第30讲 概率-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第30讲概率 课标与考情 课标要求 考情分析 1能通过列表、画树状图等方法列出简单随机率件所有 结合2022版新课标和24年中考题我们发现，概率既考杏了 可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结 对确定中件、随机中件的定义的理解，包折必然中什和不可能 事件的意义，又考查了通过列表或画树状图结合概率公式求简 果。了解随机事件的概车 单随机中件的概半的方法需要同学们同时月备数据观念和数学 2知道通过大量严复试晚，可以用颜率砧计概率 建模的能力.概率占比约为3到6分，雄度系数约为07 知识点1 事件的分类 3.随机事件：在一定条件下可能 ,也可 能 的事件，它的概率是0一1之间. >教材引入 知识点② 概率的定义、计算和应用 L.(人教九上表材P128练习)指出下列事件中， 哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是 》教材引入 随机事件。 2.(人教九上教材P152T6)同时掷两枚质地均匀 (1)通常加热到100℃时，水沸腾： 的骰子，求点数的和小于5的概率. (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中： (3)掷一次骰子，向上一面的点数是6； (4)任意画一个三角形，其内角和是360°： (5)经过有交通信号灯的路口，遇到红灯： (6)射击运动员射击一次，命中靶心 第 部 》知识梳理 统 1.概率的定义：一个事件发生的可能性的 2.事件A发生的概率：在一次试验中，共有n种 与概 的结果，并且它们发生的可能性都 》知识梳理 相等，事件A包含了其中的m种结果，则事 1.必然事件：在一定条件下一定 的事 件A发生的概率P(A)=m 件，它的概率是1. (1)当事件A是必然事件时，P(A)= 2.不可能事件：在一定条件下一定 的 (2)当事件A是不可能事件时，P(A)=: 事件，它的概率是0. (3)当事件A是随机事件时， 188 指点中考数学 3.用列举法求概率 (2)适用条件：当试验的所有可能结果不是有 (1)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并 限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我 且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏 们一般要通过统计频率来估计概率。 地列出所有可能的结果，通常采用列表法求 (3)方法：进行大量重复试验，当事件发生的 事件发生的概率. 频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认 (2)画树状图法：当一次试验要涉及2个或更 为是这个事件发生的概率 多的因素时，通常采用画树状图来求事件发 (4)用面积法求概率：当随机事件的概率大小与 生的概率 几何图形的面积有关时，往往利用面积法求概 [提示]在运用“列表法或画树状图法”求概率 率，计算公式为P(A)=事件A发生的面积 时，一定要注意“放回”和“不放回”的区别. 总面积 4.用频率估计概率 5.概率的应用 (1)概念：一般地，在大量重复试验中，如果事 游戏公平性：概率是和实际结合非常紧密的 件发生的频率 在某个常数P附近， 数学知识，可以对生活中的某些现象做出评 判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数 因此，用一个事件发生的频率m来估计这一 学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事 事件发生的概率。 件做出决策， 考点1事件的分类及概率公式的简 归纳总结·初中阶段的概率模型绝大多数是古 单应用 典概率模型，且是等可能概型.满足以下两个特 例1(2024武汉)小美和小好同学做“石头、剪 点：①可能出现的不同情况种数是有限个：②每 种情况等可能的出现.概率的求法就是用题目 刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个 中事件包含的情况种数除以总的情况种数，所以 事件是 ( 关键就是要找全所有可能出现的情况，以及能够 第 A.随机事件 B.不可能事件 使题目中的事件发生的情况.古典概率满足以下 三 C.必然事件 D.确定性事件 三个性质： 部 分 例2原创今年的欧洲杯在德国举行，最后杀 (1)非负性：对于每一个事件A,都有0≤P(A)≤1： 统 (2)规范性：对于必然事件B,有P(B)=1,对于 入四强的球队分别是法国、荷兰、英格兰和西 计 不可能事件C,有P(C)=0: 班牙.半决赛分别是法国对阵西班牙、荷兰对 (3)有限可加性：有限个两两互不相容事件的和 概 阵英格兰，请问最后刚好是西班牙和英格兰 事件的概率等于每个事件概率的和。 杀入决赛的概率是 《对点演练 A.1 2 1.