第15讲 三角形及其性质-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

程，而是通过测量观察数据而得出的.学习了 求证：∠BGF=∠DHF 反证法后，我们可以尝试给出证明了，请补充 证明：假设 完整 过点G作直线PQ,使得∠PGF=∠DHF, 已知：直线AB∥CD,直线EF分别交AB, ∴.PQ∥CD( CD于点G,H. :AB∥CD,且AB也过点G, 与“ ”矛盾， ∴假设错误，即∠BGF=∠DHF 友情提示请完成分层特训P1第14讲 第15讲 三角形及其性质 课标与考情 课标要求 考情分析 1理解三角形及其内 在湖北中考数学中，三角形及其性质是一个重要的考点，通常会在选择题、填空题和解 角、外角、中线、 答题多种题型中出现这些题日可能直接考查三角形的定义、分类、边角关系，全等三角形的 高线、角平分线等 判定与性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，也可能通过实际应用问题来考查学生对 第 概念，了解三角形 三角形性质的理解和应用能力. 的稳定性 选择题：选择题通常会以较简单的形式出现，如判断三角形的类型、验证三角形的基本 部 2.探索并证明三角形的 性质等这类题目主要考查学生对三角形基础识的理解和记忆. 内角和定理掌握它的 填空题：填空题可能会要求学生填写三角形某个角的度数、某条边的长度或者某个特定 分 推论：三角形的外角 性质的描述等这类题日既考查了学生对三角形基木性质的掌握情况，也考查了学生的计算能 等于与它不相邻的两 力和逻辑推理能力. 个内角的和 解答题：解答题是三角形及其性质考查的重点和难点这类题目通常会设置较为复杂的问 与 3.证明三角形的任意两 题情境，要求学生综合运用三角形的边角关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判 边之和大于第三边 定与性质等知识来解决问题.解答题不仅考查了学生的知识掌屋情况，还考查了学生的分析问 何 题、解决问题以及书面表达能力 理 知识点① 三角形的相关概念及性质 ∠A=40°，∠D=45°，则∠1= ,∠2= 》教材引入 D45y 1.(人教八上表材P8T2改编)长为10,7,5,3的 440 四根木条，选其中三根组成三角形，有选法 ( 》知识梳理 A.1种 B.2种 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条 C.3种 D.4种 线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三 2.(人数八上教材P16T5改编)如图，AB∥CD, 角形. 88 指点中考数学 2.三角形分类 (2)如图(2)，AD,BE,CF是△ABC的三条 锐角三角形 按角分类 角平分线，则∠1= 三角形 ∠3=2 三 钝角三角形 角 ∠ACB=2 三边都不相等的三角形 形 按边分类 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 三角形 3.三角形的有关性质 (1)三角形的稳定性：三角形具有 四边形不具有稳定性 》知识梳理 (2)三角形的三边关系：三角形的两边之和 第三边，三角形的两边之差 重要 字母表示及 定义 图形 第三边， 线段 重要结论 (3)三角形的内角和定理及其推论 过三角形 ①三角形三个内角的和等于 一个顶点 (1)AD BC,即 ②直角三角形的两个锐角 高线 作为对边 B ∠ADB=∠ADC=90°： D ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 所在直线 (AD为BC (2)SMAIC= 内角的 与它不相邻的任 的垂线段 边上的高) 意一个内角 第 连接三角 (3)BD= 知识点②三角形中的重要线段 二 形一个顶 部 》教材引入 中线 点与它对 2 分 边中点的 (AD为中 (4)SAAD SAADC= 3.(人教八上教材P5T1)如图，(1)(2)和(3)中的 线段 线) SAABC 形 三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边 BC上的高AD在各自三角形的什么位置？ 三角形一 几 你能说出其中的规律吗？ 个内角的 (5)∠BAD=∠= 平分线与 2< 角平 这个角的 (6)点D到AB和AC 分线 对边相交， D B D) 的距离相等； (2) 顶点与交 (AD为B4C 点连接的 的平分线) 紧”是-哭 线段 (8)AD=DB,AE= EC: 中 连接三角 (9)DE∥BC,且DE 4.