第10讲 一次函数及其应用-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距 Y/C 离y关于时间x的函数解析式； (2)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家 x/min x/min 出发匀速步行了20min直接到达了文化广 B 场，那么从画社到文化广场的途中(0.6<y< 1.5)两人相遇时离家的距离是多少？（直接 写出结果即可) x/min x/min C D 9.(2024威海)同一条公路连接A,B,C三地，B 第 地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、 B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持 部 分 不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.下 图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间 数与代数 x(h)的函数关系.下列结论正确的是() y/km 40 归纳总结◆注意理解图象中起点，终点，拐点等 的信息，多个图象相结合的问题，要寻找它们的 结合点，将每个图象的信息充分提取出来，相互 0 x/h 印证，互为补充 A甲车行驶？h与乙车相遇 (对点演练】 B.A,C两地相距220km 8.(2024江西)将常温中的温度计插入一杯60℃ C.甲车的速度是70km/h 的热水（恒温）中，温度计的读数y(℃)与时 D.乙车中途休息36分钟 间x(min)的关系用图象可近似表示为 图友情提示请完成分层特训P第9讲 第10讲 一次函数及其应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次 此部分内容在中考中常常考查一次函数的图象和 函数的表达式：会运用待定系数法确定一次函数的表达式 性质，一次函数与方程（不等式的关系、一次函数与 2能画一次函数的图象， 根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探素实际问题的应用，也常常与二次函数、反比例函数、 并理解素>0和账<O时图象的变化情况：理解正比例函数， 几何知识结合起来，综合考查学生应用数学的能力， 3体会一次函数和二元一次方程的关系. 选择题，填空题和解答题中均可能出现一次函数的相 4能用一次函数解决简单的实际问题」 关内容，考查难度有简单题、中档题也有难题 50 指点中考数学 础知识梳理 知识点① 一次函数的图象与性质 (2)一次函数的图象特征与性质：一次函数 y=kx十b(k≠0)的图象是经过点 和 》教材引入 的一条直线， L.(人教八下教材P10T3)填空： k,b的符号 函数图象 图象的位置 性质 （①直线y日号r经过第 象限，y 图象经过第 y随x的增 随x的增大而 k>0,b>0 象限 大而 (2)直线y=3x一2经过第 象限，y 第 随x的增大而 图象经过第 2.(人最八下教林P93T2)在同一直角坐标系中画 y随x的增 部 k>0,b<0 象限 大而 出下列函数的图象，并指出每小题中三个函 分 数的图象有什么关系， (1)y=x-1,y=x,y=x+1; 图象经过第 y随x的增 k<0,b>0 代 (2)y=-2x-1,y=-2x,y=-2x+1. 象限 大而 图象经过第 y随x的增 k<0,b<0 象限 大而 》知识梳理 4.两直线y=k1x十b(克1≠0)与y=k2x十b 1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k是 (k2≠0)的位置关系 常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中 (1)当k1=k2,b1≠b2时，两直线 叫做比例系数 (2)当k1=k2,b1=b2时，两直线 2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx十b(k, b为常数，且≠0)的函数叫做一次函数.特 (3)当k1≠k2,b=b2时，两直线交于y轴上 别地，当一次函数y=x十b中的b=0时， 一点 y=kx(k是常数，k≠O).这时，y叫做x的正 [拓展]当k1·k2=一1时，两直线垂直， 比例函数 知识点② 一次函数y=k.x十b(k≠0) 3.一次函数的图象和性质 图象的平移 (1)正比例函数的图象特征与性质：正比例函 数y=kx(k≠0)的图象是经过点 和 >教材引入 的一条直线。 3.(人最八下教材P99T10)不画图象，仅从函数解 k的符号 函数图象 图象的位置 性质 析式能否看出直线y=3x十4与y=3x一4具 图象经过第 y随x的增 k>0 布 有什么样的位置关系？ 象限 大而 图象经过第 y随x的增 k<0 象限 大而 知识精讲 51 》知识梳理 3.常见类型 (1)已知两点坐标确定解析式； 1.平移规律为“左右，上下” (2)已知两对函数对应值确定解析式； 2.(1)直线y=kx十b向左平移m(m>0)个单 (3)通过平移规律确定解析式。 位长度后得到直线的解析式为 知识点④ 一次函数与方程（组）、不 (2)直线y=kx十b向右平移m(m>0)个单 等式 位长度后得到直线的解析式为 (3)直线y=kx+b向上平移m(m>0)个单 》教材引入 位长度后得到直线的解析式为 5.