第12讲 二次函数的图象和性质-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第12讲 二次函数的图象和性质 课标与考情 课标要求 考情分析 1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义 此部分内容在中考中常赏考查二次函数的图象 2.能画二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质,知道二 和性质,二次函数与方程不等式的关系,也常常与 次函数系数与图象形状和对称轴的关系 一次函数、反比例函数、几何知识等内容结合起来 3.会求二次函数的最人值或最小值,并能确定相应自变量的值 综合考查学生应用数学的能力,选择题、填空题和 能解决相应的实际问题 解答题中均可能出现二次函数的相关内容,考查难 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的 度有简单题,中档题也有难题,中考的压轴题考查 1- 图象求一元二次方程的近似解 的是二次函数的相关内容 知识点① 二次函数的定义及解析式 知识梳理 教材引入。 1.二次函数的概念:一般地,形如 1.(人教九上教材P41T先确定下列抛物线的开 (a,b.c是常数,a去0)的函数,叫做二次函数, 口方向、对称轴和顶点,再描点画图 其中x是自变量,a叫做二次项系数,6叫做 (1)--3r+12x-3; 一次项系数,c叫做常数项 (2)-4-24x+26; 2.二次函数的解析式 (3)-2x+8x-6; (1)一般式: (a70); 1。 (2)顶点式: (a去0),其中抛物 线的顶点坐标为(h,); (3)交点式: (a子0),其中x,x 为抛物线与x轴交点的横坐标 3. 用待定系数法求二次函数解析式的常见形式 设解析式 已知条件 对称轴 求解 2.(人教九上教材P47T4)抛物线y-ar+bx+c 一般式:y= 代人对应条件 与x轴的公共点是(一1.0),(3,0),求这条抛 图象上的 三点坐标 ax十b十( 所给的点坐 物线的对称轴. ## 标,求出所设 参数(如,6 c.h等)的值, 顶点十另 顶点式:y一 -h 再代回所设的 一点坐标 a(r-h){十b 解析式中 知识精讲 67 (续表) 函数 y=ar+br十c(a,b,c是常数,a去0) 已知条件 设解析式 对称轴 求解 a的符号 与x轴的 开口方向 两个交点 交点式:y= 或直线r--(为 十x 十另一点 a(r一x). 直线 对称轴 2 2 坐标(不在 (r一x:) 抛物线上y值相等的两点的横坐标) x轴上) 顶点坐标 顶点是原 点十另一 y=ar y轴 代人对应条件 在对称轴的左侧. 在对称轴的左侧. 点坐标 所给的点坐 小5不解 即当x一 #时## 对称轴为 标,求出所设 随x的增大而 y轴(顶 参数(如a,b. 随x的增大而 ;在对称轴的 点在y轴 y-ar2+ y轴 c.h等)的值 _;在对称轴的 增减性 #& 右侧,即当x一 右侧,即当x>一 上)十另 再代回所设的 两点坐标 解析式中 时,y随x的增大 时,y随x的增大 顶点在r ,简记 而 而 ,简记 y=a(r- 为“左减右增” 轴上十另 =h 为“左增右减” ){} 两点坐标 抛物线有最低点, 抛物线有最高点, 原点十另 #时,有# 外两点 y-ar+br 当r-- 最值 坐标 有最 值,最 值, ya小4ac- 知识点② 二次函数的图象和性质 4a ya大4ac- 4a 》教材引入 二次项系 la 的大小决定抛物线的开口大小,a 数a的 越 3.(人教九上教材P41T70填空; ,抛物线的开口越小;a越 特性 ,抛物线的开口越大 (1)已知函数y=2(x+1)}十1,当x 时,y随x的增大而减小,当x 时, 2.二次函数y=ax十bx十c(a,b,c是常数,a子 y随x的增大而增大; 0)的图象与字母系数的关系 (2)已知函数y=-2x*十x-4,当x (1)a的符号决定抛物线的开口方向,当a( 时,y随x的增大而增大,当x> 时, 时,开口_;当a<0时,开口 y随x的增大而减小. (2)当a,同号时,对称轴在y轴 知识梳理 当a,6异号时,对称轴在v轴 ;当 1.二次函数的图象和性质 b-0时,对称轴是 轴. 函数 y=ar”十br十c(a,b.c是常数,a去0) (3)c的符号确定抛物线与y轴的交点位置, 当c0时,抛物线与y轴的交点在y轴的 大致图象 ;当c<0时,抛物线与y轴的交点在y 轴的 ;当c一0时,抛物线经过 68 指点中考数学 3.二次函数图象的平移 知识梳理 一般式y-ar^}+ 顶点式y= 平移方向 口诀 bx十c(a-0) a(x-h)+k 1.