第14讲 线、角、相交线与平行线-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第二部分 图形与几何 知识点5 第四单元 三角形 【教材引入】 9.(1)(3)是假命题，(2)是真命题. 第14讲线、角、相交线与平行线 【知识梳理】 1.严密 基础知识梳理 2.(2)真命题 (3)假命题(4)互逆命题 知识点1 3.真命题4.实践原始依据公理5.证明 【教材引入】 考点素养精讲 1.(1)AB>AC (2)AB<AC (3)AB-AC 【例1】③④植树时，只要定出两个树坑的位 2.略 置，就能使同一行的树坑在一条直线上（答 3.解：CD=2AD=号·2AB=AB=1cm 案不唯一) ②从A地到B地架设电线，总是尽可能 【知识梳理】1.一条直线2.线段线段 沿着线段AB架设（答案不唯一） 3.AC AC BC 4.BM BM 【例2】(1)A(2)A【例3】(1)C(2)D(3)B 知识点2 【例4】(1)A(2)B(3)B【例5】B 【教材引入】 对点演练 4.解：10°与80°、30与60°互为余角，10°与170°、 1.C2.5.373.B4.C5.A6.④ 30°与150°、60°与120°、80°与100°互为补角. 7.∠BGF≠∠DHF同位角相等，两直线平行 5.解：∠ABC=∠ACB=62 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条 【知识梳理】2.360°180° 60" 直线平行 3.(1)90°相等 (2)180° 相等 第15讲 三角形及其性质 4.(1)两个相等 (2)相等(3)相等 知识点3 基础知识梳理 【教材引入】 知识点1 6.解：邻补角有：∠1与∠a,∠1与∠2，∠a与 【教材引入】 ∠3，∠2与∠3： 1.B2.40° 85 对顶角有：∠a与∠2，∠1与∠3. 【知识梳理】 2.直角 等边 如果∠a是35°，∠1，∠2，∠3分别是145°， 3.(1)稳定性 (2)大于 小于 35°，145°；∠a是90°，∠1，∠2，∠3都是90°； (3)①180° ②互余 ③和大于 ∠a是115°，∠1，∠2，∠3分别是65°，115°， 知识点2 65°；∠a是m°，∠1，∠2，∠3分别是(180 【教材引入】 m)°，m°，(180-m)°. 3.解：①不同：图(1)中∠B为锐角，图(2)中∠B 7.解：图(1)中，同位角有∠1与∠5，∠2与∠6， 为直角，图(3)中∠ABC为钝角 ∠3与∠7，∠4与∠8：内错角有∠4与∠5， ②位置：图(1)中AD在三角形内部，图(2)中 ∠3与∠6；同旁内角有∠3与∠5，∠4与 AD为三角形的一条直角边，图(3)中AD在 ∠6.图(2)中，同位角有∠1与∠3，∠2与 三角形的外部。 ∠4，同旁内角有∠2与∠3. ③规律：锐角三角形的高在三角形内部，直角 【知识梳理】1.(2)∠7或∠5∠6或∠8 三角形的直角边上的高与另一条直角边重 2.(2)∠7 合，钝角三角形有两条高在三角形外部. 3.(1)∠6 ∠8(2)∠5 (3)∠8 4.(1)AF(或BF)CDAC(2)∠2 知识点4 ∠ABC∠4 【教材引入】 8.解：(1)AD∥BC,根据是“同位角相等，两直 【知识梳理】(I)L(2)BC·AD 线平行” (2)DC∥AB,根据是“内错角相等，两直线平行” (3)CDBC(4) (5)CAD BAC 【知识梳理】2.(2)相等(3)互补 3.(1)距离(2)相等 (9)2BC (10)1:21:4 ·19第二部分 图形与几何 第四单元 三角形 第14讲线、角、相交线与平行线 课标与考情 课标要求 考情分析 1通过实物和模型，了解从物体抽象出米的几何体，平而、直线和点等概念 线，角、相交线与平行线是初中数 2会比较线段的长短，弹解线段的和、差，以及线段中点的意义 学几何部分的基础内容，也是中考数学 3.学据基本半实：①两点确定一条直线；②两点之间线段城， 的重要考点之一这些灯识点不仅单独考 4.理解两点间距离的意义。能度量和表达两点问的距离 查，还常常与其他几何知识相结合，出 5理解对顶角、余角、补角等概念，探素并学握对顶角相等、问（或等） 现在各种题型中，主要考查线段的定义 的余角相等、同角（域等角的补角相等的性质。 性质及计算（如中点、距离等：角的定 6理解垂线、垂线段等概念，能川二角板或量角器过一点已知直线的垂线。 义、分（如锐角、白角、钝角、平角、 7.学啦恭本事实：同一平向内，过一点有且具有一条直线与已知直线币直. 周角等)、性质及计算（如余角、补角，对 第 8理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 顶角等)：两条直线相交形成的角（如邻补 9.识别位伯、内错角、旁内伯：理解平行线的概念 角，对顶角)及其性质；垂线的定义、性 10,掌抛平行线的两个基本中实 质及判定（如过一点有日仅有一条直线垂 部 11探索并证明平行线的判定定理，掌探平行线的性质定理 直于已知直线；垂线段最短原理及其应 分 12.