第24讲 与圆有关的计算-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

∴.∠ACB=90°， ∴.∠OAD=∠ADP=∠BDP, ∴.∠DCA+∠OCA=∠OCA+∠OCB=90°， ∴.∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+ ∠OCD=90°，.DC是⊙O的切线 ∠BDP=∠ADB, (2)解：设OC=OA=r, 在Rt△AOP中，OP=√OA+AP=10. “mD品-青千2青 sim∠ADB=sin∠AOP-S-8-A OP1051 D .r=8..QC=OA=8,在Rt△QCD 4.(1)证明：连接OC,,1是⊙O的 中，CD=√0D-0C=√8+2)2-8=6. 切线，.OC⊥，AD⊥l, .∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90°， .OC∥AD,∴.∠CAD=∠ACO= ∴∠ECF=∠BFG,又：∠BFG=∠EFC, ∠CAB,.'∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠ECF=∠EFC,∴.EC=EF. .△ABC∽△ACD. (2)解：.AC=5,CD=4,∠ADC=90°， 设EC=EF=x,·'∠D=∠D,∠DCO=∠DGE, △D0Co△DEG品-品则6 ∴.AD=√AC-CD=3, 千2解得x=14,经检验，=14是所列方 △ACn△ACD.0-6, 即AB5 5 AB- 00的半径为号 程的解，且符合题意，∴.CE的长为14. 2.(1)证明：AF=BE,∴.∠ABF=∠BAE, 第24讲 与圆有关的计算 ,∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF=18O°， 基础知识梳理 且∠CAD=∠CDA, 知识点1 ∴.∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE= 【教材入】 180°，∴.∠OAD=∠CAD+∠BAE=90°， 1.至少需要12√3mm .OA是⊙O的半径，且AD⊥OA,∴.AD是 2.A(-2,0)B(-1,-√3)C(1,-3) ⊙O的切线. D(2,0)E(1,√3)F(-1.√3) (2)解：连接AF,AF=BE,BE= 【知识梳理】1.(1)圆心(2)中心 4,AD=25,AF=BE=4, 知识点2 :AB是⊙O的直径，∴.∠AFD=∠AFB= 【教材入】 3.解：图中管道的展直长度为1=3000十2× 90°，∴.DF=√AD-AF=√(25)2-42=2， π×1000≈6142(mm). :∠BAD=∠AFD=90,8- 2 DE 4.解：设AB=R,AD=r, tanD-号=2，AD=2AB, ∴.S扇形ABC 360R,S5e 120 120 360π， OA=号AB=AD=25,∴.⊙0的半径长 ∴.S扇面=Sm形ABC一 角形ADE 60R 12 360r-2 120 120 360π(R2-2) 为2√5. 3.解：如图，连接OA. 330-(30-20)2]3x(900-100 :PA,PB分别与⊙O相切于点 A,B,∴.PA=PB,PO平分∠APB 800r(cm2). OA⊥AP..∠APD=∠BPD, cm2. AP=BP, 答：扇面的面积为800r 在△APD和△BPD中，{∠APD=∠BPD, 【知识梳理】 DP=DP, 2哥 360 .'.△APD≌△BPD(SAS), 知识点3 ∴∠ADP=∠BDP, 【教材引入】 5.解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4m, .CD=12,∴.OA=OD=6, 圆锥的高为0.3m,圆柱的高为0.8m, ·33· 则圆锥的母线长为0.5m ∴.圆锥的侧面积S=π×0.4×0.5=0.2π(m), 圆柱的侧面积S2=2π×0.4×0.8=0.64π(m). ∴.浮筒的表面积为2S十S=1.04≈3.266()， ∴.100×3.266×0.11≈35.93(kg). 答：要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用 .BD是直径，.∠BAD=90°， 35.93kg的锌. :弦AB的长为8，且cOs∠ABC-4 【知识梳理】1.扇形周长半径2.πr 3.l什24.等腰P=2+h2 部品解得BD=10, 考点素养精讲 ∴.⊙0的半径为5. 【例1】C (2)如图，过点C作CE⊥AB于点E, 【例2】(1)证明：如图，连接OD. .⊙O的半径为5，.OB=5, BD=BC. 在△BOD和△BOC中，OD=OC, 0C-30BBC=0B=号. OB=OB. “LADC--号既- .△BOD≌△BOC,∴.∠ODB=∠ACB. ∠ACB=90°，∴.∠ODB=90°， 即BE =4 15 ，解得BE=6, .AB⊥OD,AB是⊙O的切线， 2 (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=OE=r. ∴.AE=AB-BE=2,CE=√BC-BE= .'AD=3,AE=1...OA=AE+OE=r+1. 9 在Rt△AOD中，AD+OD=OA, 号∠BAC的正切值为是 29 24 ∴.()2十2=(r+1)2,解得r=1, 0A=2.0D=1∴o∠A0D-8- 【例3】1)证明：“∠ACB=2∠AOB,∠BAC ∴.