第25讲 尺规作图和网格作图-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第七单元 图形与变换 第25讲尺规作图和网格作图 课标与考情 课标要求 考情分析 1罩握五种基木尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线：作 结合2022版新课标和2024年的巾考邀，主 条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作 亚考查判断作图痕迹，根据作图痕迹进行计算 这条直线的平行线 或证明，根据尺规作图步骤判断结论正设、尺 2能用尺规作图（在尺规作图中，学生应了解作图的原理，保僻作图的痕 规作图，网格作图，设计作图六类模型，考杏 透，不要求马出作法：作一个角等」已知伯；作一个角的平分线；作 尺规作图的五个基本作图及其应川，综合考查 一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线：过直线外一点作 学生的观察、猜想、推理意识，发展几何宜观， 这条直线的平行线；已三边，两边及其夹角，两角及其夹边作三角 在2024年湖北巾考卷选择题第8题考查根据作图 形：已知底边及底边上的扁线作等腰二角形：知一直角边和斜边作直 痕迹进行角的计算，分值3分，占比25%，难度 角一角形：过不在同条直线上的一点作圆；作角形的外接圆、内 位为0.5；2024年武汉卷解答题第21题考杏网格 切圆：作圆的内接正方形和内接正六边形；*过圆外一点作圆的切线。 作图.分位为8分，占比6.67%，难度位为0.3 第 部 知识点① 尺规作图 》知识梳理 分 2教材引入 L.五种基本尺规作图 形 1.(人教八上教材P82T8)尺规作图：经过已知直 (1)基本作图一：作一条线段等于已知线段. 线上的一点作这条直线的垂线。 图示及作法： L 何 ①作射线OP: ②以点O为圆心，a为半径作 ,交 OP于点A, 即为所求线段， (2)基本作图二：作一个角等于已知角. 图示及作法： ①在∠a上以点O 为圆心， 为半径作弧，交∠a的两边 于点P,Q: ②作射线OA: ③以点O为圆心，OP的长为半径作弧，交OA 于点M: ④以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，交前 弧于点V: 知识精讲 157 ⑤作射线ON, 即为所求角， (3)基本作图三：作已知角的平分线， m n ①图示及作法： 注：只选取一边一角时，可以作等腰三角形 以点O为圆心， 为半 ②已知底边及底边上的高作等腰三角形：用 径作弧，分别交OA,OB于点N,M: 基本尺规作图的类型一、四，如图： ②分别以点M,N为圆心， 为半径作弧，两弧相交于点P: 底 ③作射线OP,OP即为所求角的平分线。 (4)基本作图四：作已知线段的垂直平分线。 ③已知两角及其夹边作三角形：用基本尺规 图示及作法： 作图的类型一、二，如图： ①分别以点A,B为圆心， 为半径作弧，两弧相交于点M,N; ②连接MN,直线MN即为所求线段的垂直 ④已知一直角边和斜边作直角三角形：用基 平分线 本尺规作图的类型一、五，如图： (5)基本作图五：过一点作已知直线的垂线. a.点在直线上 第 斜边a 图示与作法： 直角边6 部 ①以点P为圆心 为半 (2)与圆有关的作图： ①过不在同一条直线上的三点作图：用基本 分 径向点P两侧作弧，交直线于 点任白战上 尺规作图的类型四，如图： 图 A,B两点： 形 ②分别以点A,B为圆心， 与 为半径在直线同侧作弧，两弧交于点M: 何 ③连接MP,直线MP即为所求直线的垂线. ②作三角形的外接圆：用基本尺规作图的类 b.点在直线外 型四，如图： 图示与作法： ①在直线另一侧任取一点M: ②以点P为圆心， 为半 点在直线外 ③作三角形的内切圆：用基本尺规作图的类 径作弧，交直线于A,B两点： 型三、五，如图： ③分别以点A,B为圆心， 为半径作 弧，两弧交于点V(不与点P重合)； ④连接PN,直线PN即为所求直线的垂线. 2.利用五种基本作图作图形 ④过⊙O外一点Q作⊙O的切线：用基本尺 规作图的类型四，如图： (1)作三角形 ①已知两边及夹角：用基本尺规作图的类型 一、二，如图： 158 指，点中考数学 ⑤作圆的内接正六边形：用基本尺规作图的 2.平移：设点P的坐标为(a,b),则点P向右平 类型一，如图： 移m个单位长度得到点P,( );点P 向左平移m个单位长度得到点P2( 点P向上平移m个单位长度得到点P3( );点P向下平移m个单位长度得到点 知识点② 网格中的变换特征 P,( 2教材引入 3.旋转：以某点为中心将图形旋转一定角度 2.(人最七下教材P79T8)如图，三角形ABC中任 如：将线段AB绕坐标原点O顺时针（逆时 意一点P(x,%)经平移后对应点为P(x十 针)旋转90°. 5,%十3)，将三角形ABC作同样的平移得到 三角形A1BC.求A,B,C的坐标 B P4x+5,+3)】 -3.3 2,订 (1)连接旋转中心O与其中一个关键点A: 第 320T2多567花 -1.1) (2)将线段OA顺时针（逆时针）旋转90°，得 二 到OA1(OA2): 部 (3)用同样的方法得到点B,(B2): 分 (4)连接AB1(A2B2). 