理解师平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理及其逆用 用：平行线的定义及性质（如同位雅、内 13.理解线段垂直平分线的概念，探索并球明线段垂有平分线的性质定理及 错角、同旁内角的关系)：平行线的判足 形 其逆用 方法（如利川同位角、内错角、同旁内角 14通过具休实例，了解定义，命题、定理，推论的意义结合具体实例，会 的关系)：平行线间的距离及其性质（如两 区分合题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念会识别两个互逆 平行线间的距离处处相等选择题中通过 何 的命题，知道惊命题成立其逆命题不一定成立知道证明的意义和证明的 选项直接考查对概念、性质的理解及简 必要性了解反例的作川，知道利川反例可以判断一个命题是错误的通过 单应川：填空题中要求准确斯写答案， 实例体验反证法的含义 考查对知识点的学据程度：解答题中结 15能用尺规作刻：作一个角等小已知角：作→个角的平分线；作一条线段的垂 合图形，通过推理、计算等步骤解狄问 直平分线；过~点作已知有线的垂线：过直线外·点作这条直线的平行线， 题，考查综合运用能小 人梳 理 知识点1 直线与线段 》教材引入 1.(人教七上教材P128T1)估计下列图中线段 AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用 圆规来检验你的估计， 82 指点中考数学 2.(人最七上教材P128T2)如图，已知线段a,b, 5.(人教七上教林P139T5)如图，BD和CE分别 作一条线段，使它等于2a一b. 是∠ABC和∠ACB的平分线，且∠DBC= ∠ECB=31°，求∠ABC和∠ACB的度数，它 们相等吗？ 3.(人最七上数林P128T3)如图，点D是线段AB 的中点，C是线段AD的中点，若AB=4cm, 求线段CD的长度. A c D B 》知识梳理 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只 有.简单说成：两点确定一条 2.线段的基本事实：两点的所有连线中， 最短.简单说成：两点之间， 最短. 》知识梳理 第 3.线段的和与差：如图，点B为线段AC上一点， 1角的概念：有公共端点的两条射线组成的 则AB+BC= :AB= -BC; 图案 部 =AC-AB. 分 2.度、分、秒的转换：1周角= ,1平角= 有方 图 ,1°=60'，1'= 4.线段中点的性质：如图，若点M是线段AB的 3.余角、补角的定义及性质 与 中点，则AM= =2AB或AB= (1)余角的定义：如果两个角的和等于 何 2AM=2 则这两个角互余： 性质：同角（或等角）的余角 知识点2 角及角平分线 (2)补角的定义：如果两个角的和等于 》教材引入 则这两个角互补： 性质：同角（或等角）的补角 4.(人教七上数材P138T1)图中给出的各角中，哪 4.角平分线 些互为余角？哪些互为补角？ (1)定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这 红 660“ 801 个角分成 的角的射线，叫做这个角 的角平分线， 100 1209 150a 1700 (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离 (3)判定：在角的内部，到角的两边的距离 的点在角的平分线上. 知识精讲 83 知识点③ 相交线 》知识梳理 》教材引入 1.邻补角 6.(人教七下教材P3练习题改编)如图，取两根 木条a,b,将它们钉在一起，并把它们想象成 两条直线，就得到一个相交线的模型，你能说 76 出其中的一些邻补角与对顶角吗？两根木条 (1)性质：互为邻补角的两个角之和等 所成的角中，如果∠a=35°，∠1，∠2，∠3各 于180° 等于多少度？如果∠α等于90°，115°，m°呢？ (2)举例：如图，∠1与∠4或∠2，∠6与， ∠4与∠3或∠1，∠5与 2.对顶角 (1)性质：对顶角相等. [提示]相等的两个角不一定是对顶角， (2)举例：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与， ∠6与∠8. 3.三线八角 (1)同位角：∠1与∠5，∠2与 ·3 第 与∠7，∠4与 二部 (2)内错角：∠2与∠8，∠3与 (3)同旁内角：∠2与∠5，∠3与 4.垂线性质 形 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直； 何 7.(人教七下教材P7练习T1)分别指出下列图中 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线 的同位角、内错角、同旁内角 段中，垂线段最短 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 234 6.线段垂直平分线 (2) (1)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等， (2)判定：到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上。 