第21讲 特殊的平行四边形-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

.AD=CB,AD∥CB,∴.∠ADE=∠CBF, '.△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF, 又.DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS), ∴.EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN, ∠1=∠2. .四边形EFMN是菱形 7.D '∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°， 8.解：四边形BEDF为平行四边形.证明如下： ∴.∠ENA+∠DNM=90°，∴∠ENM=90°. 连接BD,与AC相交于点O(图略). ∴.四边形EFMN是正方形 :'AD∥BC,AB∥DC, 【知识梳理】1.直角相等 ∴四边形ABCD为平行四边形. 2.(1)相等直角互相垂直平分且相等对 .∴.OA=OC,OB=OD 角(2)四 .AE=CF...OE=OF, 3.(1)相等(2)直角 (3)互相垂直平分且相 .四边形BEDF为平行四边形 等(4)垂直(5)相等 第21讲 特殊的平行四边形 知识点4 基础知识梳理 【教材引入】 4.(1)平行四边形，理由略.(2)平行四边形， 知识点1 理由略.(3)菱形、矩形、正方形，理由略。 【教材引入】 【知识梳理】1.中点2.(1)平行四边形 1.解：：□ABCD的对角线相交于点O,△OAB (2)菱形(3)矩形 (4)正方形 是等边三角形， ..OA=OC.OB=OD,OA=OB=AB=4. 考点素养精讲 AC=BD..□ABCD是矩形.∴∠BAD=90. 【例1】C【例2】D【例3】83 又BD=2OB=8,AB=4, 【例4】证明：如图，连接AN, ∴.AD=√BD-AB=4√3. :四边形ABCD是菱形， .□ABCD的面积为AB·AD=16√3. ∴.∠ABD=∠CBD= 【知识梳理】2.(2)直角(3)相等且互相平分 3∠ABC.BA=BC. 3.(1)直角(2)直角(3)相等 :BN=BN,.△ABN≌△CBN(SAS), 知识点2 ∴.AN=CN. 【教材引入】 ,MN是AE的垂直平分线， 2.证明：：AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC, ∴.AN=NE,∴.EN=CN. ∠DAC=∠BCA, 【例5】(1)AB=AD(答案不唯一)(2)22.5 :AC,BD分别是∠BAD,∠ABC的平分线， 【例6】2 ∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC, 对点演练 ∴·∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB, 1.C .'.AB=BC.AB=AD,.'.AD=BC. 2.证明：，四边形ABCD是矩形， ,AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=DC,∠B=∠C=90°， AD=AB,∴四边形ABCD是菱形， ,BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF= 【知识梳理】2.(2)相等(3)垂直平分 对角 CE,.△ABF≌△DCE(SAS),.AF=DE. 3.(1)相等 (3)垂直4.2mm 3.证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD, ∠B=∠D, 知识点3 :∠AEB=∠AFD, 【教材引入】 ∴.△ABE≌△ADF(AAS),∴.BE=DF 3.解：四边形EFMN是正方形.证明如下： 4.证明：如图，连接BD交AC 在正方形ABCD中， 于点0. .AE=BF=CM-=DN,.'.AN=DM=CF=BE. ,四边形ABCD是平行四边 ,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 形，.BO=OD ·28· OB=OD, 微课（八）十字模型 在△BOE与△DOE中，{OE=OE, 【例1】解：AF=BE且AF⊥BE.理由如下： BE=DE, ∴.△BOE≌△DOE(SSS). ,四边形ABCD为正方形， ∴∠BEO=∠DEO. ∴.AB=AD=CD,∠BAE=∠ADF=90°. BE=DE, 又.DE=CF, 在△BAE与△DAE中，∠AEB=∠AED, AD-DE=CD-CF,即AE=DF. AE-AE. ∴.△BAE≌△ADF(SAS), .△BAE≌△DAE(SAS)..AB=AD. ∴.AF=BE,∠ABE=∠DAF .四边形ABCD是菱形. :∠ABE+∠AEB=90°， 5.D ∴∠DAF+∠AEB=90°，AF⊥BE. 6.解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 【例2】解：如图，过点A作AK∥GE, 理由：：四边形ABCD为平行四边形， 交BC于点K,交BD于点H. :.0XC-OA-7AC.OB-OD-7BD. 四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,CD=AB=3,∠ABC=∠C=90°， :以点B,C为圆心，2AC,BD长为半径画 .四边形AKEG是平行四边形，.AK=GE GE⊥BD,AK⊥BD, 弧，两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC, ∴∠HAB=∠DBC,∴.△ABK∽△BCD, .四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO 提部=4，D-3∠C=90 为正方形.理由：，AC⊥BD,∴.