图 4.位似：以某点为位似中心将图形按相似比放 与 大或缩小 何 5-432-) 如：已知线段AB,以原点O为位似中心画出 线段A'B',使其与AB的相似比为2：1. 》知识梳理 (1)连接位似中心O与其中一个关键点A,并 L.对称：设点P的坐标为(a,b),则点P关于x 向两侧延长： 轴的对称点为P1( ),点P关于 (2)在直线QA上取点A',使得OA'= y轴的对称点为P2( ),点P关 (3)用同样的方法得到点B; 于原点的对称点为P( ). (4)连接A'B'. 知识精讲 159 素养精讲 考点1判断作图痕迹 《对点滨练 例1(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角 2.(2024贵州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线 平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如 段AB的长为半径画弧，交BC于点D,连接 下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有 AD.若AB=5,则AD的长为 3.(2024天津改编)如图，R1△ABC中，∠C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径 点演练 画弧，交AB于点E,交AC于点F:再分别以 1.(2024河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线 点E,F为圆心，大于EF的长为半径画孤， 段BD一定是△ABC的 两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部 第 相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D, 则∠ADC的大小为 部 分 A.角平分线 B.高线 D米 图 C.中位线 D.中线 形 与 考点2根据作图痕迹进行计算或证明 4.(2024苏州)如图，△ABC中，AB=AC,分别以 例2(2024湖北)如图，AB是半圆O的直径，C 何 为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为 B,C为圆心，大于号BC长为半径画弧，两弧 半径画弧，交BA于点M,交BC于点N,分 交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于 别以点M.N为圆心，大于号MN的长为半径 点E.求证：△ABD≌△ACD. 画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D,画 射线BD,连接AC.若∠CAB=50°，则∠CBD 的度数是 A.30 B.25 C.20 D.15 [思路分析]由圆周角定理得到∠ACB=90°， 由直角三角形的性质得到∠ABC=40°，根据 角平分线的定义即可求得答案. 160 指，点中考数学 考点3根据尺规作图步骤判断结论正误 (2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O逆 例3(2024泰安)如图，Rt△ABC中，∠ABC 时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证： 四边形ABCD是矩形. 90°，分别以顶点A,C为圆心，大于2AC的长 为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N, 作直线MN分别与BC,AC交于点E和点 F:以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别 交AB,AC于点H和点G, 再分别以点H,点G为圆心， 大于HG的长为半径画弧， 两弧交于点P,作射线AP,若射线AP恰好 经过点E,则下列四个结论： ①∠C=30°：②AP垂直平分线段BF: 《对点演练 ③CE=2BE;④Smr= 6.(2024广东)如图，在△ABC中，∠C=90° 其中，正确结论的个数有 () (1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分 第 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 线AD交BC于点D:(保留作图痕迹，不要求 点演练】 写作法) 部 5.(2024成都)在☐ABCD中，按以下步骤作图： (2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为 分 ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别 圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D 图 交BA,BC于点M,N:②分别以M,N为圆 形 相切. 