第22讲 圆的有关概念和性质-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第六单元 第22讲 圆的有关概念和性质 课标与考情 课标要求 考情分析 1.理解圆、狐、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等狐的概念;探 本讲考查了圆的有关概念,圆的基本 索并掌握点与圆的位置关系. 性质、圆周角定理,考查几何直观、推理 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条狐 能力两大核心素养,在2024年湖北中考卷 3.探索圆周角与刚心角及其所对狐的关系,知道同孤(或等孤)所对的圆周角 中出现在第8题,分值为3分,占比2.5%. 相等,了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对孤上的圆心角的 在21题中也会有部分涉及,结合平面直角 一半;直径所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径;圆内 坐标系,勾股定理、全等三角形,相似三 角形等核心知识综合考查 接四边形的对角互补 知识点 4.孤:圆上任意两点间的部分叫做孤,简称狐。 抽-图却写 圆的有关概念 以A,B为端点的狐记作AB,读作“圆狐AB” 》教材引入。 或“狐AB”.狐有优孤、半圆、劣狐之分,在同圆 1.(人教九.上教材P81T3)△ABC中,C一90{。 或等圆中,能够互相重合的狐叫做 求证:A,B,C三点在同一个圆上. 5.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分 成两条弥,每一条孤都叫做半圆 6.等圆:能够 的两个圆叫做等圆 知识点② 圆的基本性质 教材引入。 2.(人教九上教材P90T10)⊙O的半径为13cm, 》知识梳理 AB,CD是⊙O的两条弦,AB//CD,AB 1.定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一 24cm,CD=10cm.求AB和CD之间的 个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的 距离. 图形叫做 .其固定的端点O叫做圆 心,线段OA叫做半径,以点O为圆心的圆 记作⊙O,读做“圆O”. 2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做 3.直径:经过 的弦叫做直径;直径是圆 中最 的弦. 知识精讲 137 》知识梳理 断△ABC的形状,并证明你的结论 1.对称性:圆是轴对称图形,任何一条 所在直线都是圆的对称轴;圆是中心对称图 形, 是它的对称中心 2.垂径定理 垂直于弦的直径 弦,并且 定理 所对的两条张 ①平分弦(不是直径)的直径 于弦, 知识梳理 并且平分弦所对的两条孤; 弦 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且 1.定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角 推论 所对的两条狐; 叫做 ③平分弦所对的一条狐的直径垂直平分弦 2.定理:在同圆或等圆中,一条狐所对的圆周角 并且平分弦所对的另一条强,即知 等于它所对的圆心角的 推_ 3.推论 3.圆心角、孤、弦之间的关系 (1)在同圆或等圆中,同狐或等狐所对的圆周 把 图)行 角。 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条孤或 _,相等的圆周角所对的孤 两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的 (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 其余各组量也分别 ,即“等对等” 90{的圆周角所对的弦是 知识点 圆周角定理 4.圆内接四边形 (1)所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做 教材引入 圆的内接四边形 (2)圆内接四边形的对角 3.(人教九.上教材P90T14)如图,A,P,B,C是 ;圆内接四 O上的四个点,APC=/CPB=60*。判 边形的任意一个外角等于它的内对角。 考点素养精讲 考点1 垂径定理及其应用 对演练 例1 (2024新骤)如图,AB是⊙O的直径,CD是 1.