第18讲 相似三角形-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第18讲相似三角形 课标与考情 课标要求 考情分析 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段：通过建 在湖北中考中，相似三角形是一个重要的考点，其题 筑、艺术上的实例了解黄金分割。 型通常包括选择题、填空题和解答题具体分值和题型分布 2,通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比. 可能会根据每年的考试试卷有所调整，但一般来说，相似 3,掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应三角形的分值在整张试卷中占据较重的比例中考主要考查 线段成比例。 相似三角形的定义与相关概念、相似三角形的性质和判定。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似三角形的实际应用等.在图形变换（如平移、旋转、对称 相似：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：三边成等中，利用相似三角形的性质进行证明和计算相似三角形 比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明.在中考数学中属于中等偏难的知识点，需要学生掌据扎实 5,了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等 的基础知识和较强的逻辑思维能力，试题通常会结合其他知 于相似比：面积比等于相似比的平方. 识点进行考查，如函数、特殊四边形.圆等，增加了解题 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或 的复杂性和难度相似三角形作为重要的几何知识点，其考 缩小 查形式越来越灵活多样，可能会结合实际应用背景或图形 7,会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 变换进行考查 知 第 部 知识点1 比例线段的相关概念及性质 2.基本性质 分 》教材引入 性质1：若分-台则ad (b,d≠0)； 形 1.(人教九下教材P27练习T1)在比例尺为1： 若ad-=c,则号 (b,d≠0). 10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离 几 是30cm,求两地的实际距离. 性质2：者号-后则吉 (b,d≠0). 附：1：10000000表示地图上1cm代表实 地距离100km. 性质3：若号- =…=(6叶d叶十n≠0，则 a十c十…十m 6+d+...+n 3.黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线 段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段AB 和C的比例中项，且器-% ≈ ,那么点C叫做线段AB的黄金分 》知识梳理 割点。 1.定义：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条 C B 线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的 知识点② 平行线分线段成比例 比 如合-（即ad= ),我 》教材引入 们就说这四条线段成比例. 2.(人教九下表材P31T1)如图，AB∥CD∥EF, 知识精讲 107 AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1, 》知识梳理 DF=5,求8的值， 1.概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角 形叫做 ,相似三角形对应边的比叫 做 2.性质 (1)相似三角形的对应角 ,对应边 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比都等于 (3)相似三角形周长的比等于 ,面积 》知识梳理 的比等于 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 3.判定 的对应线段成比例.如图1，若1∥12∥1，则 类型 判定方法 B B 或AB 于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似 第 一般 对应成比例的两个三角形相似 角形 两边对应 且 相等的两个 部 三角形相似 图1 图2 图3 分 两角分别 的两个三角形相似 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 直角三 斜边和一直角边对应 的两个直角 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 与 角形 三角形相似 如图2，若DE/BC,则哈品 ;如图 何 知识点4 相似多边形 3,若DE/BC则哈品 》教材引入 知识点③ 相似三角形 4.(人教九下教材P2T4)如图，试着在方格纸中 》教材引入 画出与原图相似的图形，你用的是什么方法？ 与同学交流一下 3.(人表九下表林P42T3)如图，(1)判断两个三角 形是否相似：(2)求x和y的值. 60 26 D 927 C40 39 》知识梳理 (2 1.概念：两个边数相等的多边形，如果它们的角 对应 ,边对应 ,那么这两个 多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做 108 指，点中考数学 2.性质 2.基本图形 (1)相似多边形的对应角 ,对应边 (2)相似多边形周长的比等于 ,面积 的比等于 知识点⑤ 图形的位似 》教材引入 5.(人教九下教林P51T5)如图，矩形AOBC各点 的坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0), 3.性质 C(4,3).以原点O为位似中心，将这个矩形 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中 心的距离的比等于 缩小为原来的，写出新矩形各顶点的坐标。 (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 点； (3)位似图形对应边 (或在同一条直 线上)； (4)位似图形对应角相等」 第 》知识梳理 4.