第23讲 与圆有关的位置关-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第23讲 与圆有关的位置关系 课标与考情 课标要求 考情分析 1.了解三角形的内心与外心. 本讲考查了圆的切线的性质与判定,考查几何直观、推理能 2.了解直线与圆的位置关系,掌握切线的概念 力两大核心素养,在2024年湖北中考卷中出现在第21题第(1)问. 3.探索并证明切线长定理:过外一点的两条切线长 分值为4分,占比3.3%,也会结合勾股定理、全等三角形,相似三 相等。 角形,三角函数、特殊四边形等核心知识综合考查 知识点 点、直线与圆的位置关系 知识梳理 教材引入 1.点与圆的位置关系(设圆的半径为r,点到圆 1.(人数九上表材P101T1)⊙O的半径为10cm. 心的距离为d) 根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和 (1)点在圆内一d<r 11写 Q的位置关系 (2)点在圆上一 (3)12cm. (1)8cm; (2)10cm; (3)点在圆外一 2.直线与圆的位置关系(设圆的半径为,圆心 到直线的距离为d) (1)相离:无公共点,dr (2)相切:一个公共点,d 7 (3)相交:两个公共点,d .7. 知识点 切线的性质及判定 2.(人表九上教材P101T2)Rt△ABC中,C= 教材引入 90{*.AC-3cm.BC-4cm.判断以点C为圆 心,下列,为半径的C与AB的位置关系 3.(人教九上教材P102T12如图,AB为O的直 (1)-2cm; (2)-2.4 cm;(3)r-3 cm 径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互 相垂直,垂足为D.求证:AC平分 /DAB 知识精讲 141 》知识梳理 》知识梳理 1.判定 1.确定圆的条件:过一点可以作 个圆; 公 (1)如果一条直线与圆有且只有 过两点可以作无数个圆,其圆心在这两点连 线的 共点,那么这条直线是圆的切线; 上;不在同一条直线上的三个 (2)圆心到一条直线的距离等于圆的 点确定一个圆. 2.外接圆 则这条直线是圆的切线 于半径的 (3)经过半径的外端并目 (1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这 个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫 直线是圆的切线 2.性质 做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接 三角形; (1)切线和圆有且只有 公共点; (2)三角形三条边的 的交点是它的 (2)圆心到切线的距离等于圆的 外心; (3)切线 于过切点的半径;过圆心且 (3)三角形的外心到三个 的距离 垂直于切线的直线必过切点,过切点且垂直 相等。 于切线的直线必过圆心 [提示锐角三角形的外心在三角形的内部 3.切线长及切线长定理 写 直角三角形的外心在斜边中点处;钝角三角 (1)切线长:过圆外一点作圆的切线,这点和 形的外心在三角形的外部 切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长; 3.内切圆 (2)切线长定理;从圆外一点可以引圆的两条 (1)与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 切线,它们的切线长 ,这一点和圆心 内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这 的连线 两条切线的夹角 个三角形叫做圆的外切三角形; (2)三角形的三条 知识点③ 三角形与圆 的交点是它的内心; (3)三角形的内心到三条 的距离 》教材引入 相等. 4.常用结论 4.(人教九上教材P103T14)如图,Rt△ABC中, (1)在图1中,/BOC-2/A; C-90{,AB,BC,CA的长分别为c,a,6.求 △ABC的内切圆半径, # ### ”图2 图1 图3 (3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的 求法:如图3,Rt△ABC的外接圆半径OA= 2 OD-ab a+bC 142 指点中考数学 考点1 点与圆的位置关系 (2)如图,在Rt△ABC中.ACB-90*,AC=8. 则(2024武汉月考)如图,在△ABC中, BC-6.以点C为圆心,,为半径作圆,当所作 ACB-90*,AB-5,BC=4.以点A为圆 的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 心,r为半径作圆,当点C在A内且点B在 #.