第19讲 锐角三角函数-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6, AC-AR-2/3.BC-2AC-4/5. sin B=310 10 ,c0sB=10 10,tanB-3. 在Rt△BEG中，∠EBG=30°，BE=6-√7a, (3)sin A=3 2,cos A= ,tan A=3,sin B= 则BG-些=8-在R△AHC中， 2'cos B=3 2,tanB= 3 C-60AC-23.AH-3AC-3. 【知识梳理】 b 2 知识点2 DH=√AD-AF=√4a-9,由△EGD∽ 【教材引入】 △DiA,器-器图 3 2 2解：原式-号+号- √4a2-9 解得a=3 5,a:=-3V7(舍)， 2原式-号×名号=- 2 放AE-7a=2马 (3)原式-(+5×号-2， 5.√26.D 1 7.证明：过点P作PM⊥AB于点M, (4)原式 3 +B=3-1. 2 PN⊥AC于点N,则四边形PNAM为矩形， 2 知识点3 【教材引入】 3.(1)∠B=60°，a=4,b=43. (2)∠B=75°，a≈1.9，c≈7.2. ∴.PM=AN.由折叠可知，∠DPE=∠A=90°， (3)c=13,∠A≈23°，∠B≈67° ∴.∠ADP+∠AEP=180°，：∠PEN+ 【知识梳理】1.(1)a2+=c2 ∠AEP=180°，∴∠ADP=∠PEN. (2②)∠A+∠B=90(3号名号 a b 又：∠DMP=∠ENP=90°， APMP△ENR0兴：∠C-4行. 2.已知元素 未知元素 知识点4 ∴△PNC是等腰直角三角形，.PN=NC 【教材引入】 ∠PNC=∠A=90°，∴.PN∥AB, 4.解：如图，过点A作AC⊥BD于点C. 即兴腮 北 PNPC' 器咒PCPD=BPE B 第19讲 锐角三角函数 在B点测得小岛A在北偏东60的方向上， 在D点测得小岛A在北偏东30的方向上， 基础知识梳理 .∠ABD=90°-60°=30°，∠ADC=90° 知识点1 30°=60°， 【教材引入】 ∴.∠BAD=∠ADC-∠ABD=60°-30°=30°， L解：0血A=号osA-22mA-是， ∴.∠BAD=∠ABD,.∴BD=AD=12 n mile, 3 sin B=2/2 在R△ADC中，n∠ADC=m60-S 3,cos B=1 3,tan B=22. 10,cosA=30 (2)sinA=0, AC-AD·s60=12×号-65amie)> 0,tanA=3: 8 n mile. ·25· 答：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有 在Rt△GAC中，∠EAC=37°， 触礁的危险， ∴.CG=AG·tan∠E4C≈873×0.75=654.75(m), 考点素养精讲 ∴.CD=DG-CG=873-654.75≈218.3(m). 【例1】A【例2】A 答：吉塔的高度CD约为218.3m, 【例3】解：(1)在R△ABD中，AB=10,AD=6, 【例3】10.4 ∴.BD=√AB-AD=10-6=8, 对点演练 在R△ADC中，m∠ACB-提1， 1.B2.1+√53.24.16 5.解：能.过B作BF⊥DE于F(图略)， ∴.DC=6.∴.BC=BD+DC=8+6=14. 则EF=BC=3m,BF=CE. (2),AE是BC边上的中线， 在Rt△ABC中，，AB=5m,BC=3m, ∴.BE=号BC=7, ∴.AC=√AB2-BC=4(m). ∴.DE=BD-BE=8-7=1, 在Rt△ADE中，：∠DAE=45°， ∴.AE=DE,设AE=DE=xm, ∴.AE=√AD+DE=√+1平=√/37， .'.BF=(4+x)m,DF=(x-3)m, in∠DAE-A是司 DE137 37 在R△BDF中，an387T-器- 【例4】解：“测角仪”方案：，CD⊥BD,AB⊥ 0.80,解得x≈31，∴.DE=31m BD,CF⊥AB,.四边形CDBF是矩形， 答：信号塔DE的高约为31m. .'.CF=BD=10 m,BF=CD=1.6 m. 单元整合方案 ∠ACF=32.5,∴.AF=CF·tan32.5°≈ 10×0.64=6.4(m), 【例1】50°，80或65°，65°【例2】45或135° .AB=AF+BF=6.4+1.6=8(m) 【例3】70或20°【例4】5或9【例5】B 答：树AB的高度约为8m 【例6】解：∠1=∠2.理由如下：在△AOB和 “平面镜”方案：，CD⊥BD,AB⊥BD, △DOC中， ∴.∠CDE=∠ABE=90°， 因为AB=DC,∠A=∠D,OA=OD, '∠CED=∠AEB,∴.△CDE∽△ABE, 所以△AOB≌△DOC(SAS),所以∠1=∠2. 器能器品AB=8 【例7】5或7 答：树AB的高度约为8m 【例8】解：①当∠CDB=90时，S=2AC. 对点演练 1.B BD-2AB·BC, 2.解：原式=1+22-2×2+2=32. 