作图步骤 (1)确定位似中心； 部 1,定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的 连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一 (2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对 分 直线上)，像这样的两个图形叫做位似图形， 应点： 形 这点叫做位似中心。 (3)描出新图形. 何 考点1比例线段及性质 《对点演练 例1（人教九上教材P1引言改编）在设 1.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行 计人体雕像时，使雕像上部（腰部以 横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C 上)与下部（腰部以下）的高度比，等 都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的 于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感 长是 如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋 雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果 精确到0.01m.参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732,w5≈2.236) ( A.0.73m B.1.24m A号 C.1.37m D.1.42m C.1 D.2 知识精讲 109 考点2相似三角形的性质与判定 零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶 例2(2024重庆)若两个相似三角形的相似比是 点分别在AB,AC上，则这个正方形零件的 1：3,则这两个相似三角形的面积比是( ) 边长是 mm. A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9 C 例3(2024陕西)如图，正方形CEFG的顶点G G D H 在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于 [思路分析]解决本题的关键：(1)“内接”，所 点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为 谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的 ( 边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角 形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三 角形的高等于正方形的边长与小三角形的高 之和.(2)方程思想，利用相似三角形的性 A.2 B.3 质—“相似三角形对应高的比等于相似比” c号 D.3 这个等量关系，将已知边和未知边放在一个 方程中. 《对点演练】 变式1如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的 2.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC,AB 边BC上，点D在边AB上，点G在边AC 第 二 于点DE,EP∥AC交BC于点F,能-号， 上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是 90,AM⊥BC于M,交DG于N,则AN:AM= 部 BF=8,则DE的长为 ( 分 与 何 AS B6 变式2如图，已知锐角△ABC中，边BC长为 12,高AD长为8，矩形EFGH的边GH在 C.2 D.3 BC边上，其余两个顶点E,F分别在AB,AC 3.(2024湖南)如图，在△ABC中，点D,E分别为 边上，EF交AD于点K. 边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是 1求累的值， (2)设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S 与x的函数解析式，并求S的最大值. A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC C.BC=2DE D.SAADE 考点3相似三角形的应用 例4（人表九下表材P58T11改编）如图，一块材 料的形状是锐角三角形ABC,边BC= 120mm,高AD=80mm.把它加工成正方形 110 指，点中考数学 对点演练 若OB:BB=2·3,则△ABC1的面积是 4.跨物理学科物理课上学过小孔成像的原理， () 2024杨州 A.90 cm2 B.135 cm2 它是一种利用光的直线传播特性实现图像投 C.150 cm2 D.375 cm2 影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 《对点演练 经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB'.设 AB=36cm,A'B'=24cm.小孔O到AB的 5.(2024浙江)如图，在平面直角坐标系中， 距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为 △ABC与△A'B'C是位似图形，位似中心为 cm. 点O.若点A(一3,1)的对应点为A'(一6， 2),则点B(一2,4)的对应点B的坐标为 ( 30em十2cm 第4题图 例5图 考点4位似 A.(-4,8) B.(8,-4) 例5(2024凉山)如图，一块面积为60cm的三 C.(-8,4) D.(4,-8) 角形硬纸板（记为△ABC)平行于投影面时，在 点光源O的照射下形成的投影是△A1BC, 友情提示请完成分层特训P:第18讲 第 微课（六） 相似三角形的常见模型 部 题型一 A字型 分 《对点演练 ●模型归纳 形 1.正A字型：根据同位角相等可得另外一组对 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 应角相等，得这两个三角形相似， 上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED 几 何 2.