∠BOC=90°. ∴BD=√BC+CD=√4+32=5， AC-BD.OB-7BD.OC-AC..OB-OC. ÷是-GE-AK- 4 又，四边形BPCO为平行四边形， .四边形BPCO为正方形. 对点演练 7.(1)证明：连接BD,AC 1.C2.2 4√0 :AB∥CD,AD∥BC, 3 .四边形ABCD是平行四边 3.解：由例1可知AF⊥BE,即∠AGB=90° 形，：四边形ABCD中，点 AB=4,DE=1, E,F,G,H分别是各边的中 .AE=AD-DE=4-1=3 点，∴.GF∥BD,HG∥AC, ∴.BE=√AB+AE=√42+32=5， ,四边形EFGH是矩形，∴.HG⊥GF, .BD⊥AC,∴.四边形ABCD是菱形. SA-XAEXAB-XBEXAG. (2)解：记AC与BD交于点O,:四边形AB CD中，点E,F,G,H分别是各边的中点， ÷号X3X4=号×5×AG.AG号 4.解：如图，过点D作DR∥ :.GF-EH-BD.HG-EF-AC, AB交BC的延长线于点R, ,矩形EFGH的周长为22，∴.BD+AC=22, 过点A作AS∥BC交RD ,四边形ABCD是菱形， 的延长线于点S,则四边形 ∴2BD+2AC=0A+0B=1, ABRS是平行四边形 ∠ABC=90°，.四边形ABRS是矩形， .四边形ABCD的面积为10， ∴.∠R=∠=90°，RS=AB=10,AS=BR. ∴2BD·AC=10.即20A0B=10, 过点D作DE⊥AB于点E,连接AC 'AM⊥DN,∴.∠BAM+∠AND=90°. .(OA+OB)2=OA2+20A.OB-+OB2=121, ,∠EDN+∠END=90°，∴.∠BAM=∠EDN, .OA2+OB2=121-10=111, .AB=√OA+OB=√111. ADENAARM,R-器 ·29·第21讲特殊的平行四边形 课标与考情 课标要求 考情分析 1理解平行四边形、矩形，菱形、正方形的概念，以及它们之回的关系；了解 本讲考杏了矩形的性质和判定， 四边形的不稳定性 菱形的性质和判定、正方形的性质和 2探素并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都足直角，对角线相等：菱 判定以及巾点四边形的相关知识四 形的四条边相等，对角线互相垂直探索并证明矩形，菱形的判定定理二个角 知识点，几何直观、推理能力两人核 是白角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形：四边相等的四边 心素养，在2024年湖北省中考卷中出 形足菱形，对角线互相垂直的平行四边形足菱形正方形既是炬形，又足菱形： 现在第23题，分值为11分，山比92%， 理解矩形，菱形、正方形之问的包含关系。 仟22题中也有部分涉及 知识梳 理 知识点① 矩形 3.判定 (1)有一个角是 的平行四边形是矩形： 第 》教材引入 (2)有三个角是 的四边形是矩形： 1.(人教八下教材PT2)如图，□ABCD的对角 (3)对角线 的平行四边形是矩形 部 4.面积公式：S=ab(a,b分别为矩形的长和宽). 分 线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角 形，且AB=4,求□ABCD的面积. 5.周长公式：C=2(a十b)(a,b分别为矩形的长 形 和宽). 知识点② 菱形 何 》教材引入 2.(人教八下教#PG0T6)如图，AE∥BF,AC平 分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC, 且交AE于点D,连接CD.求证：四边形ABCD 》知识梳理 是菱形. 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.性质 (1)矩形具有平行四边形所有的性质： (2)矩形的四个角都是 (3)矩形的对角线 (4)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，矩 形也是中心对称图形，它的对称中心是对角 线的交点. 128 指，点中考数学 知识梳理 》知识梳理 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做 1定义：有一个角是 ,并且有一组邻边 菱形. 的平行四边形叫做正方形. 2.性质 2.性质 (1)菱形具有平行四边形所有的性质： (1)正方形的四条边 ,四个角都是 (2)菱形的四边长 ,对角线 ,每条对角线平 (3)菱形的对角线互相 ,每条对角线 分一组 ； 平分一组 (2)正方形既是轴对称图形，也是中心对称图 (4)菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直 形，对称轴有 条，对称中心是对角线 线是它的对称轴：菱形是中心对称图形，它的 的交点 对称中心是两条对角线的交点 3.判定 3.判定 (1)有一组邻边 的矩形是正方形： (2)有一个角是 的菱形是正方形： (1)有一组邻边 的平行四边形是 (3)对角线 的四边形是正方形： 菱形： (4)对角线互相 的矩形是正方形： (2)四条边相等的四边形是菱形： (5)对角线 的菱形是正方形 (3)对角线互相 的平行四边形是菱形. 4.面积公式：S=a(a为正方形的边长) 第 4.面积公式：S (,1分别表示两条 5.周长公式：C=4a(a为正方形的边长). 对角线长)，S=ah(a是菱形的边长，h是菱 部 知识点4 形的高)。 中点四边形 分 5.周长公式：C=4a(a是菱形的边长). 》教材引入 图 知识点③ 正方形 4.(人教八下表材P8T9)我们把顺次连接任意一 与 教材引入 个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四 何 边形 3.(人最八下表#P62T13)如图，E,F,M,N分别 (1)任意四边形的中点四边形是什么形状？ 是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF= 为什么？ CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形， (2)任意平行四边形的中点四边形是什么形 并证明你的结论， 状？为什么？ (3)任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分 别是什么形状？为什么？ 知识精讲 129 》知识梳理 (2)中点四边形的周长是原四边形两条对角 线的长度之和，面积是原四边形面积的一半， L,定义：顺次连接任意四边形各边 所 知识点⑤ 平行四边形、矩形、菱形和 形成的四边形叫做中点四边形. 正方形之间的关系 2.中点四边形的形状只与原四边形的对角线 1.从边、角的角度看 有关 四边相等 有一个角 (1)任意四边形的中点四边形是 组邻边札等 是白角 英形 红利 (2)对角线相等的四边形的中点四边形是 边形 方法平行网 有邻边相等。「 止：方形 边形 个价是f角 有个所 形 组邻边 (3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形 是直伯 粉等 是 有：个用是白所 2.从对角线的角度看 (4)对角线垂直且相等的四边形的中点四边 对和线用 形是 州垂立 对角线和等 [拓展](1)特殊四边形的中，点四边形：平行四 菱形 对角线扣等 对角线 凡垂直 边形→平行四边形：矩形→菱形：菱形→矩 平四边形 相等 第 形：正方形→正方形. 矩形 对角毁万相近直 部 分 图 考点1矩形的性质与判定 《对点演练 例1(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线 1.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD.下 何 AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确 列说法能使四边形ABCD为矩形的是 的是 A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D 2.(②24陕西)如图，四边形ABCD是矩形，点E和 A.AB-AD 点F在边BC上，且BE=CF求证：AF=DE B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 例2(2024乐山改编)已知四边形ABCD是平行 四边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩 形的是 A.∠A=909 B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 130 指，点中考数学 考点2菱形的性质与判定 《对点演练 例3(2024广西)如图，两张宽度均为3cm的纸 3.(2024福建)如图，在菱形ABCD中，点E,F分 条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°， 别在BC,CD边上，∠AEB=∠AFD,求证： 则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 BE=DF. cm. [思路分析]本题考查了平行四边形的判定， 菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作 AM⊥BC于M,AN⊥CD于N,由题意易得 四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四 边形的面积可得BC=CD,即可得到四边形 4.(2024湖北模拟)已知：如图，平行四边形ABCD ABCD是菱形，再解R1△ADN可得AD的长， 中，点E是对角线AC上一点，且BE=DE. 即可求解，得出四边形ABCD是菱形是解题 求证：四边形ABCD是菱形. 的关键， 第 例4(2024凉山改编)如图，在菱形ABCD中，E 是BC边上一个动点，连接AE,AE的垂直平 二部 分线MN交AE于点M,交BD于点N,连接 分 EN,CN,求证：EN=CN 形 何 考点3正方形的性质与判定 例5(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,试添加一个条件 ,使得矩形ABCD为正方形. (2)如图，四边形ABCD为正方形，点E是 BC延长线上一点，且AC=EC,连接AE,交 CD于点F,则∠DAE的度数为 知识精讲 131 《对点演练 考点4中点四边形 5.(2024重庆B)如图，在边长为4的 例6(2024福建)如图，正方形ABCD的面积为 正方形ABCD中，点E是BC上 4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的 一点，点F是CD延长线上一点， 中点，则四边形EFGH的面积为 连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点 M.若BE=DF=1,则DM的长度为( A.2 B.5 C.6 n号 《对点演练 6.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, 7.(2024云南)如图，在四边形ABCD中，点E, 分别以点B,C为圆心，号AC,号BD长为半径 F,G,H分别是各边的中点，且AB∥CD, 画弧，两弧交于点P,连接BP,CP AD∥BC,四边形EFGH是矩形 (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； (1)求证：四边形ABCD是菱形： 第 (2)请说明当□ABCD的对角线满足什么条 (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD 的面积为10，求AB的长 部 件时，四边形BPCO是正方形？ 分 图形与儿何 ☒友情提易请完成分层特训P,第21讲 132 指点中考数学