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富 的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语 C.3 当中所包含的语言文化现象，是我们学习语 知识精讲 189 言、学习中国传统文化必不可少的一个环节 其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并 和目的.下列成语所描述的事件中，属于必然 摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取 事件的是 ( ) 到白色小球的概率为 ( A只手遮天 B.缘木求鱼 A B司 C.瓮中捉鳖 D.拔苗助长 2.传统文化 归纳总结●两步及以下随机事件发生的概率适合 2024广东 二十四节气，它基本概括了一年中 用枚举法或者列表法来求，三步及以上随机事件 四季交替的准确时间以及大自然中一些气候 发生的概率适合用画树状图法求概率.这都是为 等自然现象发生的规律，二十四个节气分别 高中即将要学习的分类计数原理和分步计数原理 为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 进行辅垫.列表或画树状图的关键在于找准可变 雨)，夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大 因素及随机变化的情况种数.例如本题中有两个 暑)，秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜 可变因素：一是取出的第一个小球的颜色，二是取 降)，冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大 出的第二个小球的颜色.每一个可变因素都有两 寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽 种情况：红、白.因为是有放回抽样，所以两次取出 到的节气在夏季的概率为 ( 小球的颜色不影响，第一次取白和第二次取白是 A号 8是 相互独立事件，每次取出白球的概率都是0.5，可 用分步计数原理进行计算：吃×}子 c 《对点演练 考点2利用频率估计概率及列举法 3.(2024贵州改编)小马同学通过大量重复的点 求概率 球练习，用频率估计他射中的概率为0.6，下 例3(2024贵州)小星同学通过大量重复的定点 列说法正确的是 投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4， A.小马踢点球1次，不一定能射中 下列说法正确的是 ( B.小马踢点球1次，一定可以射中 第 A.小星定点投篮1次，不一定能投中 C.小马踢点球10次，一定射中6次 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 D.小马踢点球5次，一定有2次不能射中 部 C.小星定点投篮10次，一定投中4次 分 4.(2024福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数 D.小星定点投篮4次，一定投中1次 统 都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数 归纳总结◆非古典模型随机事件的概率不容易 学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了 与 通过计算得出，可利用大量试验得出事件发生的 世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取 率 頫率来估计其概率.利用频率估计概率一般研究 两个不同的数，其和是偶数的概率是( 的是随机事件，就是有可能发生也有可能不发生 的事件，一般不研究确定事件，即必然事件与不 A B号 可能事件 n号 例4(2024北京)不透明的袋子中装有一个红色 小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无 宝蜜友情提示请完成分层特训P第30讲 190 指点中考数学【知识梳理】5.(1)频数(2)总次数 (2)13.5,13. (4)①差②5到12③一位小数④分布表 (3),乙种小麦苗高方差7.85<甲种小麦苗 知识点3 高方差8.65， 【教材引入】 ∴.甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙. 4.解：(1)平均数为6003.5元，中位数为4300 由题可知：乙种小麦随机抽取16株麦苗中苗 元，众数为2550元. 高在10≤x<13有5株， (2)平均数代表这14名员工的平均工资水 ∴，若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取 平，中位数代表这14名员工工资的中间水 1200株，估计苗高在10≤x<13的株数为 平，众数代表大多数员工工资的普遍水平 【知识梳理】1.正=}（a十十十十) 1200×号-375（株）。 5.解：(1)2000.(2)45. 2.x= xf十x2f+…+xfh (3)尽量少使用手机：控制使用手机的时长 11 等.（答案不唯一） 3.最多4.最中间 平均数5.