第13讲 二次函数的实际应用-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第13讲 二次函数的实际应用 (3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800, ∴.当x=20时，S有最大值800. 基础知识梳理 答：当x的值是20时，矩形实验田的面积S 知识点1 最大，最大面积是800m2. 【教材引入】 【例3】解：(1)设y与x之间的函数关系式是 1.解：设平行于墙的一边长为xm,菜园面积为y㎡， y=kx+b, 则垂直于墙的一边长是02m,由题意，得 40k十b=164:解得 由表格可得50k+b=124, =-4, y=x.30x-30x-x2 b=324, 即y与x之间的函数关系式是y=一4.x十 324(30≤x≤80，且x是整数). 2+15x(0<r<18. (2)由题意可得，=x(一4x十324)一2000 b 15 -4.x2+324.x-2000, 当x= 2a =15时，302= 2x(-2 即与x之间的函数关系式是w=一4x2十 324x一2000(30≤x≤80，且x是整数). 艺y最大，最大值为如 0-15 (3)由(2)知=一4x2+324x-2000=一4(x Aa 4×(-2》 40.5)2+4561, ,30≤x≤80，且x是整数， 罗当平行于墙的一边长和垂直于墙的 ∴.当x=40或41时，取得最大值，=4560. 答：该影院将电影票售价x定为40元/张或41 15 边长分别为15m,气m时，菜园有最大面积， 元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 最大面积是2空m2。 【例4】解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx十b, 把x=12,y=56;x=20,y=40代入，得 知识点2 【教材引入】 十6解得合 120k+b=40, 2.解：设房价为(180十10x)元，利润为y元，则 ∴y与x的函数表达式为y=一2x十80. 定价增加了10x元，此时空闲的房间为x间， (2)设日销售利润为元， 由题意得，y=(180+10x)(50-x)一(50一 根据题意，得=(x一10)·y x)×20=-10x2+340.x+8000=-10(.x- =(x-10)(-2.x+80) 17)2+10890,故可得当x=17,即房价为180十 =-2.x2+100x-800 170=350元时，利润最大，最大利润是10890元 =-2(x-25)2+450, 答：房价定为350元时，利润最大，最大利润 ∴.当x=25时，有最大值为450， 是10890元. ∴.糖果销售单价定为25元时，所获日销售 知识点3 利润最大，最大利润是450元 【教材引入】 (3)设日销售利润为元， 3.解：s=601-1.5t=-1.5(-40t+400)+ 根据题意，得=(x一10一m)·y 1.5×400=-1.5(1-20)2+600,∴.当t=20 =(x-10-m)(-2.x+80) 时，s取最大值，且最大值是600，即飞机着陆 =-2.x2+(100+2m)x-800-80m, 后滑行600m才能停下来. .当x= 100+2m=50m”时，w有最大值 2×(-2) 2 考点素养精讲 【例1】46.4 为-240y+10+2m(0”-80 【例2】解：(1)y=-2x十80，S=x(-2.x十80)= 80m, -2x2+80.x. .糖果日销售获得的最大利润为392元， (2),y≤42，.-2x+80≤42，∴.x≥19， ∴.19≤x<40,当S=750时，-2.x2+80x -2以0y+(100+2m(0）-80 750,解得x=25或x=15(舍去)， 80m=392, '.当x=25m时，矩形实验田的面积S能达 化简得m2-60m+116=0, 到750m2. 解得m1=2,m2=58, ·16 当m=58时，对称轴为x=54, 令-2x2+30.x=100,整理得x2-15.x+50= 则每盒的利润为54-10一58<0，舍去， 0,解得x1=5,x2=10, .m的值为2. 6≤x<15,∴x=10, 【例5】解：(1)①a= 15b=8.1. 答：当垂直于墙的一边长为10m时，能围成 一个100m的矩形劳动实践基地. ②由①得y=-r+x (3),-2x十30≤14，解得x≥8， .8≤x<15. =-(x-5+50≤≤9. s-2x+30x=-2x-9}°+2罗5 六火箭运行的最高点是5km, 一2<0，.抛物线开口向下 5-1.35=2.4km. “对称轴为x=只，<8， ∴.8≤x<15在对称轴右侧，S随x的增大而 …2.4=- +x,整理得r-15+36=0, 减小， 解得x=12>9(不合题意，舍去)，x2=3. .当x=8时，S最大值=112. 答：当垂直于墙的一边长为8m时，矩形劳动 由①得y= 2x+81, 实践基地的面积最大，最大值为112m2. 2.解：(1)由题意，得y=x(30-3x)=-3x2十30.x ∴.2.4=- x十8.1，解得x=11.4. (2)当y=63时，-3.x2+30.x=63, .11.4-3=8.4(km). 解得x1=7,x2=3. 答：这两个位置之间的距离为8.4km. 当x=7时，30-3.x=9<10,符合题意： 2 (2)一27<a<0时，火箭落地点与发射点的 当x=3时，30-3x=21>10,不符合题意，舍去. .当AB的长是7m时，花圃的面积为63m. 水平距离超过15km. 【例6】解：(1)由题意得顶点P的坐标为(50， 3.解：1)由题意，得y=(20-x)(60+焉×4)= 2),点A的坐标为(0,17)，设缆索L所在抛 物线的函数表达式为y=a(.x一50)2+2，把 号x+20r+120=号x-25r+12250 (0,17)代入得17=a(0-50)2+2,解得a= ,每辆轮椅的利润不低于180元， .200-x≥180，.∴.x≤20 品缆索所在抛物线的函数表达式为 :-名<0当r<25时，y随x的增大而 品-50+2 5 增大， (2),缆索L所在抛物线与缆索L2所在抛 ∴当x=20时，每天的利润最大，为一号× 物线关于y轴对称，∴.