEB(AAS). (2)解：，'一块墙砖的厚度为acm, ∴.AD=4a,BE=3a, 由(1)得△ADC≌△CEB,∴.DC=BE=3a, ∠ACB=90°，AC=BC,AD=DB, ·20· AB=√2AC,∠A=∠B=∠ACD=45°， AD=CD=BD,CD⊥AB,:ED⊥FD. ∴∠EDF=∠CDB=9O°，∴.∠CDE=∠BDF, △CDE≌△BDF(ASA),∴.CE=BF, C :∠ACB=90°，∴.∠DBC+∠BOC=90° AE+BF=AE+CE=AC-号AB BD⊥AD,∴.∠ADB=∠ACB=90°. 【例7】证明：如图，由于AB=AD,将△ABE绕 ∴.∠PAC+∠AOD=90°. 点A逆时针旋转90°至△ADG,AB与AD ∠BOC=∠AOD,∴∠PAC=∠DBC. .'AP=BD,AC=BC. 重合， ∴.△APC≌△BDC(SAS). ∴.CP=CD,∠ACP=∠BCD. ∴∠ACD+∠PCD=∠ACD+∠ACB. G F D ∴.∠PCD=∠ACB=90°. 则∠DAG=∠BAE,AE=AG,BE=DG. ∴△PCD是等腰直角三角形 在正方形ABCD中，∠ADC=∠B=90°= ∴.∠CDP=45°.∠ADC=135. ∠ADG,∴∠FDG=180°，即点F,D,G共线. 6.4 ∴·∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+ 7.解：BD+CE=DE ∠BAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF. 理由：如图，将△ACE绕点A顺 AF=AF. 时针旋转90°到△ABF的位置， 在△EAF和△GAF中，∠EAF=∠GAF, 连接DF,则∠BAF=∠CAE, AE-AG. BF-CE. ∴.△EAF≌△GAF(SAS). AB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°， ..EF=FG=DG+DF=BE+DF. ∴.∠ABD=∠C=45°，∠BAD+∠CAE=45. 对点演练 又∠BAF=∠CAE, 1.证明：AB∥DE,.∠A=∠D,AF=DC, ∴.∠FAD=∠BAF+∠BAD=45°=∠DAE. ..AF+CF=DC+CF.AC=DF. (AD-AD. (AC-DF. 在△ADF和△ADE中，{∠FAD=∠EAD, 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D, AF-AE AB-DE. .△ADF≌△ADE(SAS)..DF=DE .△ABC≌△DEF(SAS),∴.∠B=∠E ·∠ABD=∠C=∠ABF=45° 2.证明：·AB=AC,D,E分别为AC,AB的中 ∴.∠DBF=90°.△BDF是直角三角形 点，∴.AD=AE ∴.BD+BF2=DF2,∴.BD2+CE=DE. (AB=AC. 在△ABD和△ACE中，∠A=∠A, 第17讲 等腰三角形和直角三角形 AD-AE. 基础知识梳理 ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE. 知识点1 3.证明：·∠CAF=∠BAE 【教材引入】 ∴.∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC, 1.38.5 即∠EAF=∠BAC. 【知识梳理】 等腰(1)AC(2)等角ACB ∠C=∠F, (3)平分线中线高CD CAD(4)中 在△BAC和△EAF中，{AC=AF, 平分高AD所在的直线(5)两(6)等 ∠BAC=∠EAF, 边ACAD ∴.△BAC≌△EAF(ASA),∴.AB=AE. 知识点2 4.120 【教材引入】 5.解：如图，延长AD到点P,使得AP=BD,连 2.解：与BD相等的线段有CD,CF,BE,DE, 接CP,设AC与BD的交点为O. FD.AF.AE. ·21·微课（三） 全等三角形的常见模型 题型一 平移型 模型归纳 《对点演练 1.已知：如图，AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求 平移模型中，有一组边共线或部分重合，另 证：∠B=∠E 外两组边分别平行，常要在移动方向上加（或 减)公共线段，得到线段相等，或利用平行线的 性质得到对应角相等 44△A 例1(2024内江)如图，点A,D,B,E在同一条直 线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF (1)求证：△ABC≌△DEF: (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数， 第 二部 分 形与 题型二 轴对称型（折叠型） 何 ◆模型归纳 例2(2024镇江)如图，∠C=∠D=90°，∠CBA= ∠DAB. 所给图形沿某一条直线折叠，直线两旁的 (1)求证：△ABC≌△BAD: 部分能够完全重合，重合的点就是全等三角形 (2)若∠DAB=70°，则∠CAB= 的对应点，解题时要注意其隐含条件，即公共边 或公共角相等，此模型分为以下两类情况： 1.共边（共直线）型 《对点演练 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别是 公共边A( 公共边BC, 公北边1G ∠A0B=∠D0G AC和AB的中点.求证：BD=CE. 2.共顶点（共角）型 BAC/DAE 公共角∠1 公共角∠E4 94 指点中考数学 题型三 旋转型 ●模型归纳 边或者角边角都可以证明△AOC≌△BOD, 再由全等三角形的性质可得AC=BD 1.共顶点旋转型（含手拉手模型） 此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转 一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角 形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得 到等角.（注：遇到共顶点，等线段考虑用旋转） (1)无重叠型 (2)有重叠型 《对点演练 3.