第17讲 等腰三角形和直角三角形-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

∴.AB=√2AC,∠A=∠B=∠ACD=45°， AD=CD=BD,CD⊥AB,,ED⊥FD, ∴∠EDF=∠CDB=90°，∴∠CDE=∠BDF, ∴.△CDE≌△BDF(ASA),'.CE=BF, ·∠ACB=90°，∴.∠DBC+∠BOC=90° ∴AE+BF=AE+CE=AC-号AB, ·BD⊥AD,∴∠ADB=∠ACB=90°. 【例7】证明：如图，由于AB=AD,将△ABE绕 ∴.∠PAC+∠AOD=90 点A逆时针旋转90°至△ADG,AB与AD '∠BOC=∠AOD,∴.∠PAC=∠DBC .AP=BD,AC=BC, 重合， .△APC≌△BDC(SAS). ∴.CP=CD,∠ACP=∠BCD. ∴.∠ACD+∠PCD=∠ACD+∠ACB. F D ∴.∠PCD=∠ACB=90°. 则∠DAG=∠BAE,AE=AG,BE=DG ∴△PCD是等腰直角三角形 在正方形ABCD中，∠ADC=∠B=90°= .∠CDP=45°..∠ADC=135. ∠ADG,∴.∠FDG=180°，即点F,D,G共线. 6.4 ∴·∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+ 7.解：BD+CE=DE ∠BAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF. 理由：如图，将△ACE绕点A顺 AF=AF. 时针旋转90°到△ABF的位置， 在△EAF和△GAF中，∠EAF=∠GAF, 连接DF,则∠BAF=∠CAE, AE-AG. BF=CE. ∴.△EAF≌△GAF(SAS). AB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°， .'EF=FG=DG+DF=BE+DF. ∴.∠ABD=∠C=45°，∠BAD+∠CAE=45°. 对点演练 又，∠BAF=∠CAE, 1.证明：，AB∥DE,.∠A=∠D,AF=DC, ∴.∠FAD=∠BAF+∠BAD=45°=∠DAE. ..AF+CF=DC+CF,AC=DF. AD=AD, (AC=DF, 在△ADF和△ADE中，∠FAD=∠EAD, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D, AF-AE, AB-DE, ∴.△ADF≌△ADE(SAS)..DF=DE .△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E ,∠ABD=∠C=∠ABF=45° 2.证明：AB=AC,D,E分别为AC,AB的中 ∴.∠DBF=90°.∴△BDF是直角三角形 点，∴.AD=AE ..BD2+BF2=DE2,.'.BD2+CE2=DE2. (AB=AC, 在△ABD和△ACE中，∠A=∠A, 第17讲等腰三角形和直角三角形 AD-AE, 基础知识梳理 .△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE. 知识点1 3.证明：，∠CAF=∠BAE, 【教材引入】 ∴.∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC, 1.38.5 即∠EAF=∠BAC. 【知识梳理】 等腰(1)AC(2)等角ACB ∠C=∠F, (3)平分线中线高CD CAD(4)中 在△BAC和△EAF中，AC=AF, 平分高AD所在的直线(5)两(6)等 ∠BAC=∠EAF, 边ACAD ∴.△BAC≌△EAF(ASA),.AB=AE. 知识点2 4.120° 【教材引入】 5.解：如图，延长AD到点P,使得AP=BD,连 2.解：与BD相等的线段有CD,CF,BE,DE, 接CP,设AC与BD的交点为O. FD.AF,AE. ·21· 【知识梳理】 等边 (1)BCAC(2)60 ..EF+FD-AE+CD. 60(3)三 (4)所有(5)等边(6)等边 ∴AE+CD=DE-AC 等边(7)60°60° 3 :AC=AB=6,.DE=3. 知识点3 【例3】C 【教材引入】 【例4】(1)证明：，AD⊥BC,∴.∠ADC=∠BDF= 3.解：由题意可得AB=2BC,AC心十BC= 90°，在R△ADC和Rt△BDF中，DC=DF, ∫AC=BF, AB,即4+AB=AB,解得AB=43(负值 4 3 ∴.Rt△ADC≌Rt△BDF(HL) (2)证明：Rt△ADC≌Rt△BDF,∴.∠C 已舍去) ∠BFD,,∠DBF+∠BFD=90°， 【知识梳理】(1)互余 (2)一半(3)一半 ∴∠C+∠DBF=90°，.BE⊥AC (4)c2(6)直角 (7)直角 (3)解：'Rt△ADC≌Rt△BDF, 考点素养精讲 BD=4,CD=3,BF=5, 【例1】(1)解：∠ABE=∠ACD.理由如下. ..AD=BD=4,AC=BF=5,BC=BD+ 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, CD=7,:Sae=2BC·AD=2AC·BE, 所以△ABE≌△ACD(SAS).所以∠ABE= ∠ACD. 号×7X4=号X5XBE,BE- 5 (2)证明：因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 对点演练 由(1)可知∠ABE=∠ACD, 1.B2.C 3.D4.B5.A6.8 所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为 微课（四）角平分线的常见模型 AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直 平分线上，即过点A,F的直线垂直平分线段 【例1】1【例2】2【例3】W2-1 BC. 