即2×10BD=号×8X6,解得BD=4.8, 3B49 .CD=3.6,t=3.6÷1=3.6: ②当∠CBD=90时，点D和点A重合， 微课（七）解直角三角形的常见模型 t=10÷1=10. 【例1】A 综上所述，t=3.6或10. 【例2】解：如图，延长DC交AE于点G, 对点演练 G 1.55°，55或70°，40°2.8或103.10或11 4.解：等腰△ABC,AB=AC,面积为30m,若底边 长BC=10m(如图1)，作AD⊥BC,垂足为 由题意得AB=DG=873m,∠DGA=90°. 点D,根据面积可求出AD=6m,由等腰三 在Rt△GAD中，∠EAD=45°， 角形三线合一的性质求出BD=5m,由勾股 定理即可求出AB=√6Im,此时△ABC成 ∴.AG= DG tan∠EAD=DG=873(m), 立；若腰长AB=AC=10m(如图2)，作BD⊥ ·26。第19讲 锐角三角函数 课标与考情 课标要求 考情分析 1利用相似的直角三角形，探 锐角三角函数在湖北中考中一直是一个高颜且重要的考点它不仅在数学知识体 系中占据重要地位，也是解决许多实际问题的有力工具因此，考生需要给予足够的 索并认识锐角三角函数(sinA. 重视湖北中考关于锐角三角函数的考试内容主要包括锐角三角函数的定义，特殊角 c0sA,tanA),知道30°，45°， 的三角函数值，解直角三角形、解直角三角形的实际应用考生需要熟练掌握正弦(s) 60°角的三角函数值 余弦(cos以正切(1an)的定义，理解它们分别表示直角三角形中锐角的对边与斜边， 2.会使用计算器由已知锐角求 邻边与斜边、对边与邻边的比值：牢记30°，45,60等特殊角的三角函数值，这些 它的三角函数，由已知三角 值在解题中经常作为已知条件出现：掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法， 包括已知两边求第三边、已知一边和一角求其他两边等：锐角三角函数的应用常常 函数值求它的对应锐角. 与实际问题相结合，如测高、测距等考生需要学会将实际问题抽象为数学问题，构 3能用锐角三角函数解直角三 建直角三角形模型，并运用锐角三角函数进行求解在湖北中考中，锐角三角函数的 角形，能用相关知识解决一 考查形式多种多样，包括选择题、填空题、解答题等其中，解答题往往更侧重于考 些简单的实际问题 查考生的综合应用能力和解题技巧 识 理 第 知识点① 锐角三角函数的定义 [注意](1)注意自变量的范围：锐角三角函数 的自变量是角度，其取值范围是0°<a<90°. 部 》教材引入 (2)注意函数值的范围：锐角三角函数的值是 分 1.(人教九下教材P63习题T1)分别求出图中 直角三角形各边的比值，0<sinA<1,0< ∠A,∠B的正弦值、余弦值和正切值， cos A<1,tan A>0. 形 知识点2 特殊角的三角函数值 何 》教材引入 1 2.(人教九下表材P9T3)求下列各式的值： 血5+号， 》知识梳理 (2)sin45cos60°-cos45°； 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的 (3)cos245°+tan60°cos30°； 对边分别为a,b,c,则tanA= ∠A的对边 (4)1=cos30°+tam30. ∠A的邻边 sin60° ,sinA=∠A的对边 斜边 cosA=∠A的邻边 斜边 知识精讲 115 》知识梳理 3.解直角三角形的四种基本类型和解法 已知条件 图形 解法 30° 45 60° 一直角边 ∠B=90°-∠A, 三角函数 60 和一锐角 C= sina 1 30 tan A 2 3 3 (已知a, sin A6= ∠A) (或b=√c-a) cos a 边 2 2 12 45° ∠B=90°-∠A, tan a 3 角 斜边和一 a=c·sinA,h=c· 个锐角（已 [注意](1)互余两角三角函数之间的关系： cos A 知c,∠A) C ∠A+∠B=90°时，sinA=cosB,cosA=sinB; (或b=√C-a) (2)同角三角函数之间的关系：sinA+cos2A= c=√a+B,由 1,tan A=sin A 两直角边 cos Ai (已知a,b) tanA=合求∠A, (3)不同锐角三角函数增减的区别：在锐角范 ∠B=90°-∠A 两 图内，sinA和tanA的值随∠A的增大而增 边 大，cosA的值随∠A的增大而减小 斜边和一 b=√e-a, 第 知识点③解直角三角形 条直角边 由血A=兰求∠A 二 (已知c,a) 部 》教材引入 ∠B=90°-∠A 分 3.(人表九下餐林PT习题T1)在Rt△ABC中， 知识点④ 解直角三角形的实际应用 ∠C=90°，根据下列条件解直角三角形. 形 (1)c-8,∠A=30°；(2)b=7,∠A=15°： 》教材引入 几 (3)a=5,b=12. 4.(人数九下教材PT练习T)如图，海中有一个 小岛A,它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北 偏东60°方向上，航行12 n mile到达D点，这 时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 》知识梳理 危险？ 