斜交型：根据条件找除公共角外另一组角也 的是 相等或者公共角的两边对应成比例，得这两 个三角形相似， 3.当没有说明对应角的关系时，需分情况讨论。 A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C ∠ACB=909 DE⊥AB B c是船 n品怨 正A字型 斜交型 双垂直共角型 (DE∥BC) 2.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B= 例1如图，在△ABC中，点D在 90°，D为AB的中点，E在线段AC 边AB上，过点D作DE∥BC 交AC于点E.若AD=2,BD= 上，铝瓷则晓的值为 3,则哈是的值是 A B号 A号 B.Z c C或号 D.1 知识精讲 111∠F=∠DEB, 对点演练 在△DFC和△DEB中，{∠FCD=∠EBD, 1.C2.D3.54.A5.B6.5 DF-DE, 7.证明：如图，延长FD到点G,使DG=DF,连 ∴.△DFC≌△DEB(AAS)...DB=DC 接CG. [应用]2a 2.9 3.证明：如图，延长BE交CA的延长线于点F. AD是BC边上的中线，.BD=CD 易证△BDF≌△CDG(SAS), ∴.BF=CG,∠BFD=∠G .CD平分∠ACB,∴.∠BCE=∠FCE .'AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA=∠BFD I∠BCE=∠FCE. .∠G=∠EAF.∴.AC=CG..BF=AC 在△BEC和△FEC中，CE=CE, ∠BEC=∠FEC, 第18讲相似三角形 ∴.△BEC≌△FEC(ASA.).BE=FE=BE 基础知识梳理 知识点1 :∠CDA+∠ACD=90°， 【教材引入】 ∠CFE+∠ACD=90°，∴.∠CDA=∠CFE, 1.解：设两地的实际距离为xcm, 即∠CDA=∠BFA. ∠CAD=∠BAF, 由题意得10000000 1 30,解得x=300000000, 在△CAD和△BAF中，∠CDA=∠BFA, ,300000000cm=3000km, AC=AB. ∴.两地的实际距离为3000km .△CAD≌△BAF(AAS).∴.CD=BF 【知识梳理】 1.相等bc BE-7CD. 2.bc c±d 35-1 d 0.618 d 4.A 知识点2 微课（五）中点问题中的常见模型 【教材引入】 2.解：AG=2,GD=1, 【例1】B【例2】5【例3】号 【例4】35 ∴.AD=3,AB∥CD∥EF,DF=5, 【例5】解：如图，延长AE交BC于点F. 器架是 5 D 【知识梳理】 DE 1. DE DE 2 AE AC 知识点3 点E是CD的中点，DE=CE 【教材引入】 .'AB⊥BC,AB⊥AD, 玉解，(1相似，原因是提斧品=区 .AD∥BC,.∠ADE=∠BCE. I∠ADE=∠FCE, ②)h瓷瓷.∠ACB=∠BCD,知△ACn 在△AED和△FEC中，{DE=CE, △EDC,所以x=40.5,y=98. ∠AED=∠FEC, 【知识梳理】1.相似三角形相似比 ∴.△AED≌△FEC(ASA). 2.(1)相等成比例(2)相似比(3)相似比 .'.AD=FC=5,AE=EF. 相似比的平方 ∴.BF=BC-FC=BC-AD=5. 3.平行三边成比例夹角相等成比例 ∴.在Rt△ABF中，AF=√AB+BF=13. 知识点4 ..AE-AF_13 【教材引入】 221 4.略 ·23· 【知识梳理】1.相等成比例 相似比 2.(1)相等成比例(2)相似比相似比的平方 cos∠DAE=cos30°=AD- AE 2 知识点5 【教材引入】 同理提-9架总 5.(0,2).0,0.(2.0),(2)或0，-2.0. ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. 0.(-2,0).(-2,-2》 罂是.∴BDcE 故(1)中的结论不成立. 【知识梳理】3.(1)相似比 (2)一(3)平行 考点素养精讲 【例619 【例1】B【例2】D【例3】B【例4】48 【例6】解：AE+BF=号AB,证明如下： 【变式1】2：3 【变式2】解：(1)，EF∥BC, 如图，过点D作DN LAC于点N,DH⊥BC于 .△AEFC∽△ABC. 点H. AK,AD分别是△AEF,△ABC的高， 部既紫器 D (2).EH⊥BC,AD⊥BC,.EH∥AD ∠C=90°，AC=BC,∴∠A=∠B=45, 六△BEHO△BAD.EH-BE DN⊥AC,DH⊥BC, AD BA ①. ∴.△ADN和△BDH是等腰直角三角形， 同理影福 ®.①+@，得器+ =1 ..AN=DN,DH=BH,AD=/2AN.BD= V2BH,∠A=∠B=45°=∠ADN=∠BDH, .EH=x,AD=8,BC=12, EF=12-∴S=EH·EF= + △ADNABDH.品- 设AN=DN=x,则BH=DH=2x, 12x=26-40+24 .AD=√2x,BD=2√2x,.AB=3√2x, ,DN⊥AC,DH⊥BC,∠ACB=90°， 当x=4时，S取得最大值，最大值为24. .四边形DHCN是矩形， 【例5】D ∴.∠NDH=90°=∠EDF, 对点演练 ∴∠EDN=∠FDH,又：∠END=∠FHD, 1.B2.A3.D4.205.A △EDNAFDH.器B别号 2 微课（六)相似三角形的常见模型 【例1】A【例2】(1)B(2)D ∴FH=2EN,AE+BF=x+EN+ 【例3】(1)证明：CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥ BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°， ∴.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE= 对点演练 90°，∠C=∠DBE,△ABC△DEB. 1.D 2.C (2)解：：△ABC∽△DEB, 品司 4.解：如图，分别过点A,E作BC的垂线，相交于 品0品是BD-8 点H,G,易证△EGD∽△DHA(一线三垂直). 【例4】解：(1)相等 (2)不成立，理由：在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠DAE=∠BAC=30°， G D H ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE, 设DE=√3a,AD=2a,则AE=√DE+AD= 即∠BAD=∠CAE. √7a,∴BE=6-√7a, ·24·