如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边 上，∠C=∠F,AC=AF,∠CAF=∠BAE, ∠1=∠2台∠BAC=∠DAE 两个等边二角形 EF与AC交于点G.求证：AB=AE. 第 二部分 两个等腰直角二角形 两个止方形 2.不共顶点旋转型 所给图形是一个中心对称图形，一个三角形 绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三 形与几何 角形，两个三角形有一组边共线，构造线段相 等，并利用平行线性质找到对应角相等， 女人 例3如图，AB,CD相交于点O,AO=BO, AC∥DB.求证：AC=BD [思路分析]有公共顶点O,有一对相等的对 顶角∠AOC=∠BOD,由AC∥DB可得到两 组内错角相等，本题有多种证明方法，用角角 知识精讲 95 题型四 一线三等角 。模型归纳 ∠AED=90°.若AB=EC,求证：△ADE是 等腰直角三角形. 同在一条直线上出现三个相等的角，其中 两个角的一边落在该直线上，第三个角的顶点 落在该直线上.在一线三等角模型中，常利用三 角形的内角和等于180°和同角（等角）的余角 (补角)相等证明角相等， 基本图形有以下三种：（已知∠1=∠2=∠3，两 个三角形中有一组边相等) L.一线三等锐角型：△APC≌△BDP 2.一线三等钝角型：△APC≌△BDP. 第 部 对点演练 分 图 3.一线三垂直型：△ACB≌△CDE 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点P,D分别是 BC,AC边上的点，且BP=CD,∠APD= 与 ∠B,若∠APB=120°，则∠CDP的度数为 何 例4如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，点E是边BC上一点，连接AE,DE, 题型五 手拉手模型 ●模型归纳 双等腰：AB=AC,AD=AE. 共顶点：线段AB,AC,AD,AE交于点A. 顶角相等：∠BAC=∠DAE. 例5如图，△ABC和△ADE均为等边三角形， 旋转得全等：连接CE,BD,△ACE绕点A旋转 点D在边BC上，连接CE 得△ABD≌△ACE. (1)求∠ACE的度数： 96 指，点中考数学 (2)猜想线段AC,CD,CE之间的数量关系， 《对点演练 并加以证明， 5.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC, BD⊥AD,连接DC,当点D在AC右侧时，求 ∠ADC的度数 [思路分析]找顶点：等腰三角形两腰的交，点 A,构造等角证全等三角形. 题型六 对角互补模型 一模型归纳 [思路分析]连接CD,构造全等三角形 图形特点：有一组对角互补，且有一组邻边 第 相等。 常见四边形对角互补模型：90°的对角互补模 型，120的对角互补模型。 二部分图 常用辅助线作法： 形与几何 0 NE\F B 1.通过旋转构造全等三角形：将△COD绕点C 旋转，使CD与CE重合，得到△CFE: 2.过顶点作垂线：过点C分别作OA,OB的垂 《对点演练 线，垂足分别为M,N. 6.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于 例6在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是 点O,点M是边AD上一点，连接OM,过点 AB边上一点，E是AC边上的动点，过点D O作ON⊥OM交CD于点N.若四边形 作DE的垂线交直线BC于点F.如图，当 MOND的面积是1，则正方形ABCD的面积 AD=BD时，求证：AE+BF-号AB 为 知识精讲 97 题型七 半角模型 模型归纳 [思路分析]利用旅转将△ABE与△ADF拼 接到一起，再利用全等三角形解决问题 当一个角包含着这个角的半角，常将半角 两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三 角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成 的三角形全等. 《对点演练】 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC D 等边三角形含半价，∠0C=120 点D,E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想 线段BD,DE,EC满足的等量关系，并说明 理由. 等腰白角角形含半角 第 G D 方形含半角 例7如图，点E,F分别在正方形 部 ABCD的边BC,CD上，∠EAF 分 45,连接EF,求证：EF=BE+DF 2友情提示请完成分层特训P,微课（三） 形 第17讲 等腰三角形和直角三角形 何 课标与考情 课标要求 考情分析 1理解等腰一角形的枝念，探索并证明等腰一角形的性 根据湖北近年来的巾考趋势，关于等腰一角形和有角一 质定理等腰二角形的两个底角相等：底边」上的高线、中 角形的题型主要包括选择题、填空题和解答题；具体分偵和 线及顶角平分线重合探崇并掌描等腰三角形的判定定 题型分布会因年份而有所不同，但总休来说，这两部分内容 理：有两个角相等的三角形是等腰三角形探索等边三角 在中考数学试卷中占有一定比重等腰三角形上要考查性质， 形的性质定理：等边二角形的各角都等于60°探索等边 判定和应用，直角三角形主要考在勾股定理及其逆定理、锐 三角形的判定定理：三个角都相等的三角形或有一个角 角二角函数和相似的相关性质湖北中考命题始终注重对学生 基础知识的考仓，等腰三角形和直角三角形的性质、判定定 是60的等腰三角形)足等边一角形. 理及基本应川是必考内容.在考查基础知识的同时.中考合题 2理解直角三角形的概念，探索并掌琳直角三角形的性 也強调对知识的理解和应用能力例如，通过设计实际问题考 质定理：有角一二角形的两个锐角互余.直角一角形斜边 古学生运用等腰一角形和有角二角形的性质进行求解的能小， 上的中线等于斜边的一半掌捏有两个角互余的三角形 在解答题中，等要一角形和直角三角形的知识往往与其他知 是直角三角形探索勾股定理及其逆定理，并能运用它 识点相结合进行综合考查，如与函数、方程、网边形等知识 们解决一些简单的实际问题」 点的结合 98 指点中考数学