## A外时,r的值可能是 ) ,} 对点演练 A.2 B.3 3.(2024宁波二模)已知⊙O的直径为10cm,点 C.4 D.5 O到直线/的距离为4cm,则/与⊙O的位置 对点演练 关系是 把1船写 A.相离 1..原创O的圆心是原点O(0,0),半径为. B.相切 点A(-3,4),若点A在0上,那么r_ C.相交 D.相切或相交 ;若点A在⊙O外,那么r ;若 4.在Rt△ABC中.C=90*},AC=5,BC= 2 点A在O内,那么/ 若以C为圆心、,为半径的圆与斜边AB有公 2.已知平面上点M到⊙O的最大距离是19,最 共点,则,的取值范围为 小距离是3,那么O的半径为 5.(教材改编)如图,AB是⊙O的直径,且AB 考点2 直线与圆的位置关系 4cm,BC |AB,连接AC交O于点D,连 2(1级 5-1的矩形 接BD. 宽与长的比是 2 叫黄金矩形,黄金矩形给我们以协调的美感 世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效 果,都采用了黄金矩形的设计,已知四边形 (1)线段BC所在的直线与O的位置关系 是 ABCD是黄金矩形(AB BC),点P是边AD (填“相离”“相切”或“相交”); 上一点,则满足PB PC的点P的个数为 (2)①若 CBD=30{,则CAB __ __ ②若BC-3cm,则BD= cm: A.3 B.2 (3)若BC=AB,点P为O上任意一点,则 C.1 D.0 CP的最小值为 cm. 知识精讲 143 考点3 切线的性质与判定 n对点演练 如图,在Rt△ABC中,ACB=90{},0为 6.(2024福建)如图,已知点A,B在⊙O上 AC上一点:以点O为圆心,OC长为半径作 AOB-72{*,直线MN与。O相切,切点为 C.且C为AB的中点,则ACM 圆,连接OB,过点A作AD BO交BO的延 长线于点D,若/ABD三OAD.求证:AB 是⊙O的切线 A.18* B.30 C.36{ D.72* 7.(2024浙江)如图,AB是O的直径,AC与 O相切,A为切点,连接BC.已知 ACB 50{*,则 B的度数为 8.如图:直线AF与⊙O相切于点A,弦BC/ 例4 如图,AB为O的直径,D,E是O上的两 1-写 AF,连接BO并延长,交O于点E,连接CE 点,延长AB至点C.连接CD. /BDC= /BAD 并延长,交AF于点D (1)求证:△ACD△DCB (1)求证:CE//OA; (2)求证:CD是O的切线 (2)若⊙O的半径R=13,BC=24,求DE 的长. 归纳总结证明切线的两种常见辅助线的作法: ①连半径:证垂直:②作垂直:证半径,圆中求线 段的长常有以下几个突破口:①题中含特殊角 如45{}角、30{}角、60{}角,可考虑利用三角函数求线 段长;②题中无特殊角,可考虑利用切线的性质 和圆周角定理构造直角三角形,然后通过勾股定 理求线段长,也可以利用相似三角形的性质求线 段的长. D友普提示 请完成分层特训P.第23讲 144 指点中考数学考点素养精讲 由(1)得AB=AE. 【例1】B【例2】C AD=DE=2,∴.AE=AB=4, 【例3】(1)证明：如图，连接AD,CE. 在Rt△ABD中，BD=√AB+AD=2√5， ,AC为⊙O的直径， ∴.⊙0的直径为25. ∴.∠BEC=∠AEC=∠ADC=90°， 第23讲 与圆有关的位置关系 ∴.∠ACD+∠CAD=90°，∠B+∠BCE=90° DE=DC,∴.DE=CD, 基础知识梳理 ∴∠CAD=∠BAD,·∠BAD=∠BCE, 知识点1 ∴.∠ACD=∠B,∴.AB=AC 【教材引入】 1.解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 2.解：(1)相离(2)相切(3)相交 【知识梳理】1.(2)d=r(3)d>r 2.(2)=(3) 知识点2 (2)解：，AB=AC,.△ABC为等腰三角形 【教材引入】 ∠ADC=90°，∴.AD⊥BC, 3.证明：连接OC,则OC⊥DC,又，AD⊥CD, .'BD=CD=6,BC=2BD=12. ∴.∠DAC=90°-∠DCA=∠ACO ,⊙O的半径为5，.AC=AB=10, OA=OC,∴∠ACO=∠CAO, ∴.AD=√AC-CD=√102-6=8. ∴.∠DAC=∠CAO,∴.AC平分∠DAB. SAAc-BCXAD-CEXAB, 【知识梳理】1.(1)一个(2)半径(3)垂直 2.(1)一个(2)半径(3)垂直 ∴号×12×8=CEX10CE-8。 3.(2)相等平分 知识点3 ∴AE=AC-CE=√10-(9T-号 【教材引入】 【例4】(1)C(2)A 4.