缆索L2所在抛物线 (20-25)2+12250=12240(元). 的函数表达式为)y=(x十502+2 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大， 最大利润为12240元 :EF=2.6∴把y=2.6代入得，26=0‘ (2)当y=12160时，-号2+20x+1200= (x十50)2十2，解得x1=-40,x2=-60, 12160,解得=10,2=40（不合题意，舍去）， ∴.FO=40m或FO=60m,,FOOD, ∴.FO的长为40m. ∴60+8×4=64（辆. 对点演练 答：这天售出了64辆轮椅. 1.解：(1)y=-2x十30(6≤x<15), 4.解：(1)设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉 S=-2.x2+30x(6≤x<15), 棕每盒的进价为(n十20)元， (2)能围成一个100m2的矩形劳动实践 基地 由题意得5000-3000 n+20 解得n=30, n ·17 经检验，n=30是原方程的解且符合题意， 10-15-10-5=a-40(分)， .n+20=50. .80a=3000+160(a-40),.a=42.5. 答：猪肉棕的进价为每盒50元，豆沙粽的进 【例3】C 价为每盒30元 对点演练 (2)由题意得y=(x-50)[180-10(x-52)]= 1.B2.B -10z2+1200x-35000=-10(.x-60)2+1000. 3.解：(1)8,20. .52≤x≤70，-100， (2)由图象知，N(19,96). .当x=60时，y取得最大值为1000元. :甲无人机的速度为8米/秒， 5能6 .甲无人机匀速从0米到96米所用时间为 96÷8=12(秒)， 7.解：(1)①3,6 .甲无人机单独表演所用时间为19一12= ②由表可得，抛物线的顶点坐标为(4,8)， 7(秒)，6+7=13（秒），.M(13,48),设线段 b 4 MN所在直线的函数解析式为y=k.x十b, 2a 1 解得 48=13k+b. -62 8 将M13,48),N(19,96)代入得 b=4, 96=19k+b, k=8, .二次函数的解析式为y=一 x2+4 解得 。线段MN所在直线的函数 1b=-5 15 解析式为y=8x-56. 2+4x 联立得 解得 x0或 (3)两架无人机表演训练到2秒或10秒或16 y=0 15 秒时，它们距离地面的高度差为12米。 8 4.A ∴点A的坐标是（受，》，。 单元整合方案 (2)①8. 【例1】解：依题意得 x+320:解得 x-2≠0， ≥一3所 x≠2， 苏·则需 ②=-50+w=-5-8)+ 以自变量x的取值范围是x≥一3且x≠2. 8,解得v=4√10（负值已舍去）， 【例2】C【例3】C 【例4】解：(1)由题意得较大矩形的宽为2xm, 微课（二) 函数图象的判断与应用 【例1】C 则长为24-7一2红=8-x(m), 3 【例2】解：(1)由题意可知，A档速度为4000÷ .(x十2.x)(8-x)=36,.x1=2,x2=6, 50=80(米/分)， 当x=6时，3.x=18>10(舍去)： 则B档速度为80+40=120（米/分），C档速 当x=2时，3x=6<10,符合题意. 度为120+40=160（米/分）. 答：此时x的值为2. 答：A,B,C各档速度分别为80米/分、120 (2)设总面积为ym.,墙的长度为10m, 米/分、160米/分. 0<3x<10,0<≤8， (2)小丽第一段跑步时间为1800÷120=15（分）， 小丽第二段跑步时间为1200÷120=10（分）， ∴.y=(x+2x)(8-x)=-3.x2+24x 小丽第三段跑步时间为1600÷160=10（分）， =-3(x-4)2+48, 则小丽两次休息时间的总和为50一10一15一 当x= 时 140 3 10-10=5(分). 答：小丽两次休息时间的总和为5分钟. 答：当x为号m时，矩形养殖场的总面积最 (3),小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑 步累计里程相等， 大，最大值为四m㎡。 ∴.此时小丽在跑第三段，所跑时间为α一 【例5】B【例6】-6【例7】-2<x<0或x>3 ·18·第13讲 二次函数的实际应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1.通过对实际问题的分析,体会二次函 此部分内容在中考中常常考查背景为面积问题,利润问题和实物抛物线 数的意义. 问题,考试的具体知识点主要是求自变量范围内的二次函数最值问题,或者 2.会求二次函数的最大值或最小值,并 与一元二次方程结合起来考查,此部分内容常常以选择题、填空题和解答题 能确定相应自变量的值,能解决相应 的形式出现,考查难度主要以简单题和中档题为主,在2024年湖北省的中考 的实际问题 中,出现在试卷的第22题 1给而 知识点 二次函数在面积问题中的 知识点 二次函数在销售问题中的 应用 应用 》教材引入 》教材引入. 1.(人教九上教材P5T7如图,用一段长为30m 2.(人教九上教材P52T8某宾馆有50个房间供 的篱色围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 游客居住,当每个房间每天的定价为180元 为18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园 时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价 的而积最大?最大而积是多少 每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果 18 游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 20元的各种费用,房价定为多少时,宾馆利 润最大? 知识梳理 知识梳理 销售利润问题:理清变量之间的关系,找出问 图形面积问题:利用几何知识用变量x表示 题中的数量关系,列出函数关系式,确定自变 出图形的面积y,确定自变量的取值范围,根 量的取值范用,根据要求求函数的最值或建 据要求求函数的最值或建立方程求解 立方程求解 72 指点中考数学 知识点 实物抛物线 知识梳理 》教材引入 1. 