第9讲 平面直角坐标系及函数-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣 检验：将x=1代入x一2中可得1一2=一1≠0， 作品的单价为200元. 则x=1是分式方程的解， (2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种 故原分式方程的解是x=1. 湘绣作品(200一m)件， 【例5】D 根据题意得300m十200(200一m)≤50000， 【例6】解：将x=n代入方程得m2一4n一5=0， 解得≤100，∴.m的最大值为100. ∴.m2-4n=5. 答：最多能购买100件A种湘绣作品. ,mn2-4n十m=3+m2,.5+m=3+m2, 对点演练 即m2-m-2=0,∴.m=2或m=-1. 1.C2.C3.x<1 ,△=b-4ac=16+20m≥0， 4.解：x>一3，不等式的解集在数轴上表示如下： .m≥- …m=2 4 -30 5.解：(1)x≤1. 【例7】A (2)x≥-3. 【例8】证明：①当a=0时，方程为一2x十2=0， (3)在数轴上表示如下： 解得x=1;②当a≠0时，△=4-4a(2-a)= 4(a-1)2≥0. -4-3-2-102 综上，不论a为何值，此方程有实数根。 (4)-3≤x≤1. 【例9】1或3【例10】B 6.16 【例11】解：解不等式组得-4<x<a一1. 7.解：由题意得刷 -3<4x-7①， ①当a-1<0时，如图， 4x-7≤9②， 解不等式①得x>1,解不等式②得x≤4， .该不等式组的解集为1<x≤4， .-2<a-1≤-1， .整数解为2,3,4 ∴.-1<a≤0. 8.解：(1)设A,B两种商品每件进价各为x元， ②当a一1>0时，如图， y元，由题意得 3x二4=60解得r=10. 4-20十2 5.x+2y=620, y=60. .1<a-1≤2，∴.2<a≤3. 答：A,B两种商品每件进价各为100元，60元. 综上所述，a的取值范围为一1<a≤0或2< (2)设购进A商品的件数为m件，则购进B a≤3. 商品的件数为(60一m)件，由题意得， (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770， 第三单元函数 60-m>2m, 第9讲平面直角坐标系及函数 解得19≤m≤20， 基础知识梳理 :m为整数，∴.m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件 知识点1 【教材引入】 单元整合方案 1.解：平面直角坐标系如下图，A(一2,3)，D(6, 【例1】B【例2】C 1),E(5,3),F(3,2),G(1,5).点A在第二象 【例3】解：方程可化为x(x一7)十5(x-7)=0, 限，其余各点都在第一象限。 即(x-7)(x+5)=0,即x一7=0或x+5= 0,解得01=-5，x2=7. 【例4】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步 骤如下： x-x-3=1, x-22-x -3-2-10 123456 去分母得x十x一3=x一2， 移项，合并同类项得x=1, 2.解：平面直角坐标系如图所示，点C的纵坐标是4. 9 时间1变化的图象如图2所示. -4-3-2-10 1 2345x 图1 图2 (1)这些点的纵坐标相等； 10.解：(1)如图所示： (2)这些点的横坐标相等. y=lx-ll 3.解：图略 (1)满足条件的点在第一象限或第三象限： 01 (2)满足条件的点在第二象限或第四象限； (2)函数解析式为y=x十3引，图象如图所示： (3)满足条件的点在坐标轴上。 y=x+3 【知识梳理】1.(1)>>(2)<> (3)<< (4)>< 2.(1)y(2)x 3.(1)相等(2)互为相反数 考点素养精讲 4.(1)纵(2)横 【例1】C【例2】A【例3】D【例4】B 5.(2)x(3)Wx2+y 【例5】D【例6】(1)x≥9(2)1≤x≤3 6.(1)x1-x2 (2)|y1-yz (3)x≠4【例7】D (3)√(-x2)2+(M-2) 【例8】解：(1)①0.15,0.6,1.5. 知识点2 ②0.075. 【教材引入】 ③当0≤x≤4时，y=0.15x: 4.C5.N(x,-y) 当4<x≤19时，y=0.6; 【知识梳理】1.(-x,y) (-x,-y) 当19<x≤25时，y=0.15.x-2.25. 