∠AOD=60°，.∠COD=120°. ∠B0C.∠AB=2∠BAC 由(1)得，△BOD≌△BOC, ∴.∠AOB=2∠BOC ∴∠B0D-∠B0C-号∠COD=60, (2)解：如图，过点O作半径OD⊥AB于点 l合=60xX11 E,连接DB. 180 元 【例3】(1)C(2)D【例4】(1)3 (2) 9x 【例5】(1)D(2)C 对点演练 .'.AE=BE, 1.B2.C3.11π4.3000π 5.C6.1500π7.B8.√3R,W2R,R :∠AOB=2∠BOC,∠DOB=2∠AOB. 微课（十）圆中常见辅助线的作法 ∴.∠DOB=∠BOC.∴.BD=BC 【例1】62 AB=4,BC=√5，∴.BE=2,DB=5, 【例2】解：(1)如图，延长BC,交⊙O于点D,连 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， 接AD. ∴.DE=√BD-BE=1, ·34·第24讲与圆有关的计算 课标与考情 课标要求 考情分析 1.了解正多边形的将 本讲考存了弧长、扇形商积，圆柱与圆锥的相关计算以及圆内接正多边形的性质，考查 念及正多边形与圆 运算能力、几何有观、抽象能力、推理能万四大核心素养，在2024年湖北中考卷巾出现在第 的关系 21题第(2问，分值为4分，片比3.3%，以往中考卷中也会在选填题中计算阴影部分面积，结合 2.会计算例的弧长、 平面直角坐标系、勾股定理、等边一角形、全等角形、相似一角形、角两数等核心知识 扇形的血积。 综合考在 知识梳理 知识点1 正多边形和圆 (2)正多边形的半径：正多边形 与正 多边形顶点的连线，即正多边形外接圆半径. 》教材引入 (3)正多边形的边心距：中心与边的距离. 1.(人教九上教材P108T5)如图，要拧开一个边长 2.圆与正多边形的计算（正多边形的边数为n, a=l2mm的六边形螺帽，扳手张开的开口b 外接圆半径为R) 第 至少要多少？ 边心距 VR-(受 部 周长 C=na 图 面积 s-Cr- 牛径R边心r 设心边形的边长为： 与 中心角 0-360 n 2.(人表九上表林P123T5如图，正六边形ABCDEF 何 的中心为原点O,顶点A,D在x轴上，半径为 [提醒]正多边形的中心角等于它的外角. 2cm.求其各个顶点的坐标. 知识点2 扇形弧长与面积的计算 》教材引入 3.(人九上教材P115T6)如图是一段弯形管道， 其中∠O=∠0=90°，中心线的两条圆弧半 径都为1000mm.求图中管道的展直长度（π 取3.142). R1000 -3000+ 》知识梳理 1.相关概念 R1000 (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的 知识精讲 147 4.(人教九上数林P116T8)如图，扇形纸扇完全打 两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm).电镀 开后，外侧两竹条AB,AC夹角为120°，AB 时，如果每平方米用锌0.11kg,电镀100个 的长为30cm,扇面BD的长为20cm.求扇 这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 面的面积， b800 》知识梳理 r为圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度 》知识梳理 数，l是扇形弧长。 1.圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面 1.圆的周长：C=2πr 展开图是 ,这个扇形的弧 2.扇形弧长：l= 长等于圆锥底面圆的 3.圆面积：S=πr2. 等于圆锥的母线长 第 4.扇形面积：S= 2.圆锥的侧面积：S圆惟侧一 (r为底面圆 二 知识点③ 圆锥的侧面积与全面积 半径，l为母线长) 部 3.圆锥的全面积：S调锥全 分 》教材引入 4.圆锥的轴截面是 三角形：圆锥的母 形 5.(人教九上最林P124T14)如图，锚标浮筒是打 线长、底面圆半径r和圆锥的高h之间的数 捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下 量关系是 何 讲 考点1与弧长有关的计算 (1)求证：AB是⊙O的切线： 例1(2024安微)若扇形AOB的半径为6， (2)若AD=√3，AE=1,求CF的长， ∠AOB=120°，则AB的长为 A.2n B.3π C.4π D.6元 例2(2024湖北)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，点E在AC上，以EC为直径的⊙O经过 AB上的点D,与OB交于F,且BD=BC. 148 指，点中考数学 点演练 《对点演练 1.(2024兰州)如图①是一段弯管，弯管的部分外轮 3.(2024吉林)某新建学校因场地限制，要合理规 廓线如图②所示是一条圆弧AB,圆弧的半径 划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如 OQA=20cm,圆心角∠AOB=90°，则AB= 图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成， OB,OC分别与⊙O交于点A,D,OA=1m, OB=10m,∠AOD=40°，则阴影部分的面积 为 m.