实物抛物线问题的求解步骤 3.(人教九.上教材P52T3)飞机着陆后滑行的距离 (1)根据实际问题的条件建立适当的平面直 角坐标系; s(单位:m)关于滑行的时间z(单位:s)的函数 解析式是s-60-1.5r^{},飞机着陆后滑行多 (2)指出已知点的坐标(长度转化为坐标); 远才能停下来? (3)设出适当的解析式: (4)用待定系数法求出解析式: (5)根据条件解决相应问题 2.常见类型:隧洞,桥梁,体育运动等 1 考点1 二次函数在面积问题中的应用 (3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S 刻(2024自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块 最大?最大面积是多少? 42m 面积足够大的平整空地,地上两段围墙ABl CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙 实验田 空缺.同学们测得AE-6.6m,OE-1.4m. OB-6m.OC=5m,OD=3m.班长买来可 切断的围栏16m,准备利用已有围墙,围出 一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是 m2. 对点演练 例②(2024湖北)如图,某校劳动实践基地用总 1.(2024湖北模拟)习近平总书记强调:“要教育 长为80m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形 孩子们从小热爱劳动、热爱创造”,某校为促 进学生全面发展、健康成长,计划在校园围墙 实验田,墙长为42m,栅栏在安装过程中不 内围建一个矩形劳动实践基地,其中一边靠 重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边 墙(如图),另外三边用长为30m的篱爸围 长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单 成,已知墙长为18m,设这个矩形劳动实践 位;m),面积为S(单位;m^{}) 基地垂直于墙的一边的长为xm,平行于墙 (1)直接写出v与x,S与x之间的函数解析 的一边的长为ym,矩形劳动实践基地的面 式(不要求写x的取值范围); 积为Sm{}. (2)矩形实验田的面积S能达到750m{吗? (1)请直接写出v与x,S与x的函数解析式 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由; 并写出自变量文的取值范围. 知识精讲 73 (2)能否围成一个100m{}的矩形劳动实践基 考点2 二次函数在销售问题中的应用 地,若能,请求出此时垂直于墙的一边的长; 例③(2024滨州)春节期间,全国各影院上映多 若不能,请说明理由 部影片,某影院每天运营成本为2000元,该 (3)若根据实际情况,可利用的墙的长度不超 影院每天售出的电影票数量v(单位:张)与 过14m,垂直于墙的一边长为多少时,这个 售价x(单位:元张)之间满足一次函数关系 矩形劳动实践基地的面积最大?并求出这个 (30x80,且x是整数),部分数据如下表 最大值 所示: 181 电影票售价x(元张) 40 50 劳动实践基域 1 售出电影票数量y(张) 164 124 (1)请求出v与x之间的函数关系式; (2)设该影院每天的利润(利润一票房收入一 运营成本)为(单位;元),求w与x之间的 函数关系式: (3)该影院将电影票售价:定为多少时,每天 获利最大?最大利润是多少? 2. 原创如图,有长为30m的篱爸,一面利用墙 (墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有 一道篱笛(平行于AB)的矩形花圃,设花圃的 一边AB的长为xm,面积为ym^②}。 (1)求v与x的函数解析式(不要求写x的取 值范围); (2)如果要围成面积为63m^{}的花圃,AB的 长是多少? 例4 (2024青州)某超市购入一批进价为10元/盒 的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价 C 不低干进价时,日销售量v(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系,下表是v与x的几组 对应值. 销售单价:元 .. 销售量y/盒 ._ 56 52 48 44 40 (1)求y与x的函数表达式; (2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售 利润最大,最大利润是多少 74 指点中考数学 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利 4.(2024内江)端午节吃粽子是中华民族的传统 院赠送一件价值为元的礼品,赠送礼品 习俗,市场上猪肉粽的进价比豆沙棕的进价 后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润 每盒多20元,某商家用5000元购进的猪肉 为392元,求n的值 棕盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同. 在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价为 52元时,可售出180盒;每盒售价提高1元 时,少售出10盒. (1)求这两种粽子的进价; (2)设猪肉粽每盒售价为x元(52 x70),y 第 表示该商家销售猪肉粽的利润(单位:元),求 1船 y关于x的函数表达式并求出y的最大值 演练 3.