差 第30讲 概率 6.=[(-x0+-++(红，-)门 基础知识梳理 波动幅度大小 知识点1 考点素养精讲 【教材引入】 【例1】(1)B(2)B【例2】D【例3】120 1.(1)是必然事件，(2)(3)(5)(6)是随机事件， 【例4】解：(1)样本容量为14÷35%=40，故A (4)是不可能事件 组人数为40一10一14一4=12（人）. 【知识梳理】1.会发生 2.不会发生 补全的条形统计图如下： 3.发生不发生 16 人数 知识点2 14 【教材引入】 2.解：列表表示两次掷骰子的点数如下： 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1.5) (1.6) ABCD组别 (2400×14+4=180(人). (2.1) (2,2) (2.3) (2,4) (2.5) (2.6) 40 (3.1) (3,2) (3.3) (3,4) (3.5) (3.6) 答：估计该校八年级参加测试的400名男生 (4.1) (4.2) (4,3) (4.4) (4.5) (4,6) 中成绩不低于10个的人数大约有180人. (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (3)平均数表示抽取的40名学生的平均成 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 绩；众数表示抽取的40名学生中得分在某 个分数的人数最多：中位数表示抽取的40 如上表所示，在36种等可能发生的情况当 名学生中，成绩从小到大排列后位于最中间 中，点数小于5的情况占6种 的两个分数的平均数.（任选其中一个说明 所以P(点数和小于5)-= 3661 即可) 【知识梳理】 1.大小 2.等可能 (1)1 对点演练 (2)0(3)0<P(A)<14.稳定 1.C2.D3.甲 4.解：(1)2,4. 考点素养精讲 补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下： 【例1】A【例2】D【例3】A【例4】D 1频数 对点演练 1.C2.D3.A4.B 单元整合方案 【例1】A【例2】B【例3】D【例4】910 710131619乙种小麦苗高/em 【例5】D【例6】D ·40· 分层特训 第一部分数与代数 14.2915.2m(x+2y)(x-2y) 第一单元数与式 16.解：原式=(x2+4x+4)-(x2+3) =x2+4x+4-x2-3 第1讲实数及其运算 =4x+1, 1.C2.D3.A4.C5.C6.D7.B 当x=-2时，原式=4×(-2)+1=-7. 8.A9.一210.2（答案不唯一） 17.解：(a+3b)2+(a+3b)(a-3b) 11.4.3×10-1712.D13. =a2+6ab+9b+a2-9b 14.解：原式=4-2十5=7. =2a2+6ab. 15.解：原式=1+22-2×2+2=32. 当a=2,b=-1时， 原式=2×22+6×2×(-1) 16.解：原式=-2×号+1+2-1+4 =8-12 =-4. =-√2+1+√2-1+4 18.解：(1)观察图形得所有裁剪线的长度之和 =4. 为(6m+6m)cm 17.解：V16+2sin60°-(x-2024)°+3-2 (2)(2m+n)(m+2n). =4+2×9-1+2-6 (3)由题意知m=10cm,2m2十2n2=58cm, 则m2+2=29cm2, =5+5-√5 ∴.(m+n)2=m2+n2+2m2 =5. =29+20=49cm2. 18.解：1-31+24t+1 2+/5 -(1-30 19.1)证明：3m十=么，mn=C =3-1+26+ 2-√5 ∴.b=a(3m+n),c=amn, (2+3)(2-3) 则6-12ac=[a(3m+n)]2-12a2m =3-1+2√6+2-√3-1 =a2(92+6mm+2)-12a2mm =2√6. =a2(92-6mn十n2) =a2(3m-n)2. 第2讲整式与因式分解 a,m,n是实数，a(3m-n)2≥0，.b- 1.B2.D3.C4.D5.D 12ac为非负数. 6.117.a(a+2)8.3(x-3)2 (2)解：m,n不可能都为整数.理由如下： 9.解：(x十y)2+x(x-2y) 若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n都 =x2+2xy+y2+x2-2xy 为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个 =2x2+y; 为偶数. 当x=1,y=-2时， ①当m,n都为奇数时，3m十n必为偶数， 原式=2×12+(-2)2=2+4=6. 10.解：原式=(xy-4x2)+(4x2-y2) 叉3m+n=2b=a3n+m =xy-4x2+4.x2-y2 a为奇数，∴.a(3m十n)必为偶数，这与b =xy-y, 为奇数矛盾； 当x=2y=2时.原式=2×2-2=1 ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶 数时，必为偶数. 4=-3. 11.B12.B13.b-a2 又：mm=S,.c=a. a ·41