2.(x,y+b)(x,y-b) (2)张华爸爸的速度为15÷20-0.075(lkm/min), 知识点3 设张华爸爸距家ykm,则y=0.075(x一8)= 【教材引入】 0.075x-0.6, 6.解：图(1)(2)(3)中y是x的函数，图(4)中y 当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y< 不是x的函数， 1.5)两人相遇时，有0.15.x一225=0075x一0.6， 7.解：(1)x为全体实数(2)x≠1(3)x≥1 解得x=22, 【知识梳理】4.全体实数x≠1x≥2 ∴.y=0.075(x-8)=0.075.x-0.6=0.075× x>1且x≠2x≠1且x≠0x>0 22-0.6=1.05(km), 知识点4 故从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5) 【教材引入】 两人相遇时离家的距离是1.05km. 8.解：(1)300km 对点演练 (2)甲车先出发，乙车先到达B城 1.D2.B3.A4.C5.D6.x>1 300 (3)m=10-5 =60(km/h): 7.x≥0且x≠28.C9.A 第10讲 一次函数及其应用 300 uz=9-6 100(km/h). 基础知识梳理 (4)乙车比甲车提前1h到达B城：7：30时， 知识点1 甲、乙两车相遇；乙车出发1.5h追上甲车等. 【教材引入】 9.解：这个容器的形状是三个图中的图(3). 1.(1)一、二、四减小(2)一、三、四增大 匀速地向题目中图(1)的容器注水时，水面高 2.解：画图略.(1)中三个函数的图象互相平行： 度h随时间t变化的图象如图1所示.匀速地 (2)中三个函数的图象互相平行 向题目中图(2)的容器注水时，水面高度h随 【知识梳理】3.(1)(0,0)(1，k)一、三 ·10·第三单元 函 数 第9讲 平面直角坐标系及函数 课标与考情 课标要求 考情分析 1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根 此部分内容在 据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。 中考中多以简单题 2.在实际问题中,能建立适当的平而直角坐标系,描述物体的位置 和中档题出现,常 抽 1-数数 3.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简 常考查平面直角坐 单图形. 标系中点的坐标。 4.在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 平移,对称、旋转 5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法 之后的点的特征, 能举出函数的实例 函数自变量的取值 6.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 范围,函数图象信 7.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值 息的获取,多以选 8.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义. 择题和填空题的形 9.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论 式出现 知识点 平面直角坐标系及点的坐 2.(人教七下教材P70T8建立一个平面直角坐标 标特征 系,描出点A(-2,4),B(3,4),画直线AB 若点C为直线AB上的任意一点,则点C的 》教材引入 纵坐标是什么?想一想: 1.(人教七下教材P70T6如图,建立平面直角坐 (1)如果一些点在平行于x轴的直线上,那么 标系,使点B,C的坐标分别为(0,0)和(4 这些点的纵坐标有什么特点? 0),写出点A,D,E,F,G的坐标,并指出它们 (2)如果一些点在平行于v轴的直线上,那么 所在的象限 这些点的横坐标有什么特点? 44 指点中考数学 3.(人教七下教材P71T10)在平面直角坐标系中 5. 点到坐标轴的距离 选择一些横、纵坐标满足下面条件的点,标出 (1)点P(x,y)到x轴的距离为yl 它们的位置,看看它们在第几象限或哪条坐 (2)点P(x,y)到y轴的距离为 标轴上: (3)点P(x,y)到原点的距离为 (1)点P(x,y)的坐标满足xy>0; 6.