(人教八上教材P5T2)填空： B 位 形两边中 (1)如图(1)，AD,BE,CF是△ABC的三条 (D,E分别 线 点的线段 (10)△ADE与△ABC 中线，则AB=2 ,BD= ,AE= 为AB,AC的 的相似比为 ,面 中点) 积比为 2 知识精讲 89 精讲 考点1三角形的三边关系 点，CF⊥AD,垂足为H.下列判断正确的是 例1下列每组数分别表示三根木棒的长度，将 ( 它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A.1,2,6 B.2,2,4 C.1,2,3 D.2,3,4 《对点演练】 A.AD是△ABE的角平分线 1.一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边 B.BE是△ABD的边AD上的中线 长可以是 .（只填一个即可) C.CH是△ACD的边AD上的高 考点2三角形内角和定理与外角的性质 D.AH是△ABC的角平分线 例2一副三角板按如图所示 例4(1)如图，BE是△ABC 放置，点A在DE上，点F在 的内角平分线，CE是 BC上，若∠EAB=35,则 △ABC的外角平分线，若 ∠A=70°，则∠E= 第 ∠DFC= A.15 B.259 C.35° D.45 二 归纳总结在计算与三角形有关的角度时，先判 (2)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线， 部 断出要求的角与所在三角形中已知角之间的关 若AB=5cm,AC=3m,则S△D:SD= 分 系，再合理选用三角形的内角和定理求角度.在 解题时要注意角平分线的定义、平行线的性质等 形 知识的综合应用， 几 (对点演练 何 A.5:3 B.25:9C.2:1 D.1:1 2.(2024齐齐哈尔)将一个 《对点演练 含30°角的三角尺和直 3.如图，CD⊥AB于点D,已知∠ABC 尺如图放置，若∠1= 是钝角，则 ( 50°，则∠2的度数是 A.线段CD是△ABC的AC边上 A.30° B.40 C.509 D.60° 的高线 考点3三角形的重要线段 B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 例3(1)(2024陕西)如图，在 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 △ABC中，∠BAC=90°，AD D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 是BC边上的高，E是DC 4.如图，AD是△ABC的 的中点，连接AE,则图中的直角三角形有 角平分线，DE⊥AB于 点E,S△Ac=7,DE= A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2,AB=4,则AC的长是 (2)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的 A.3 B.4 C.5 D.6 中点，延长BG交AC于点E,F为AB上一 图友情提示请完成分层特训P:第15讲 90 指点中考数学第二部分 图形与几何 知识点5 【教材引入】 第四单元 三角形 9.(1)(3)是假命题,(2)是真命题 第14讲 线、角、相交线与平行线 【知识梳理】 11.严密 2.(2)真命题 基础知识梳理 (3)假命题(4)互逆命题 知识点1 3.真命题 4.实践 原始依据 公理 5.证明 【教材引入】 考点素养精讲 1.(1)AB>AC (2)AB<AC (3)AB=AC 【例1】③④ 植树时,只要定出两个树坑的位 2.略 置,就能使同一行的树坑在一条直线上(答 3.解:CD-ADAB-AB=1 m. 案不唯一) ② 从A地到B地架设电线,总是尽可能 【知识梳理】 1.一条 直线 2.线段 线段 沿着线段AB架设(答案不唯一) 3.AC AC BC 4. BM BM 【例2】(1)A(2)A【例3】(1)C(2)D (3)B 知识点2 【例4】(1)A(2)B(3)B【例5】B 【教材引入】 对点演练 4.解:10{}与80{},30{}与60{}互为余角,10与170* 1.C 2.5.37 3. B 4.C 5.A 6.④ 30{与150{},60{与120{},80{}与100{}互为补角. 7. BGF去 DHF 同位角相等,两直线平行 5.解:ABC- ACB-62*。 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条 【知识梳理】 2.360{ 180* 60” 直线平行 3.(1)90*相等(2)180{*相等 第15讲 三角形及其性质 4.(1)两个相等(2)相等(3)相等 知识点3 基础知识梳理 【教材引入】 知识点1 6.