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OE O的弦,AB|CD,垂足为E.若CD=8. 交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的 OD-5,则BE的长为 ( ) 长为 _ ) A.5 A.1 D.4 C.3 B. 2 C.3 B.4 D.2 138 指点中考数学 2.(2024凉山)数学活动课上,同学们要测一个如 (1)求证:AB-AC 图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决 (2)若⊙O的半径为5,BD-6,求AE的长 方案是:在工件圆张上任取两点A,B,连接 AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D. 交AB于点C,测出AB-40 cm,CD-10cm. ( 则圆形工件的半径为 ) A.50 cm B.35cm C. 25 cm D.20cm 3. 原创如图,AB为O的弦,OC AB于点 M,交⊙O于点C 对应演练 (1)若AB-2v3,OM=1,则半径OB的长为 4.(2024云南)如图,CD是⊙O的直径,点A,B 在O上.若AC=BC./AOC=36*},则/D -图1写 ( (2)若AB-12.OA-10,则CM的长为 ) (3)若⊙O的半径为15,OM:MC-2:1,则 AB的长为 考点2 圆周角定理及其应用 A.9& 则2(2024湖南)如图,AB,AC为⊙O的两条 B.18* C.36* 弦,连接OB,OC,若 A=45{,则 BOC的 D.45* ( 度数为 ) 5.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点 P,连接AC,AD,BD,若 C-20*,BPC 70*,则ADC- ) A.60” B.75* C. 90” D. 135* 例③如图,以△ABC的一边AC为直径的。O A.70。 B.60。 C.50” 与其他两边BC,AB的交点分别为D,E,且 D.40* DE-DC. 6.如图,在⊙O中,OA1BC,AOB=60*,则 ADC的度数为 知识精讲 139 考点3 圆内接四边形 9.如图,四边形ABCD内接于O,/BAD 例4(1)(2024吉林)如图,四边形ABCD内接于 90{*},BC=CD,过点C作CE,使得CE=CD. O.过点B作BE//AD,交CD于点E.若 交AD的延长线于点E /BEC=50*},则 /ABC的度数是 ( ) A.50* B.100。 (1)求证:AB一AE: C.130* D.150。 (2)若AD=DE-2,求⊙O的直径 (2)(2024武汉)如图,四边形ABCD内接于 O,ABC=60*,BAC=CAD=45$$ AB十AD-2,则。O的半径是 ) 1 一来 #A.## 图写写 3 [思路分析]延长AB至点E,使BE一AD,连 接BD.CE,连接CO并延长交⊙O于点F,连 接AF,即可证得ADC2EBC(SAS),进 而可求得AC-cos45{*}·AE- 2,再利用圆 周角定理得到 AFC一60{},结合三角函数即 可求解 对点演练 7. 原创如图,/DCE是⊙O内接四边形ABCD 的一个外角,若 /DCE三78^{*},则 BOD的度 数为 8.(2024滚州)如图,四边形ABCD内接于⊙O 若四边形OABC是菱形,则 D一 发情提示 请完成分层特训P。第22讲 140 指点中考数学DE=BRX-器 第六单元圆 .AB=AD,CB=CD.AC=AC. 第22讲 圆的有关概念和性质 '.△ACD≌△ACB(SSS), 基础知识梳理 ∴.∠ADC=∠ABC=90°， 知识点1 ∴∠RDC+∠SDA=90°. 【教材引入】 .∠SAD+∠SDA=90°，∴.∠SAD=∠RDC, 1.提示：连接点C与边AB的中点D,证明CD= △SAD△RDC,提-認 AD=BD即可： 【知识梳理】1.圆2.弦3.圆心长 RC=x,:0=SD,:.SD=2x,DR=10- 4.等弧6.重合 5 2x,在Rt△CRD中，CD=DR2+RC, 知识点2 【教材引入】 即52=(10-2.x)2+x2, 2.解：分两种情况讨论： 解得x1=3,x2=5(舍去)， ①当弦AB,CD位于圆心O的异侧时，如图 服=5+=8别器-品- 1,过圆心O作EF⊥AB,垂足为E,交CD于 点F,连接OA,OC 5.解：11.2)号 AB∥CD,∴EF⊥CD, (3)点E是AD的中点.理由如下： AE-7AB-12 cm.CF-CD-5 cm. 