知识点4 平行线 》教材引入 8.(人最七下教材P14T1)如图，BE是AB的延长线. (1)由∠CBE=∠A可以判定哪两条直线平 行？根据是什么？ 84 指点中考数学 (2)由∠CBE=∠C可以判定哪两条直线平 (2)邻补角是互补的角： 行？根据是什么？ (3)同旁内角互补. 》知识梳理 1.平行公理及推论 (1)公理（基本事实）：经过直线外一点，有且 只有一条直线与这条直线平行. 》知识梳理 (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平 L.定义：能明确指出概念、含义或特征的句子， 行，那么这两条直线也互相平行，即如果b八 它必须 a,c∥a,那么b∥c. 2.命题 2.判定与性质 (1)定义：判断一件事情的语句，由题设和结 第 ①同位角相等器两直线平行：此判定方法 论两部分组成 (2)真命题：正确的命题称为 是基本事实 部 (3)假命题：错误的命题称为 分 (2)内错角 判能两直线平行： 性质 (4)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命 图 判能两直线平行， 题的题设是第二个命题的结论，而第一个命 形 (3)同旁内角 性质 与 题的结论是第二个命题的题设，那么这两个 [提示]在同一平面内，垂直于同一条直线的 命题称为 何 两直线平行 3.定理：经过推理证实的真命题叫做定理.因为 3.两条平行线之间的距离 定理的逆命题不一定都是 ,所以不 (1)定义：两条平行线中，一条直线上任意一 是所有的定理都有逆定理 点到另一条直线的 叫做这两条平行 4.公理：有一类命题的正确性是人们在长期的 线间的距离 中总结出来的并把它们作为判断其 (2)性质：两条平行线之间的距离处处 他命题真伪的 ,这样的真命题叫做 夹在两条平行线间的平行线段处处相等 知识点5 定义、命题、定理、公理、证明 5.证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑 思维推理来判断一个命题是否正确，这个推 》教材引入 理过程称为 9.(人表七下最材P24T12)判断下列命题是真命 .反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出 题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例， 明显矛盾的结果，从而推出假设不成立，原命 (1)两个锐角的和是锐角： 题得证 知识精讲 85 素养精讲 考点1角、线段的性质 考点2相交线和平行线的性质 例1下列四个日常现象： 例3(1)已知直线AB,CB,1在同一平面内，若 踏板 B地 AB⊥I,垂足为B,CB⊥I,垂足也为B,则符 合题意的图形可以是 ①洗远剥量②道路改道③平板弹彬线①锉筑人砌墙 其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的 是 (填序号)，请你再举出一个用此 解释的实例是 (2)数学课上老师用双手形象地表示了“三线 八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直 可以用“两点之间线段最短”来解释的是 线，食指代表截线).从左至右依次表示 (填序号)，请你再举出一个用此解释的实例 是 络式 第 二 例2(1)(2024兰州)已知∠A=80°，则∠A的补 A.同旁内角、同位角、内错角 部 角是 ( B.同位角、内错角、对顶角 分 A.100 B.80° C.对顶角、同位角、同旁内角 C.40° D.10 D.同位角、内错角、同旁内角 形 与 (2)互不重合的A,B,C三点在同一条直线 (3)(2024北京)如图，直线AB和CD相交于点 何 上，已知AC=2a十1，BC=a+4,AB=3a,这 O,OE⊥OC,若∠AOC=58°，则∠EOB的大 三点的位置关系是 小为 ( A.点A在B,C两点之间 B.点B在A,C两点之间 C点C在A,B两点之间 A.29 B.32 C.45 D.58 D.无法确定 例4(1)下列画出的直线a与b不一定平行 对点演练) 的是 ( 1.(2024广西)如图，2时整，钟表的时针和分针 所成的锐角为 ( A B 正安 C D A.20° B.40 (2)(2024湖北)如图，一条公路的两侧铺设了 C.60 D.80 AB,CD两条平行管道，并有纵向管道AC连 86 指点中考数学 通，若∠1=120°，则∠2的度数是 5.(2024福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的 三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆 放，若AB∥CD,则∠1的大小为() A.50 B.60 C.70° D.80 (3)跨物理学科如图，一束平行光线照射平面 、2024深划 A.30° B.45 镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1 C.60° D.75 50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为 考点3命题与证明 例5下列命题中，其逆命题是真命题的是 4 A.