二次函数与一元二次方程的关系 y-a(r-h 向左平移n y=a(r十n)*+ 二次函数y-ax十bx十c(a关0)的图象与x轴 个单位长度 b(r十m)十e ){}+b 交点的横坐标是一元二次方程ax^{}十bx十c=0 向右平移n -a(x-m)*+y-a(r-h- (a子0)的实数根 个单位长度 n){}十 b(x-n)十( 量() 表将怎线怎特 r-4ac -4ac>0 -4ac-0 -a.r”十 b-4ac<o 向上平移n y-a(r- 的符号 个单位长度 br十+n ){十十n 两个交点 一个交点 无交点 与,轴 向下平移n -ar十 y-a.r- 项 ## 个单位长度 )+-m br十c-n 交点的 个数 知识点 二次函数与方程(组)、不等 实数根 有两个不相等 式的关系 有两个相等 没有实数根 的实数根 的情况 的实数根 教材引入。 2.二次函数与一元二次不等式的关系 4.(人教九上教材P47T5画出函数y=文*-2x- (1)抛物线y=ar{}+bx十c(a,b,c是常数, 3的图象,利用图象回答 a0)在x轴 (1)方程x^-2x-3-0的解是什么 的部分点的纵坐标都 (2)x取什么值时,函数值大于0; 为正,所对应的x的所有取值就是不等式 (3)x取什么值时,函数值小于0 ax十bx十c>0的解集 (2)抛物线y=ax*}十bx十c(a,b,c是常数 a0)在:轴 的部分点的纵坐标都 为负,所对应的x的所有取值就是不等式 ar*十bx十co的解集 考点1 二次函数的图象和性质 的图象如图所示,当y,y均随着x的增 侧1 (1)(2024凉山)抛物线y一 ( 大而减小时,x的取值范围是 ) 过(-2.).(0,y)(,v)三点,则yi.y, y的大小关系正确的是 11 __ A.y>y:>y B.y>y>y C.y>y>y D.y>y>y2 A.x<-1 B.-10 (2)(2024广州)函数y=a.r*十br十c与y: C.0<x2 D.x>1 知识精讲 69 (3)(2024眉山)定义运算;ab-(a+2b)(a 对点演练 b),例如4×3-(4十2×3)×(4-3),则函数 3.(2024包头)将抛物线y-x^2+2x向下平移2 ( y-(x+1)⑧2的最小值为 ) 个单位后,所得新抛物线的顶点式为( ) A.-21 B.-9 A.y-(x+1)*-3 B.-(x+1)-2 C.-7 D.-5 C.y-(-1)*-3 D.-(r-1)-2 1对演练 考点3 二次函数y=ax*十bx十c(a 1.(2024贵州)如图,二次函数y-ax十bx十c的 0)的图象与字母系数的关系 部分图象与x轴的一个交点的横坐标是一3. 例3 1-小却数 项点坐标为(一1,4),则下列说法正确的 (1)(2024湖北)已知抛物线y-ax十bx十c 。 ) (a,b,c为常数,a去0)的顶点坐标为(-1 -2),与v轴的交点在x轴上方,下列结论正 ## 确的是 ( _~ A.a~0 B.c0 C.a-b十c--2 D.-4ac-0 A.二次函数图象的对称轴是直线x-1 (2)(2024达州)抛物线y--r十bx十c与x B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐 轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1 标是2 另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确 C.当x<一1时,y随x的增大而减小 的是 ( ~ A.b十c>1 D. 二次函数图象与v轴交点的纵坐标是3 B.6-2 2.(2024成都)在平面直角坐标系xOy中,A(x C.b+4c0 D.c<0 y),B(x,y),C(x,y)是二次函数y 例4抛物线y=ax②}十bx十c(a,b,c为常数,a< -r^*+4x-1图象上三点,若0<x.<1,x 0)经过点A(2,0),抛物线的对称轴为x 4,则y _y(填“”或“<”);若对于 一1,点B(n,n)是抛物线上任意一点,有下列 m x. m+1,m+1 x m+2,m+2 结论:①c<0;②a十十c>0;③一元二次方 x<m+3,存在y y y,则n的取值范 程c*}tbr十a-0的两个根为和-;④若 围是 考点2 二次函数图象的平移 -3<m<0,则一5a<n<-9a.其中正确结 _ 论的个数是 例②(1)(2024滨州)将抛物线y=一x*先向右 A.1个 B.2个 平移1个单位长度,再向上平移2个单位长 C.3个 D.4个 度,则平移后抛物线的顶点坐标为 (2)(2024内江)已知二次函数v=x-2x+1 对点演练 的图象向左平移两个单位长度得到抛物线 4.