与 心，以大于号MN的长为半径作弧，两弧在 何 ∠ABC内交于点O:③作射线B),交AD于 点E,交CD延长线于点F.若CD=3,DE=2, 下列结论错误的是 A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF n膘- 考点4尺规作图 例4(2024广州)如图，Rt△ABC中，∠B=90. (1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作 图痕迹，不写作法)： 知识精讲 161 7.(2024杨州)如图，已知∠PAQ及AP边上一 (4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋转 点C. 180°，画对应线段MV(点A与点M对应，点 (1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作 B与点N对应) 点O,使得∠COQ=2∠CAQ:(保留作图痕 迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，以点O为圆心，以OA为 半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺 和圆规在射线CP上求作点M,使点M到点 (2 C的距离与点M到射线AQ的距离相等.（保 留作图痕迹，不写作法》 第 二部 分 图形与 对点演练 何 8.(2024安餐)如图，在由边长为1个单位长度的 考点5网格作图 小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 例5(2024武汉)如图是由小正方形组成的3×4 xOy,格点（网格线的交点）A,B,C,D的坐标 网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC 分别为(7,8)，(2,8).(10,4)，(5,4). 三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给 定网格中完成四个画图任务，每个任务的画 线不得超过三条 (1)在图(1)中，画射线AD交BC于点D,使 AD平分△ABC的面积： (2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E,使 ∠ECB=∠ACB: (1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180 (3)在图(2)中，先画点F,使点A绕点F顺时 得到△AB,C1,画出△ABC: 针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于 (2)直接写出以B,C,B:,C为顶点的四边形 点G: 的面积； 162 指点中考数学 (3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得 考点6设计作图 射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标. 例6(2024广安)如图，矩形纸片的长为4，宽为 3,矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方 形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点， 现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分 成两块纸片，请在下列备用图中，用实线画出 符合相应要求的剪裁线 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生 改变但仍须沿着网格线剪裁： ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或 翻折后能完全重合则视为同一情况. 树块纸片 两块纸用 两块纸片 灼块纸片不 9.(2024吉林)图①、图②均是4×4的正方形网 是全等形 是全等形 是全等形 是全等形仙 而积等 格，每个小正方形的顶点称为格点.点A,B, 《对点演练 C,D,E,O均在格点上.图①中已画出四边形 第 10.(2024上海)同学用两副三角板拼出了如图的 ABCD,图②中已画出以OE为半径的⊙O 平行四边形，且内部留白部分也是平行四边 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求 部 形（直角三角板互不重叠） 画图。 分 (1)若直角三角形斜边上的高都为h,求： (1)在图①中，画出四边形ABCD的一条对 图 ①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）： 称轴； 与 ②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）： (2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线。 (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的 何 图，要求：①不与给定的图形状相同：②画出 三角形的边 图 图2 友情提示请完成分层特训P:第25讲 知识精讲 163“.OA=OC=10 cm...FO-6cm.OF=8cm 2.a+m,b a-m,b a,b+m a,b-m *.EF=OF-OE=2(cm); 4.(2)2OA 考点素养精讲 【例1】D【例2】C【例3】D 【例4】(1)解:如图,线段BO为 AC边上的中线 (2)证明::点O是AC的中 图1 图2 点,..AO-CO. ②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2 ·.将中线BO绕点O逆时针旋转180得到 ·AB=16cm,CD=12 cm. DO...BO-DO. ..AE-8cm,CF-6cm. .四边形ABCD是平行四边形 :OA-OC=10 cm..'.OE=6cm.OF=8 cm. · ABC=90{,.'.四边形ABCD是矩形 ..EF=OF+OE=14(cm). 【例5】解;(1)如图(1),线段AD即为所求 ·.AB与CD之间的距离为14cm或2cm (2)如图(1),点E即为所求 【例2】B【例3】60{或120。 第七单元 图形与变换 B 第25讲 尺规作图和网格作图 基础知识梳理 (ì) 知识点1 (2) 【教材引入】 (3)如图(2),点F,射线AF,点G即为所求 1.解:已知点C是直线AB上一点 (4)如图(2),线段MN即为所求 求作:过点C作直线AB的垂线 【例6】解:方法如图所示:(答案不唯一) 如图,(1)在直线AB上取一点D,使点D与 点C不重合,以点C为圆心,CD长为半径作 两块纸片 孤,交AB于另一点E; 两块纸片 是全等形 是全等形 为半径作狐,两狐相交于点F; (3)作直线CF,则直线CF就是所求作的 两块纸片不 两块纸片 是全等形但 垂线. 是全等形 而积相等 # 对点演练 1.B 2.5 3.65 1B 4. 证明:由作图知BD=CD.在ABD和 ACE [AB-AC. 中,{BD=CD,..△ABD△ACD(SSS). 【知识梳理】1.(1)②狐OA (2)①适当的 长 MON(3)①任意长 ②大于MN AD一AD, 5.D (4)①大于AB的长 的长 (5)①任意长 6.(1)解:如图,AD即为所求 的长 知识点2 (2)证明:过点D作DEAB于点E, 【教材引入】 .AD平分 BAC,C=90*.:.DE=CD 2.A.(3,6),B.(1,2).C(7,3). ..DE为D的半径...AB与D相切. 【知识梳理】 1.a,-b-a,b -a,-b 7.解:(1)如图,点Q即为所求 .36· 知识点3 【教材引入】 4.D 5.(1)是长方体;(2)是圆柱;(3)是球 【知识梳理】 1.(1)①前 后 ②左 右 (2)如图,点B,点M即为所求 ③上 下(2)①长 高 宽 8.解:(1)如图,\A.B.C 即为所求 2.长对正、高平齐、宽相等 考点素养精讲 【例1】C【例2】(1)C (2)A 【例3】(1)A(2)D 对点演练 1.B 2. B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.C (2)40. 第27讲 图形的折叠与对称 (3)如图,点E即为所求(答案不唯一),点E 基础知识梳理 的坐标为(6,6). 知识点1 9.解:(1)如图(①所示,直线GH即为所求 【教材引入】 1.略 (2)如图②所示,直线AB即为所求, 1.对称轴 【知识梳理】 2.对称点 知识点2 【教材引入】 $. $A'B'$C'$=$B-90$},AB-A'B'$=6 m$.$$$ 【知识梳理】 】1.相等 垂直平分 2.大小 图① 图② 3.对称轴 知识点3 10.解;(1)①等腰直角三角板的直角边为/2h;含 【教材引入】 3.略 【知识梳理】 1 1.轴对称 2.全等 相等 ②小平行四边形的底为(2一②)h,高为 3.垂直平分 4.相等 6-6-43+2、 32-23 考点素养精讲 2 3,面积为 3 【例1】(1)C(2)C【例2】A【例3】C (2)如图: 【例4】2-③或2+③或2 对点演练 第26讲 简单几何体、视图与投影 基础知识梳理 微课(十二) 与折叠有关的常见模型 知识点1 【教材引入】 (2)(3.-5)或(-3,0) 1.略 2.A 1.(1)8 6 12 相等 【例2】A 【知识梳理】 (2)8 6 12 相等(3)圆形 无数条 【例3】(1)证明:如图,:四边形 (4)1 扇形 2.线 面 体 ABCD是矩形,.A-D= 知识点2 C=90”,1+3-90”, 【教材引入】 .E,F分别在AD,BC上,将 3.略 四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点F 【知识梳理】 1.平行光线 落在DC上, 2.同一点(点光源)3.正投影 .EPH- A-90{*,1+2=90*, .37·