对顶角相等 A.40 B.50° B.两直线平行，同位角相等 C.60° D.70° C.全等三角形的对应角相等 方点演练 D.正方形的四个角都相等 2.如图是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好 《对点演练】 的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA 第 6.创新性推理是数学的基本思维方式，若推理 5.52米，PB=5.37米，MA=5.60米，则李 过程不严谨，则推理结果可能产生错误， 部 晓松的跳远成绩应该为 米 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等 分 踏板 沙坑 于0”，并证明如下： 图 设任意一个实数为x,令x=m,等式两边都 与 乘x,得x2=m.无.① 3.(2024河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方 等式两边都减m,得.x2一m2=mx一m.② 何 向上，则∠1的度数为 等式两边分别分解因式，得(x十m)(x一m) m(x-m.③ 50 等式两边都除以x一m,得x十m=m.④ 等式两边都减m,得x=0.⑤ A.60 B.50 所以任意一个实数都等于0. C.40 D.30 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对 4.(2024广东)如图，一把直尺、两个含30°角的三 应的序号是 角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为() 7.综合与实骏人教版初中数学教科书七年级下 册第18~19页告诉我们平行线所具有的3 个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所 截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位 A.120 B.90° 角相等.其中性质2,3都是利用性质1推导 C.60° D.30° 出来的，但是书上却没给出性质1的推理过 知识精讲 87 程，而是通过测量观察数据而得出的.学习了 求证：∠BGF=∠DHF 反证法后，我们可以尝试给出证明了，请补充 证明：假设 完整 过点G作直线PQ,使得∠PGF=∠DHF, 已知：直线AB∥CD,直线EF分别交AB, .PQ∥CD( CD于点G,H. ,AB∥CD,且AB也过点G, 与“ ”矛盾， .假设错误，即∠BGF=∠DHF 它友情提示请完成分层特训P,第14讲 第15讲 三角形及其性质 课标与考情 课标要求 考情分析 1.理解三角形及其内 在湖北中考数学中，三角形及共性质足一个重要的考点，通常会在选择题、填空题和解 角、外角、巾线、 答题多种题型中山现这些惑H可能直接考查三附形的定义，分类、边角关系、全等三角形的 高线、角平分线等 判定与性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，也可能通过实际应川问题米考查学生对 第 微念，了解一角形 三角形性质的理解和应用能力 二 的稳定性 选择数：选择匙道常会以较简单的形式出现，如判断一二角形的类型、验证一角形的基本 部 2保索并证明二角形的 性质等这类题月主要考查学生对三介形基础知识的理解利忆 内角和定理学握它的 填空题：填空题可能会要求学生填与-角形某个角的度数、某条边的长度或者某个特 分 淮论：三角形的外作 性质的描述等这类题山既考查了学作对二角形基木性质的分握情况，也考查了学的计算能 等」夕它不相邻的两 力和逻辑推弹能力 形 个内角的和. 解答题：都答题足三角形及其性质考查的重点和难点这类题日通常会设惜较为复杂的问 3.证明-角形的任意两 题情境，要求学生综合运川三角形的边角关系，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判 边之和大于第一边 定与性质等知识米解决问题解答题不议考在了学生的知识举推情况，还考查了学生的分析问 何 题、解决问邀以及书面表达能力 梳 理 知识点① 三角形的相关概念及性质 ∠A=40°，∠D=45°，则∠1 ∠2 2教材引入 D as y c L.(人教八上教材P8T2改编)长为10,7,5,3的 4440 四根木条，选其中三根组成三角形，有选法 ( 》知识梳理 A.1种 B.2种 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条 C.3种 D.4种 线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三 2.(人教八上表材P16T5改编)如图，AB∥CD, 角形. 88 指，点中考数学