(2024湖北模拟)已知二次函数y=ax^②}十bx十( C.点P(2.y).Q(3,y)在抛物线C上,则y 的图象如图所示,P(x,y),P(x,y)是函 y(填“>”或“<”). 数图象上的两点,下列结论正确的是( ) 70 指点中考数学 (2)若P是二次函数图象上的一点,且点P 在第二象限,线段PC交x轴于点D,APDB 的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的 1 坐标. A.a十b十c0 B6+2a-0 C.xx,则y>y D.若v=y,则x+x=1 5.二次函数y=ar十hx十c(a关0)的图象如图 1 所示,下列结论正确的是 ( ) A.当-4ac>0时,ax2+bx+c>0 对演 B.若m为任意实数,则a+b>am}+bm 6.(2024扬州)如图,已知二次函数y一一2十bx十 C.a-b十c>0 的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点. D.若axr}+bx=ax^}+bx且x≠x,则x十 -2 考点4 用待定系数法求二次函数的 解析式 例5(2024苏州)二次函数y-ax2十bx十c(a (1)求b,c的值; 0)的图象过点A(0.m),B(1,-m),C(2,n). (2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB D(3,一m),其中m,n为常数,则的值为 的面积为6,求点P的坐标 例(2024福建)如图,已知二次函数y-x②十hx十 c的图象与x轴交于A,B两点,与v轴交于 点C,其中A(-2,0),C(0,-2) 友情提示 请完成分层特训P.第12讲 (1)求二次函数的表达式; 知识精讲 71“-x-5.,当x=-2时,y=-x-5=2 知识点3 5--3.'.C(-2,-3). 【教材引入】 ··P是直线x三-2上的一个动点 4.解:图略. (1)x=-1,x=3 .设点P(-2,p), (2)x-1或x>3 ·.△PAB的面积为21. (3)-1<x3 2.(1)上方 【知识梳理】 (2)下方 .SPAB= 。 考点素养精讲 (x-x)-21. 【例1】(1)D(2)D (3)B 【例2】(1)(1,2)(2)< |-3-l=6,解得 =3或 =-9 【例3】(1)C(2)A【例4】C【例5】一 ..点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9). 【例6】解:(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y= {4-2h十c=0解得 6.A 7.3 x*十bx十c,得 [-1, 第12讲 二次函数的图象和性质 lc--2. 所以二次函数的表达式为y一x②}十x-2. 基础知识梳理 (2)设P(n,n),因为点P在第二象限,所以 知识点1 m0.n>0. 【教材引入】 BD, 1.解:(描点画图略) S△poB-2,即- 依题意,得 D一2,所 (1)抛物线y--3x^*+12x-3的开口向下, SCDB 对称轴是x-2,顶点是(2,9). (2)抛物线v-4x-24x+26的开口向上,对 #以2. 称轴是x-3,顶点是(3,一10) (3)抛物线y-2x2十8x-6的开口向上,对称 由已知,得CO-2,所以n=2CO-4. 轴是x=-2,顶点是(-2,-14) 由m^{}+m-2-4,解得n=-3,m=2(舍$ 去),所以点P的坐标为(一3,4). 对点演练 称轴是x-2,顶点是(2,-3) 2.解:2 -1+3-1..这条抛物线的对称轴是x-1. 6.解:(1).二次函数y=一r②十bx十c的图象 【知识梳理】 1.=ax*+bx十c 与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点; 2.(1)y-ar*+bx十c .(--1, (2)y-a(x-h)②+k lc-2. (3)y=a(x-x)(x-x) (2)由(1)可知二次函数的解析式为y-一一 知识点2 x+2.:A(-2,0),B(1,0). 【教材引入】 3.(1)-1-1(2)1 .AB-1-(-2)-3. 【知识梳理】1.a>0 a<0 向上 向下 “.n-4,..n=士4. '当-m-m+2=4时,-1-8=-7< 增大 减小 小 大 大 小 无解,不符合题意,舍去; 2.(1)向上 向下 (2)左侧 右侧 3 当-n-m+2--4时,解得m=-3,m-2. (3)正半轴上 负半轴上 原点 .点P的坐标为(2,-4)或(-3,-4). .15.