【例4】3或7解法提示：过点P作PE⊥OA于 【例2】解：(1)证明：如图1，过点P作PF∥BC 点E,·点P是∠AOB的平分线C上一点， 可得OE=ON=5,①如图1，若点D在线段 交AC于点F. OE上，连接PD,易证△PMN≌△PDE, 则DE=MN=2,∴.OD=OE-DE=3. ②如图2，若点D在射线EA上，连接PD, 易证△PMN≌△PDE,则DE=MN=2, 图1 ∴.OD=OE+DE=7.综上，OD=3或7. :△ABC是等边三角形， .△AFP也是等边三角形 ∠AFP=∠BCA=60°，AP=PF=CQ, ∴.∠DFP=∠DCQ. 图2 ∠PDF=∠QDC, 对点演练 在△PDF和△QDC中， ∠DFP=∠DCQ, 1.[探究]证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E, PF=QC, DF⊥AC于点F. ∴.△PDF≌△QDC(AAS),∴.PD=QD (2)解：如图2，过点P作PF∥BC交AC于点F AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF, ,PF∥BC,△ABC是等边三角形， ∠F=∠DEB=90°. .△APF是等边三角形， ,∠EBD+∠ACD=180°， .'.AP=PF=AF,.'PE AC,..AE=EF, ∠ACD+∠FCD=180°， 由(1)得△PFD≌△QCD,,.FD=CD. ∴.∠EBD=∠FCD ·22·题型七 半角模型 横刑问纳 [思路分析]利用旋转将△ABE与△ADF拼 接到一起,再利用全等三角形解决问题 当一个角包含着这个角的半角,常将半角 两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三 角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成 的三角形全等 r 对点演 7.如图,在\ABC中,/BAC=90{*},AB=AC 等边三角形含半角,乙BDC=120。 点D,E均在边BC上,且 /DAE=45*},猜想 线段BD,DE,EC满足的等量关系,并说明 理由. “## 等腰直角三角形含半角 -图写 正方形含半角 例7 如图,点E,F分别在正方形 ABCD的边BC,CD上,EAF D友情提示 45*,连接EF,求证:EF-BE+DF 请完成分层特训P微课(三) 第17讲 等腰三角形和直角三角形 课标与考情 课标要求 考情分析 1.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性 根据湖北近年来的中考趋势,关于等腰三角形和直角三 质定理:等腰三角形的两个底角相等:底边上的高线、中 角形的题型主要包括选择题、填空题和解答题;具体分值和 线及顶角平分线重合探索并掌握等腰三角形的判定定 题型分布会因年份而有所不同,但总体来说,这两部分内容 理:有两个角相等的三角形是等腰三角形,探索等边三角 在中考数学试卷中占有一定比重,等腰三角形主要考查性质。 判定和应用,直角三角形主要考查勾股定理及其逆定理、锐 形的性质定理:等边三角形的各角都等于60*,探索等边 三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角 角三角函数和相似的相关性质,湖北中考命题始终注重对学生 基础知识的考查,等腰三角形和直角三角形的性质、判定定 是60*的等腰三角形是等边三角形 理及基本应用是必考内容,在考查基础知识的同时,中考命题 2.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性 也强调对知识的理解和应用能力.例如,通过设计实际问题考 质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边 查学生运用等腰三角形和直角三角形的性质进行求解的能力 上的中线等于斜边的一半,掌握有两个角互余的三角形 在解答题中,等腰三角形和直角三角形的知识往往与其他知 是直角三角形,探索勾股定理及其逆定理,并能运用它 识点相结合进行综合考查,如与函数、方程,四边形等知识 们解决一些简单的实际问题 点的结合 98 指点中考数学 知识点 等腰三角形 中,AD是BC上的高,BDE=/CDF= 60{*}.,图中有哪些与BD相等的线段? 》教材引入。 ## 1.(人教八上教材P77T3改编)如图,在△ABC 中,AB=AD=$DC,$BAD=26^*,则$/C= 知识梳理 概念 有两边相等的三角形是 三角形 (1)两腰相等.如图1,AB-_; 写 (2)两个底角相等(简称“等边对 ”). 知识梳理 如图,已知AB=AC,则ABC= 三边都相等的三角形是 概念 三角形 图1 (3)顶角 、底边上的 、底边 (1)三边相等,如图2,AB- 性质 上的__ 相互重合(简称“三线合一”),如图,已知 AB=AC,AD1BC,则BD= .BAD= (2)三个内角都相等,并且每一个角 性质 都等于_”,如图2,乙A-_B= 图2 (4)是轴对称图形,底边上的 线(顶角的 _C-___”; 线、底边上的 )所在的直线就是它 (3)是轴对称图形,共有。 