(结果保留π) 图2 A.20πcm B.10x cm C.5πcm D.2πcm 2.(2024广安)如图，在等腰三角形ABC中，AB= AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半圆，与 4.(2024甘肃)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的 AC,BC分别相交于点D,E,则DE的长度为 古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文 化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作 品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和 扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O= 100°，若OA=120cm,OB=60cm,则阴影部分 第 A哥 .9 C.10 的面积是 cm.(结果用π表示) 二 考点2与扇形面积有关的计算 部 分 例3(1)(2024河南)如图，⊙0是边长为4、3的 图 等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中 图1 图2 点，连接BD,CD.以点D为圆心，BD的长为 考点3圆锥的侧面积和全面积 与 半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 例4(1)(2024烟台)如图，在边长为6的正六边 何 ( 形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长 B.4π C 16x D.16x 为半径作BD,剪如图中阴影部分的图形做一 3 个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 B 第(1)题图 第(2)题图 (2)如图，以边长为2的等边三角形ABC的 顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 (2)如图，小珍同学用半径为8cm,圆心角为 边BC相切，分别交AB,AC于点D,E,则图 100的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 中阴影部分的面积是 () 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 A3-开 B.23-π cm2. 粘贴部分 C.(6-π3 3 D3-8 知识精讲 149 对点演练 (2)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若 5.如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥 ⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为 部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是( ( A.27 cm2 B.54 cm2 C.27x cm2 D.54 cm2 A./3 B.√6 C.3 D.23 《对点演练 第5题图 第6题图 6.(2024宁波)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 7.如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P在AB 30cm,母线长为50cm,则烟囱帽的侧面积为 上，则∠BPC的度数为 () cm2.(结果保留π) 考点4圆内接正多边形的相关计算 例5(1)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O, A.30° B.45 连接(OC,OD,则∠BAE-∠COD=( 第 C.60 D.90° 8.(教材变式)半径为R的圆内接正三角形、正方 部 形、正六边形的边长分别为 分 A.60 B.54° C.489 D.36 配友情提示请完成分层特训P第24讲 图 与 微课（十） 圆中常见辅助线的作法 何 类型一 连半径，构等腰 模型归纳 圆，若∠C=25°，则∠BAO= A.25° B.50 C.60 D.65° 在圆的相关题目中，不要忽略 隐含的已知条件，我们通常可以连 接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性 质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。 第1题图 第2题图 例1(2024苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三 2.(2024求庄)如图，△ABC是⊙O的内接三角形， 角形，若∠OBC=28°，则∠A= 若OA∥CB,∠ACB=25,则∠CAB= 3.如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接 圆，连接CO并延长交AB于点D,交⊙O于 〔对点演练 点E,连接EA,EB. 1,(2024宿迁月考)如图，⊙O是△ABC的外接 (1)写出图中一个度数为30的角： 150 指点中考数学