(人教八下教材P99T13)在同一直角坐标系中， 第 (4)直线y=k.x+b向下平移m(m>0)个单 画出函数y=号x+1和y=5x十17的图象， 5 位长度后得到直线的解析式为 部 知识点③用待定系数法求一次函数 并结合图象比较这两个函数的函数值的大小 分 关系 数 的解析式 》教材引入 数 4.(人最八下教材P99T)已知一次函数的图象经 过点（一4,9）和点(6,3)，求这个函数的解 析式 》知识梳理 1.一次函数y=kx十b的图象与x轴交点 》知识梳理 A(x,0)的 坐标的值台方程kx十 b=0的解，即x= 1.待定系数法的概念：先设出函数解析式，再根 据条件确定解析式中未知的系数，从而得出 y=kx+b 函数解析式的方法 0Ax.0)￥ 2.待定系数法的一般步骤 (1)设一次函数解析式的一般形式为 2.一次函数y=k1x十b1与y=k2x十b2的图象 (2)找出满足一次函数解析式的两个点，将这 交点B(x2,y2)的横、纵坐标的值台方程组 两点的坐标代入所设的解析式中，得到关于 x+6=y”的解，即 和 的方程（组）： kzx+b2=y (3)解方程（组），求出待定系数 和 的值. B(x:Y) (4)将求得的待定系数的值代入所设的解析 式中. 52 指点中考数学 3.从“数”上看 乡需要肥料240t,D乡需要肥料260t,怎样 (1)一次函数y=kx十b中，y 0时x 调运可使总运费最少？ 的取值范围台kx十b>0的解集 C乡需要肥料240t (2)一次函数y=kx+b中，y 0时x A城有肥料2001 运输 的取值范围台kx十b<0的解集。 4.从“形”上看 (1)一次函数y=kx十b的图象位于x轴 部分对应的点的横坐标的取值范围台x十 D乡需要肥料260t b>0的解集. B城有肥料3001 (2)一次函数y=kx十b的图象位于x轴 第 部分对应的点的横坐标的取值范围台kx十 b<0的解集。 部 5.(1)不等式k1x十b>k2x十b2的解集台y= 分 k1x+b的图象在y=k2x十b2的图象上方 》知识梳理 数 时，对应的x的取值范围. 一次函数在现实生活中有着广泛的应用， 与代 (2)不等式k1x十b1<k2x十b2的解集台y= 在解答一次函数的应用题时： k1x十b的图象在y=k2x十b2的图象下方 (1)应从给定的信息中抽象出一次函数关系，厘 时，对应的x的取值范围。 清哪个是自变量，哪个是自变量的函数； 知识点⑤一次函数的实际应用 (2)再利用一次函数的图象与性质求解，同时要 注意自变量的取值范围； 》教材引入 (3)一次函数y=kx十b(k≠0)的自变量x的取 6.(人表八下教林P109T15)A城有肥料200t,B 值范围是全体实数，图象是直线，因此没有最大 城有肥料300t,现要把这些肥料全部运往C, 值与最小值.但由实际问题得到的一次函数解 D两乡，从A城往C,D两乡运肥料的费用分 析式，自变量的取值范围一般受到限制，其图象 别为20元/t和25元/t;从B城往C,D两乡 可能是线段或射线，根据函数图象的性质，就存 运肥料的费用分别为15元/t和24元/t,现C 在最大值或最小值， 考点1一次函数的图象与性质 一坐标系内的图象可能为 例1(1)(2024天津)若正比例函数y=kx(k是 常数，k≠0)的图象经过第一、第三象限，则 的值可以是 (写出一个即可) (2)(2024自贡一次函数y=(3m+1)x一2的 值随x的增大而增大，请写出一个满足条件 的m的值 例2一次函数y=kx十b与y=bx,它们在同 知识精讲 对点演练 1.(2024长沙)对于一次函数y=2x一1，下列结 论正确的是 ( (1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的 A.它的图象与y轴交于点(0，一1) 函数表达式，并说明理由； B.y随x的增大而减小 (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总 C当x>2时y<0 高度不超过28.8cm,求此时碗的数量最多为 D.它的图象经过第一、二、三象限 多少个？ 2.(2024山西)已知点A(x1,y),B(x2,y2)都在 第 正比例函数y=3x的图象上，若x1<x2,则 h与2的大小关系是 ( ) 部 A.y>y2 B.y<y2 分 数 C.y=y2 D.yh≥y% 与 考点2用待定系数法求一次函数的 代 《对点演练 数 解析式 3.(2024山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生 例3(2024陕西)一个正比例函数的图象经过点 长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次 A(2,m)和点B(n,一6)，若点A与点B关于 函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的 原点对称，则这个正比例函数的表达式为 关系式为 ( ) ( 尾长x(cm) 6 8 10 A.y=3x B.y=-3x 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 C.y-3r D.y A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 例4(2024上海)某种商品的销售额y(万元)与 C.y=15.x D.y=15x+45.5 广告投人x(万元)成一次函数关系，当投人 4.