条对称轴; 的对称轴,如图1,△ABC的对称轴是 (4)具有一般等腰三角形的_性质 (5)有 边相等的三角形是等腰三角形(定义); (5)三边都相等的三角形是_三角形(定义); 判定 (6)等角对 ,如图1,若 ABC=ACB,则 (6)三个角都相等的三角形是 三角形,如 AB- 图2,若乙A-B- C,则△ABC是_三 面积 $c-1BC· 判定角形; 公式 (7)有一个角是 的等腰三角形是等边三角 知识点 形,如图2,若AB-AC,A=,则△ABC 等边三角形 是等边三角形 教材引入 面积 Sc= AB 2.(人教八上教材P80T2如图,等边三角形ABC 公式 知识精讲 99 知识点 直角三角形 知识梳理 》教材引入 直角三角形的性质 直角三角形的判定 3.(人教八下教材P29T11)如图,在RtABC中 C=90{, A-30{},AC=2,求斜边AB$$$ (1)直角三角形的两个锐角 的长. (5)有一个角为90的三角 (2)直角三角形斜边上的中 形是直角三角形(定义); 线等于斜边的 1; (6)两个锐角互余的三 角形是 (3)在直角三角形中,如果一 三角形; 个锐角等于30{},那么它所对 (7)勾股定理的逆定理: 的直角边等于斜边的 {: 如果三角形的两边的平 (4)勾股定理:在直角三角形 方和等于第三边的平 中,两条直角边a,的平方和 方,那么这个三角形是 等于斜边c的平方,即a十 三角形 图写框 考点1 等腰三角形的性质与判定 对点演练 例如图,已知等腰三角形 1.(2024福建)小明用两个全等的等腰三角形设 ABC中,AB=AC,点D,E分 计了一个“蝴蝶”的平面图案,如图,其中 别在边AB,AC上,且AD △OAB与△ODC都是等腰三角形,且它们 AE,连接BE,CD交于点F 关于直线/对称,点E,F分别是底边AB.CD 的中点,OE]OF.下列推断错误的是( (1)判断 ABE与/ACD的数量关系,并说 ) 明理由; (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC A.OB|OD B. BOC=/AOB C.OE-OF D. BOC+AOD-180” 2.(2024赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 2-10x十21-0的两个根,则这个三角形的 周长为 ( ~ A.17或13 B.13或21 C.17 D. 13 100 指点中考数学 考点2 等边三角形的性质与判定 4.(2024包头改编)如图,在扇形AOB中,/AOB 如图1,P为等边三角形ABC的边AB上 80{},半径OA=3,C是AB上一点,连接OC.D 一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ 是OC上一点,且OD=DC,连接BD.若BD ( OC.则BC的长为 ) 连接PQ交AC于点D #7#7## ###。# 图1 图2 A3 B.3 C.5 D.6 (1)求证:PD-QD; (2)如图2,过点P作PE|AC于点E,若AB 考点3 直角三角形的性质与判定 6,求DE的长 例3(2024广州)如图,在△ABC中,A-90, AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别 在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的 面积为 ( ) D.6/2 B.9/2 C.9 A.18 - 图1回框 则4如图,在△ABC中,AD)BC于点D,E是 AC上一点,连接BE交AD于点F,BF AC.DF=DC. (1)求证:△BDF△ADC; (2)求证:BE|AC; 对点演练 (3)若BD-4,CD=3,BF=5,求BE的长$ 3.(2024自贡)如图,等边入ABC钢架的立柱CDl AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短 成DE, BED-60{*,则新钢架减少用 ( ) 行# A.(24-123)m B.(24-8v③)m C.(24-6V③)m D.(24-4③m 知识精讲 101 对点演练 6. 如图,在ABC中.B=/C=30*},AD|AB 5.(2024青海)如图,在Rt△ABC中, 交BC于点D,BC-12,则BD D是AC的中点,/BDC=60*, AC-6,则BC的长是 C.③ B.6 D.3③ 友情提示 请完成分层特训Po第17讲 A.3 微课(四) 角平分线的常见模型 构造 题型一 角平分线十边的垂线 →双垂直 )模型归纳 ACD=180*,ABD 90{$求证:DB=DC [应用]如图3,在四边形ABDC中,/B 过角平分线上一点P向角两边作垂线,这 $4$ $ *, $C-135^{*,DB-DC=a,则AB-AC 两条垂线段相等,两个垂足到角顶点的距离 .(用含a的代数式表示) 相等. ##7#分_#_# #### 图写写 图1 图2 图3 如图,点P在/AOB的平分线上,PD|OA 辅助线作法:作PE1OB 结论:PD-PE 原理:角平分线上的点到角两边的距离相等 则如图,在Rt△ABC中,C-90{*,按以下 步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为 半径作张,分别交AC,AB于点M,N:②分别 以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作 孤,在BAC内两狐交于点O;③作射线 AO.交BC于点D.若点D到AB的距离为 1,则CD的长为 对点演练 1.[感知]如图1,AD平分 BAC,B十/C $18 0*, B-90{*,易知:DB-$DC [探究]如图2,AD平分/BAC,ABD十 102 指点中考数学