解:邻补角有;1与 ,1与 2,与 【教材引入】 3,2与3; 1.B 2.40*85{ 对顶角有:a与2,1与3 2.直角 【知识梳理】 等边 如果g是35{,1,2,3分别是145^* 3.(1)稳定性 (2)大于 小于 35^{,145{};a是90{},1,2,3都是90*; (3)①180。 ②互余 ③和 大于 是115^{},1,2,3分别是65{},115*} 知识点2 65{*};a是m*,1,2,3分别是(180- 【教材引入】 n)”,m{,(180-m)”。 3.解:①不同:图(1)中 B为锐角,图(2)中 B 7.解:图(1)中,同位角有1与5,2与6 为直角,图(3)中/ABC为钝角 3与 7,4与8;内错角有4与5. ②位置:图(1)中AD在三角形内部,图(2)中 3与6;同旁内角有3与5,4与 AD为三角形的一条直角边,图(3)中AD在 6.图(2)中,同位角有1与3,2与 三角形的外部 /4.同旁内角有2与/3 ③规律;锐角三角形的高在三角形内部,直角 【知识梳理】 1.(2)7或5 6或8 三角形的直角边上的高与另一条直角边重 2.(2)7 合,钝角三角形有两条高在三角形外部 3.(1)6 8(2)5(3)8 4.(1)AF(或BF) CD AC (2)2 知识点4 ABC 4 【教材引入】 (1)1 (2)BC·AD 8.解:(1)AD//BC,根据是“同位角相等,两直 【知识梳理】 线平行”. (5)CAD BAC (2)DC//AB,根据是“内错角相等,两直线平行” 【知识梳理】 2.(2)相等(3)互补 3.(1)距离(2)相等 .19· 考点素养精讲 在Rt\ACD中,AD+CD=AC*}, 【例1】D【例2】100*【例3】(1)C (2)C ..(4a)+(3)-25^}, .:a0..a-5. 【例4】(1)C(2)D 对点演练 答:砌墙砖块的厚度a为5cm 对点演练 1.4(答案不唯一,大于2且小于8的数均可 1.A 2.D 3.6 2.B 3.B 4.A 微课(三) 全等三角形的常见模型 第16讲 全等三角形 【例1】(1)证明:·:AD-BE. 基础知识梳理 *.AD+DB=BE十DB,即AB=DE$ 知识点1 “.AC-DF,BC-EF. 【教材引入】 .△ABC△DEF(SSS). 1.解:(D对应边:EF与NM.FG与MH.FG与NH (2)解:·△ABC△DEF,A-55*, A- FDE=55^*,E-45^*, 对应角: E与 N,EGF与 NHM (2)NM-EF-2.1 c m,HG=NH-NG “F=180*- FDE- E-80*。 【例2】(1)证明:在△ABC和△BAD中, NH-EH-2.2cm. [C-D. 【知识梳理】1.重合 CBA=DAB.'△ABC△BAD(AAS) 2.(1)相等 相等 (2)相等 相等 相等 AB-BA. 知识点2 (2)20. 【教材引入】 【例3】证明:':AC/DB,A-B 2.0.8 [A-B, 3.证明:.1=2,1+ECA=2+ 在△AOC和△BOD中,AO-BO, ACE,即ACB-DCE. AOC-BOD. [CA-CD. .AOCBOD.AC-BD ACB-DCE, 在△ABC和△DEC中, 【例4】证明:'B=C-90*,AED=90{,$ BC-EC. “ BAE+AEB= AEB十CED=90 .. /BAE- CED ..ABCDEC(SAS)...AB=DE [B-C. 【知识梳理】 SSS SAS ASA AAS HL 在△ABE和△ECD中,AB=EC, 考点素养精讲 /BAE-/CED 【例1】(1)(2)×(3)×(4)× (5)X '.ABEECD(ASA)...AE-ED (6)× ·.AED-90*,..△ADE是等腰直角三角形. 【例2】B 【例5】解:(1).ABC和ADE均为等边三角 【例3】(1)证明:由题意得AC=BC,ACB 形,.AB-AC,AD=AE,BAC= DAE B=60{,BAC-DAC= DAE 90{*}.AD |DE,BE |DE DAC,即BAD=CAE...△BAD *. ADC=CEB-90*$ACD+BCE=90*$ CAE(SAS)... ACE- B-60* .ACD+CAD=90{}..BCE=CAD (2)AC=CD+CE.证明如下: [ADC=CEB, 由(1)得BADCAE..'.BD=CE 在△ADC和△CEB中,CAD=BCE, “.AC=BC=BD+CD...AC=CD+CE AC-BC, 【例6】证明:如图,连接CD. ..ADC/CEB(AAS). (2)解:'一块墙砖的厚度为acm .AD-4a,BE-3a, 由(1)得△ADC△CEB..'.DC=BE=3a “* ACB=90*$AC=BC.AD=DB$ .20.