(2024广西)激光测距仪L发出的激光束以3× 10万元时销售额为1000万元，当投人90万 105km/s的速度射向目标M,ts后测距仪L 元时销售额为5000万元，则投入80万元时， 收到M反射回的激光束，则L到M的距离 销售额为 万元 dkm与时间ts的关系式为 例5(2024包头)如图是1个碗和4个整齐叠放 A.d=3X105 B.d=3×105t 2 成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的. C.d=2×3×105t D.d=3×10t 小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠 5.(2024吉林综合与实践 放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的 位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规 项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的 律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间 历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中 的对应数据： 蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流 x/个 下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 相关信息，并解答“建立模型”中的问题。 54 指，点中考数学 【背景调查】图1中的板凳又叫“四脚八叉 考点3一次函数与方程（组）、不等式 凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古 例6(1)2024杨州如图，已知一次函数y=kx十 人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究， b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两 木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称 点，若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx十 轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼 b=0的解为 的位置，如图2所示.板凳的结构设计体现了 数学的对称美， 【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测 (2)如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A(一3， 量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长 0),B(0,5)两点，则不等式-kx一b<0的解 第 度为xmm,凳面的宽度为ymm,记录如下： 集为 以对称轴为基准 v=kx+ 部 向两边各取相同 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 分 的长度x/mm 凳面的宽 115.5 132 148.5 165 181.5 度y/mm 《对点演练 与代数 6.如图，直线y=kx十b经过A(2,1),B(一1，一2) 【分析数据】如图3，小组根据表中x,y的数 值，在平面直角坐标系中描出了各点， 两点，则不等式2>kx十b>-2的解集为 【建立模型】请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同 一条直线上？如果在同一条直线上，求出这 条直线所对应的函数解析式；如果不在同一 条直线上，说明理由， 考点4一次函数的实际应用 (2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基 例7(2024广元)近年来，中国传统服饰备受大 准向两边各取相同的长度是多少？ 家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩 牌眼 某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服 饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 图1 图2 ↑3/mm 200 进货价（元/件） 80 90 180 160 销售价（元/件） 100 120 140 120 100 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两 80 60 款服装共50件，求两款服装分别购进的 40 件数； 20 0204060x/mm (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店 图3 计划再次购进长、短两款服装共200件（进货 知识精讲 55 价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高 对点演练 于16800元.