解：连接OA,OB,OC,利用三角形面积公式 对点演练 可得鸣-受++号得a的。 ab 1.B2.C3.(1)2(2)2(3)105 【知识梳理】1.无数 垂直平分线 4.B5.D6.30°7.156°8.60° 2.(2)垂直平分线(3)顶点 9.(1)证明：如图，连接AC.,BC=CD, 3.(2)角平分线(3)边 ∴.∠BAC=∠EAC,∴.CB=CD 考点素养精讲 .CE=CD,.CB=CE,∠E=∠CDE. :'∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE=180°， 【例1】C【例2】(1)D 2号 .∠ABC=∠CDE=∠E. 【例3】证明：如图，过点O作OE⊥ ∠ABC=∠E, AB于点E, 在△ABC和△AEC中，∠BAC=∠EAC, AC=AC, ∴∠4+∠1=90°， ∴.△ABC≌△AEC(AAS),.AB=AE. AD⊥BD,∠2+∠5=90， ∠1=∠2，∴.∠4=∠5， ∠3=∠5，∴.∠3=∠4， ,∠ACB=90°，.∠OCB=∠OEB=90°， ∠OEB=∠OCB, 在△BOE和△BOC中，∠4=∠3， (2)解：如图，连接BD OB=OB, ,∠BAD=90°，∴.BD是⊙O的直径 ∴.△BOE≌△BOC(AAS),.∴.EO=CO, ·31 ∴.EO是⊙O的半径，AB是⊙O的切线 (2)解：如图，连接BC,CE 【例4)证明：(1)，∵∠ACD=∠DCB,∠BDC=∠BAD, .△ACDp△DCB. (2)如图，连接OD. .CD⊥AD,∴.∠D=90°， AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°， .DE=1,DC=2, ∴.∠BAD+∠ABD=90° .CE=√CD+DE=√22+1=5， .OB=OD,∴∠ABD=∠ODB. C是EB的中点，.EC=CB, ∠BDC=∠A,∴∠BDC+∠ODB=90°， ..EC=CB=5, ∴.∠ODC=90°，∴.ODLCD, OD是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. :AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°， 对点演练 :∠DEC+∠AEC=180°， 1.=5 <5 >52.8或11 ∠ABC+∠AEC=180°， <<12 3.C4.13 ∴.∠DEC=∠ABC,.△DECc∽△CBA, 5.(1)相切 (2)①30 ②12 腮需鼎 …V5AB1 5 (3)(2√5-2) 6.A7.40 AB-5.AO-2AB-3 1 8.(1)证明：，BE是⊙O的直径，.∠BCE= 90°.，BC∥AF,∴.∠CDF=∠BCE=90° 00的半径长为， :AF与⊙O相切于点A,.OA⊥AF. 【例2】解：(1)OA=OB,∴∠OAB=∠ABO ∴∠OAF=90°.∴∠OAF=∠CDF.∴.CE∥OA. (2)解：作OH⊥CE于点H,由垂径定理知 :∠OAB+∠ABO+∠AOB=180°， CH=EH.:OB=OE,∴.OH是△ECB的中 ∠ABO=30°， 位线.OH-BC-=号×24=12在R△0EH ∴.∠AOB=180°-2∠AB0=120°， .直线MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O 中，根据勾股定理，得EH=√OE一OH平= 的直径，∴∠ECM=90°， √132-12=5.，OH⊥CE,∴.∠OHD=90°.由 :'AB∥MN,∴.∠CDB=∠ECM=90°， (1)知∠CDA=∠OAD=90°，∴.四边形OADH ∴.∠BOE=90°-∠ABO=60°， 是矩形.∴.DH=OA=13.∴.DE=DH-EH= ∠BCE=2∠B0E,∠BCE=30. 13-5=8. 微课（九）与圆的切线有关的常见模型 (2)如图，连接OC.同(1)，得 ∠COB=90°，CG⊥AB, 【例1】(1)证明：如图，连接OC ∴∠FGB=90°， ,∠ABO=30°，.∠BFG=90°-∠ABO= 60°，∴.∠CFO=∠BFG=60°，在Rt△COF 中，an∠CF0-茶，又0C=0A=3, OC 点C为EB的中点，EC=CB, OC 3 ..OF= ∴.∠DAC=∠CAF, tan∠CFO tan60=V3. OA=OC.∠OAC=∠OCA. 对点演练 ∴∠DAC=∠OCA.∴.OC∥AD,∴.∠OCF= 1.(1)证明：如图，连接OC,,OB=OC, ∠D=90°. ∴.∠OBC=∠OCB,,'∠DCA=∠OBC, OC为半径，.DC为⊙O的切线 .∠DCA=∠OCB,而AB是⊙O的直径， ·32·