设AB=CD=a,则AD=√2a,记BD与CE 在Rt△OAE中，OE=√OA-AE区=5cm, 交于点G ,四边形ABCD是矩形， 在Rt△OCF中，OF=√OC-CF=12cm, .∠A=∠EDC=90°. ∴.EF=OF+OE=12+5=17(cm). .CE⊥BD,∴.∠DGC=90°， .∠CDG+∠ECD=90°， ,∠ADB+∠CDG=90°， ∴∠ECD=∠ADB,又，∠CDE=∠A, ∴.△DECp△ABD. 图1 图2 器% -a ②当弦AB,CD位于圆心O的同侧时，如图 a √2a 2,作OE⊥AB,垂足为点E,交CD于点F,连 DE-号。-号AD点E是AD的中点 接OA,OC. 同理可得OE=5cm,OF=12cm, 单元整合方案 .EF=OF-OE=12-5=7(cm). 综上，AB和CD之间的距离为7cm或17cm. 【例1】B【例2】D 【知识梳理】1.直径圆心 【例3】解：BD⊥AD,AB=5,AD=4, 2.平分平分 ①垂直②平分 ③二三 BD=30B=0D=, 3.相等 知识点3 S0B=0B·AD=号×2×4=3 【教材引入】 :AD=4,0D=号∠AD0=90, 3.解：△ABC是等边三角形.证明如下： AC=AC,∴.∠APC=∠ABC=60°， ∴A0=VAD+OD= BC=BC,∴.∠CPB=∠BAC=60°， 2 ,∴.△ABC是等边三角形 △40B的周长为5+号+厘-18+国 【知识梳理】1.圆周角2.一半 2 2 3.(1)相等相等(2)直角直径 【例4】B【例5】C 4.(2)互补 ·30· 考点素养精讲 由(1)得AB=AE. 【例1】B【例2】C AD=DE=2,∴.AE=AB=4, 【例3】(1)证明：如图，连接AD,CE. 在Rt△ABD中，BD=√AB+AD=2√5， ,AC为⊙O的直径， ∴.⊙0的直径为25. ∴.∠BEC=∠AEC=∠ADC=90°， 第23讲 与圆有关的位置关系 ∴.∠ACD+∠CAD=90°，∠B+∠BCE=90° DE=DC,∴.DE=CD, 基础知识梳理 ∴∠CAD=∠BAD,·∠BAD=∠BCE, 知识点1 ∴.∠ACD=∠B,∴.AB=AC 【教材引入】 1.解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 2.解：(1)相离(2)相切(3)相交 【知识梳理】1.(2)d=r(3)d>r 2.(2)=(3) 知识点2 (2)解：，AB=AC,.△ABC为等腰三角形 【教材引入】 ∠ADC=90°，∴.AD⊥BC, 3.证明：连接OC,则OC⊥DC,又，AD⊥CD, .'BD=CD=6,BC=2BD=12. ∴.∠DAC=90°-∠DCA=∠ACO ,⊙O的半径为5，.AC=AB=10, OA=OC,∴∠ACO=∠CAO, ∴.AD=√AC-CD=√102-6=8. ∴.∠DAC=∠CAO,∴.AC平分∠DAB. SAAc-BCXAD-CEXAB, 【知识梳理】1.(1)一个(2)半径(3)垂直 2.(1)一个(2)半径(3)垂直 ∴号×12×8=CEX10CE-8。 3.(2)相等平分 知识点3 ∴AE=AC-CE=√10-(9T-号 【教材引入】 【例4】(1)C(2)A 4.解：连接OA,OB,OC,利用三角形面积公式 对点演练 可得鸣-受++号得a的。 ab 1.B2.C3.(1)2(2)2(3)105 【知识梳理】1.无数 垂直平分线 4.B5.D6.30°7.156°8.60° 2.(2)垂直平分线(3)顶点 9.(1)证明：如图，连接AC.,BC=CD, 3.(2)角平分线(3)边 ∴.∠BAC=∠EAC,∴.CB=CD 考点素养精讲 .CE=CD,.CB=CE,∠E=∠CDE. :'∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE=180°， 【例1】C【例2】(1)D 2号 .∠ABC=∠CDE=∠E. 【例3】证明：如图，过点O作OE⊥ ∠ABC=∠E, AB于点E, 在△ABC和△AEC中，∠BAC=∠EAC, AC=AC, ∴∠4+∠1=90°， ∴.△ABC≌△AEC(AAS),.AB=AE. AD⊥BD,∠2+∠5=90， ∠1=∠2，∴.∠4=∠5， ∠3=∠5，∴.∠3=∠4， ,∠ACB=90°，.∠OCB=∠OEB=90°， ∠OEB=∠OCB, 在△BOE和△BOC中，∠4=∠3， (2)解：如图，连接BD OB=OB, ,∠BAD=90°，∴.BD是⊙O的直径 ∴.△BOE≌△BOC(AAS),.∴.EO=CO, ·31