服装店这次应如何设计进货方 7.(2024河南)为响应“全民植树增绿，共建美丽 案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是 中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务 多少？ 植树活动，并准备了A,B两种食品作为午 餐.这两种食品每包质量均为50g,营养成分 表如下 小营养成分表 B 营养成分表 项目 50g 项目 每50g 热量 700kJ 热量 900kJ 第 蛋白质 10g 蛋白质 15g 一 脂肪 5.3g 脂 18.2g 碳水化合物 28.78 碳水化合物 6.38 部 钠 205mg 236mg 分 (1)若要从这两种食品中摄人4600k热量 与代 和70g蛋白质，应选用A,B两种食品各多 例8(2024眉山)眉山是“三苏”故里，文化底蕴 少包？ 深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进 (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入 了文创产品的销售，某商店用960元购进的 量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7 A款文创产品和用780元购进的B款文创产 包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 品数量相同.每件A款文创产品进价比B款 90g,且热量最低，应如何选用这两种食品？ 文创产品进价多15元. (1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多 少元？ (2)已知A款文创产品每件的售价为100元， B款文创产品每件的售价为80元，根据市场 需求，商店计划再用不超过7400元的总费 用购进这两款文创产品共100件进行销售， 问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最 大，最大利润是多少元？ 它友情提示请完成分层特训Ps第10讲 56 指，点中考数学#ACB 时间/变化的图象如图2所示 图1 阁2 (1)这些点的纵坐标相等; 10.解:(1)如图所示; # =h-11 (2)这些点的横坐标相等. 3.解:图略 (1)满足条件的点在第一象限或第三象限 (2)满足条件的点在第二象限或第四象限 (2)函数解析式为v一c十3,图象如图所示 (3)满足条件的点在坐标轴上. ,=lx+31 【知识梳理】1.(1) (2)<> (3)<(4)>< 2.(1)y(2)x 3.(1)相等 (2)互为相反数 考点素养精讲 4.(1)纵 (2)横 【例1】C【例2】A【例3】D【例4】B 5.(2)|xl(3)vg+y{} 【例5】D【例6】(1)x>9(2)1<x3 6.(1)x-x|(2)ly-yl (3)x4【例7】D (3)(x1-x2)*+(y-y)2} 【例8】解:(1)①0.15,0.6,1.5. 知识点2 ②0.075. 【教材引入】 ③当0 x<4时,y-0.15.x; 4.C 5.N(x,-y) 当4 x19时,y-0.6; 【知识梳理】1.(-x,y) (一x,-y) 当 19 25时,-0.15x-2.25 2.(x,y十b)(x,y-b) (2)张华爸爸的速度为1.5-20-0.075(km/min) 知识点3 设张华爸爸距家km,则-0.075(x-8) 【教材引入】 0.075--0.6. 6.解:图(1)(2)(3)中y是x的函数,图(4)中y 当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y 不是x的函数. 1.5)两人相遇时,有0.15x-225-0.075x-0.6 r(2)x字1 (3)x>1 7.解:(1)x为全体实数 解得x-22, 【知识梳理】4.全体实数 x1x2 '-0.075(t-8)-0.075x-0.6-0075t x1且x2 x1且x0x0 22-0.6-1.05(km). 知识点4 故从画社到文化广场的途中(0.6 1.5) 【教材引入】 两人相遇时离家的距离是1.05km 8.解:(1)300km 对点演练 (2)甲车先出发,乙车先到达B城 1.D 2.B 3. A 4.C 5.D 6.x>1 300 7.x0且x2 8.C 9.A (3)- 第10讲 一次函数及其应用 乙-9-6 300 -1o0(km/h). 基础知识梳理 (4)乙车比甲车提前1h到达B城;7:30时, 知识点1 甲、乙两车相遇:乙车出发1.5h追上甲车等 【教材引入】 9.解:这个容器的形状是三个图中的图(3) 1.(1)一、二、四减小(2)一、三、四 增大 匀速地向题目中图(1)的容器注水时,水面高 2.解:画图略,(1)中三个函数的图象互相平行 度随时间:变化的图象如图1所示,匀速地 (2)中三个函数的图象互相平行 向题目中图(2)的容器注水时,水面高度随 【知识梳理】3.(1)(0,0)(1,) .10. 增大 二、四 减小(2)(0,b) 【例5】解;(1)由表中的数据,可知v是x的一次 十6-6, 一、二、三 增大一、三、四 1 增大 函数,设y一hx+b,由题意得 2+b-8.4. 四 减小二、三、四 减小 解得 4.