1.直角三角形的边角关系 (1)三边之间的关系： (勾 股定理)； (2)两锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：sinA=cosB= cos A=sin B= tan A= tan B= 2.解直角三角形：由直角三角形中 求 出 的过程，叫做解直角三角形 116 指，点中考数学 》知识梳理 3.方向角：如图3，一般指以观测者的位置为中 心，将正北或正南方向旋转到目标方向线所 1.仰角、俯角：如图1，当从低处观测高处的目标 成的角（一般指锐角）.如A点位于O点的北 时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从 偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方 高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 向，C点位于O点的北偏西45°方向（也称西 的锐角称为俯角。 北方向) 2.坡度（坡比）、坡角：如图2，通常把坡面的铅垂 高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或坡 视线 45 比)，用字母表示，即一；坡面与水平面的 角水平线 600 高 ·东 线 俯角 60 视线 水平宽度 夹角叫做坡角，记作a,则有一名 =tan a. 图1 图2 图3 讲 考点1锐角三角函数的定义 考点2 特殊角的三角函数值 例1(2024长春)2024年5月29日16时12分， 例2(2024天津)√2c0s45°-1的值等于() 第 “长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在 A.0 B.1 黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位 c -1 D.√2-1 部 于海平面R处的雷达测得点R到点A的距 分 离为a千米，仰角为0，则此时火箭距海平面 《对点演练 图 的高度AL为 2.(2024北京)计算：(x-5)°+√8-2sin30°+|√21. 与 何 A.asin0千米 B品千米 C.acos0千米 cos0干米 D.a 《对点演练 1.(2024临夏)如图，在△ABC中，AB=AC=5, snB=号，则BC的长是 () 考点3解直角三角形及其应用 例3(2024浙江)如图，在△ABC 中，AD⊥BC,AE是BC边上B4 E D A.3 B.6 的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1. C.8 D.9 (1)求BC的长； 知识精讲 117 (2)求sin∠DAE的值. (续表) ①图上所有点均在同 ①图上所有点均在同 平面内： 一平面内： ②AB,CD均与地面 ②AB,CD均与地面 备注 垂直； 垂直： ③把平面镜看作一个 ③参考数据：tam325≈ 点，并由物理学知识可 0.61 得∠CED=∠AEB. 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB 的高度 例4 综合与实我某数学兴趣小组在校园内开展 2024湖北 综合与实践活动，记录如下： 活动 《对点演练 第 测量校园中树AB的高度 项目 3.(2024德阳某校学生开展综合实践活动，测量 活动 一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高 “测角仪”方案 “平面镜”方案 部 方案 度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房 分 方案 楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房 示意 楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在 形 图 同一平面内，B,D在同一水平面上)，则建筑 D DE 物CD的高为 () ①选取与树底B位于 何 同一水平地面的E处： ①选取与树底B位 ②测量E,B两点间的 于同一水平地面的 距离： D处； 60° ③在E处水平放置一 ②测量D,B两点间 个平面镜，沿射线BE A.20米 B.15米 实施 的距离： 方向后退至D处，眼 过程 ③站在D处，用测角仪 C.12米 D.10+53米 睛C刚好从镜中看到 测量从眼睛C处看树 4.(2024深圳)如图，在△ABC 树顶A; 顶A的仰角∠ACF; ①测量E,D两点间的 中，AB=BC,tanB=泛，D ④测量C到地面的 距离： 高度CD. ⑤测量C到地面的高 为C上一点，且满足部 度CD. 号，连接AD,过点D作DELAD交AC的延 ①DB=10m: DEB=10 m; 测量 ②∠ACF=32.5°； ②ED=2m; 数据 长线于点E,则是 ③CD=1.6m ③CD-1.6m ☒友情提示请完成分层特训P,第19讲 118 指点中考数学