(2024烟台)每年5月的第三个星期日为全国 助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好 生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计 划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利 200元时,每天可售出60辆;单价每降低10 元,每天可多售出4辆,公司决定在成本不变 的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低 于180元,设每辆轮椅降价文元,每天的销售 利润为y元. 考点3 (1)求v与x的函数关系式;每辆轮椅降价多 实物抛物线 少元时,每天的销售利润最大?最大利润为 例(2024武汉)16世纪中叶,我国发明了一种 多少元? 新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖. (2)全国助残日当天,公司共获得销售利润 火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运 12160元,请问这天售出了多少辆轮椅? 行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火 箭第二级沿直线运行 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过 程,如图,以发射点为原点,地平线为工轴,垂 直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标 系,分别得到抛物线y一ax十x和直线y 9 km时,自动引发火箭的第二级 知识精讲 75 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km 的最低点P到FF的距离PD一2m(桥塔的 ①直接写出a,b的值 粗细忽略不计). ②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比 (1)求缆索L,所在抛物线的函数表达式; 火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位 (2)点E在缆索L上.EFI FF,且. EF-2.6m 置之间的距离 FOOD,求FO的长. (2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点 与发射点的水平距离超过15km. 1 y/km (火箭笔二级的引发点) (地平线) 00 (发射点) (落地点)a/m 对演 5.(2024甘肃)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的 横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2 是棚顶的竖直高度v(单位:m)与距离停车棚 支柱AO的水平距离x(单位;m)近似满足函 数关系--0.02x*+0.3x+1.6的图象,点 B(6,2.68)在图象上,若一辆箱式货车需在停 车棚下避雨,货车截面看作长CD一4m,高 DE一1.8m的矩形,则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”) 例6 (2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观 的悬索桥,桥梁的缆索L 与缆索L。均呈抛 物线型,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面 图1 图2 如图所示,以O为原点,以直线FF为x轴 6.(2024广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手 以桥塔AO所在直线为v轴,建立平面直角 坐标系. m,出手后实心球 沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离 是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则 OM- 已知:缆索L.所在抛物线与缆索L。所在抛 m. 物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间 的距离OC-100m,AO-BC=17m,缆索L 76 指点中考数学 7.(2024江西)如图,一小球从斜坡O点以一定的 ①小球飞行的最大高度为 米; 方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y ②求v的值. ar*十bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数 小球飞行的高度v(米)的变化规律如下表: n ,~& 12{ 0 。 1~ 1 小球斜坡 0 米 (1)①n- , ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满 2友情提示请完成分层特训P,第13讲 足关系y=-5r*}十vt 微课(二) 函数图象的判断与应用 题型一 函数图象的信息提取 跨物理学科把多个用电器连接在同一个插 A.当P-440W时,I-2A 2024河南 线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源 B.Q随I的增大而增大 线会明显发热,存在安全隐患,数学兴趣小组 C.I每增加1A.Q的增加量相同 对这种现象进行研穷,得到时长一定时,插线 D.P越大,插线板电源线产生的热量Q越多 板电源线中的电流I与使用电器的总功率P 方法归纳此类题重点关注函数图象的横轴、纵 的函数图象(如图1),插线板电源线产生的热 量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中 轴所表示的含义,特殊点(与坐标轴的交点、拐点 错误的是 ( ) 等)所表示的含义,注重图象信息和实际问题信 超负荷了) 息的相互转化 对点演练 1.科创爱好者徐艺同学研制了一架模型飞机 /A / 该模型飞机在某50s内飞行的高度h(m)与 飞行时间t(s)之间的函数图象如图所示,由 440 PW 图象可知,在这50s内飞机飞行的最大高度 图1 与最小高度的差为 ( 图2 ) 知识精讲 77