(1)平行(2)重合 lb-3.6. 知识点2 y-2.4x+3.6. 【教材引入】 (2)设碗的数量为x个, 3.解:平行,直线y=3x十4向下平移8个单位 则2.4x+3.6<28.8,解得x10.5. 长度得到直线y-3x-4. .x的最大整数值为10. 【知识梳理】1.加 减 加 减 答:碗的数量最多为10个 $$2.(1)y=k(x十m)+b (2)y=k(x-m)+b$ 【例6】(1)x--2(2)x-3 (3)y-kx十b十m (4)y-hx十b-m 【例7】解:(1)设购进短款服装x件,购进长款服 知识点3 装y件, [x+y-50, 【教材引入】 [-20. 由题意可得 解得 80x+90y-4300, 4.解:设函数解析式为一x十b,把点(一4.9)和 y-30. [9--4十D”解得# 答:长款服装购进30件,短款服装购进20件 (2)设第二次购进n件短款服装,则购进 点(6,3)代入得 3-6十b. (200一n)件长款服装. 由题意得80m+90(200-m)<16800,解得 2. .这个函数的解析式为y二一 m二120. 设利润为tw元,则w=(100-80)m十(120- (2)/b 【知识梳理】 2.(1)y-kx十b # 90)(200-m)--10m+6000. #(3) ## .-100...w随的增大而减小. 知识点4 .当m=120时,w=-10x120+6000= 【教材引入】 4800. 5 5.解:当x一 答:当购进120件短款服装,80件长款服装 时获得最大利润,最大利润是4800元 当x- 【例8】解:(1)设A款文创产品每件的进价是 5 元,则B款文创产品每件的进价是(一15)元. 当x> 由题意得,960 780 7-5,解得a-80, 经检验,a一80是原分式方程的解,且符合 题意...80-15-65. 3-5-17 -×+1 答:A款文创产品每件的进价是80元,B款 文创产品每件的进价是65元. (2)设购进A款文创产品x件,总利润为W 【知识梳理】1.横xi2.x。 3.(1)> 元,则购进B款文创产品(100一x)件. 2 (2)<4.(1)上方(2)下方 由题意得,80x+65(100-x)<7400,解得 1<60. 知识点5 由题意得,W=(100-80)x十(80-65)(100- 【教材引入】 x)-5x+1500. 6.最佳方案:从A城往D乡运200t,从B城往 .50,..W随x的增大而增大, C乡运240t,从B城往D乡运60t,此时总 .当x一60时,利润最大 运费最少,总运费最少是10040元. ·Wx-5×60+1500-1800. 考点素养精讲 答:购进A款文创产品60件,购进B款文 【例1】(1)1(答案不唯一) (2)1(答案不唯一) 创产品40件,才能使销售完后获得的利润 【例2】A【例3】A【例4】4500 最大,最大利润是1800元 .11· 对点演练 【知识梳理】 一、三 二、四 减小 增大 轴 1.A 2. B 3.A 4.A 中心 士x。 (0,0) 5.解:(1)它们在同一条直线上, 知识点3 $$6.5+ -115.5$ 【教材引入】 设y=kx十b,则 23.1+b-148.5. 5.(1)2×10。 1 (2)2×10m,10m [-5, 解得 所以这条直线所对应的函数解 b-33. 知识点4 析式为y-5x+33. 【教材引入】 (2)当-213时,213-5x+33. (2)1.1kg/m3 解得x=36,所以当凳面宽度为213mm时,以对 称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm (2)36V (3)12 9 7.2 6 6.-1<:<2 7.解:(1)设选用A种食品x包,B种食品y包 4.5 4 3.6 (4)R>3.6 700x+900y-4600. 根据题意,得 1.(1)y-(k≠0)# 解方程 【知识梳理】 10x+15y-70. (3)ab 2 [2-4. 组,得 -2. 答:选用A种食品4包,B种食品2包 知识点5 (2)设选用A种食品a包,则选用B种食品 【教材引入】 (7-a)包: 8.(1)1200 (2)4天内 2 (3)60名 根据题意,得10a十15(7-a)>90,.,a 3. 70 设总热量为wkJ,则w-700a+900(7-a)= 9.(1)s- (2)不能,至少还需加20L油 -200a+6300. .-200 o...w随a的增大而减小. 考点素养精讲 【例1】(1)D(2)1(答案不唯一) *当a=3时,w最小,.'.7-a=7-3=4 (3)0 答:选用A种食品3包,B种食品4包. 【例2】180 第11讲 反比例函数 基础知识梳理 知识点1 【教材引入】 1.B -3 .a<c<b. 2.4 3.33 2 1.54 1.25 1.11 100 50 33.33 25 【例4】(1)C(2)F-800 #7 1. 【知识梳理】 不等于0 2 -6x-1 2 y- ,解得-4800, 知识点2 当y-800时,8004800. 【教材引入】 ,解得x-6. T 3.(1)一、三 减小(2)二、四增大 .点B的坐标为(6,800) 4.解:(1)图象的另一支位于第三象限,常数 材料烧时,设y=ax+32(a≠0). 的取值范围是/②. 由题意得800=6a十32,解得a=128. (2)若yy0,则x<x;若yy<0,则 材料锻烧时,y与x的函数解析式为y= x>X2. 128x+32(0x6). .12·