两点间的距离公式 (2)点P(x,y)的坐标满足xy 0; 已知点P(xì,y),Q(x,)为平面直角坐标 (3)点P(x,y)的坐标满足xy=0 系中的任意两点: (1)若PQ/x轴→y=y,PQ= (2)若PQ/y轴→x=x,PQ= (3)平面直角坐标系内任意两点间的距离公 第 式:PQ- 1船小15 知识点② 》知识梳理 平面直角坐标系内点的对 称与平移 1.各象限内点的坐标的符号特征 。; (1)点P(x,y)在第一象限x0,y 教材引入 (2)点P(x,y)在第二象限x__ 0.y__ 0; 4.(人教七下教材P79T4)如图,将三角形向右平 0.y__ (3)点P(x,y)在第三象限x 0; 移2个单位长度,再向上平移3个单位长度, (4)点P(x,y)在第四象限→x 0,y0. ( 则平移后三个顶点的坐标是 - 图象如图所示: I 1 (一) (4) ,* (--) (_) (-4.-1) 2.坐标轴上点的坐标特征 (1)点P(x,v)在x轴上 -0; A.(2,2),(3,4),(1,7) (2)点P(x,v)在y轴上 -0; B.(-2,2),(4,3),(1,7) (3)点P(x,y)在原点→x=0,y=0. C.(-2,2),(3,4),(1,7) [注意]坐标轴上的点不属于任何象限 D.(2,-2),(3,3),(1,7) 3.象限角平分线上的点的坐标特征 5.(人教七下教材P80T11)如图,三角形COB是 (1)第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标 由三角形AOB经过某种变换后得到的图形, 观察点A与点C的坐标之间的关系,三角形 (2)第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标 AOB内任意一点M的坐标为(x,y),点M经 过这种变换后得到点N,点N的坐标是什么? 4.平行干坐标轴的点的坐标特征 (1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的 点的 坐标相等; (2)平行于v轴(或垂直于x轴)的直线上的 点的 坐标相等. 知识精讲 45 》知识梳理 知识梳理 1.点P(x,v)关于x轴对称的点的坐标为(x 1.变量与常量;在一个变化过程中,我们称数值 一y);点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 发生变化的量为变量,数值始终不变的量为 ;点P(x,v)关于原点对称的点的坐 常量. 标为 2.函数的定义:一般地,在一个变化过程中,如 2.将点P(x,y)向右(或向左)平移a(a>0)个 单位长度,得到对应点P(x十a,v)(或(x 果有两个变量x与y,并且对于x的每一个 a,y));将点P(x,y)向上(或向下)平移b 确定的值,v都有唯一确定的值与其对应,那 1给5数 (>0)个单位长度,得到对应点P 么我们就说x是自变量,v是x的函数 (或 3.函数值的定义:如果当x一a时,y一b,那么 知识点 ③ 函数的有关概念 叫做当自变量的值为a时的函数值 >教材引入 4. 自变量取值范围的确定 函数解析 6.(人教八下教材P82T7)下列各曲线中哪些表示 自变量的 举例 式的形式 y是x的函数? 取值范围 y-x十1的自变量的取值 整式 全体实数 范围是 () 分母不等于 分式 0的实数 范围是 被开方数 偶次根式 y-x-2的自变量的取 (4) 为非负数 (3) 值范围是 分母不等于 分式十偶 -_的自变量的取 0且被开方 次根式 数为非负数 值范围是 7.(人教八下教材P82T4改编)指出下列函数中 自变量x的取值范围. 零指数寡 使底数不为 y=(x-1)-+x的自变 或负整数 (1)y-3x-5; 0的实数 量的取值范围是 指数寡 (3)y-vx-1. 自变量的取 值范围除使 正方形的边长为x,面积 实际问题 函数本身有 为y,则y一x*的自变量 中的函数 意义外,还应 的取值范围是 使实际问题 有意义 46 指点中考数学 知识点 函数的表示方法及函数的 ## 。 图象 (1) (2) (③) 》教材引入。 8.(人教八下教材P83T13)甲、乙两车从A城出 发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城 的距离y与时刻t的对应关系如图所示 y/km 小1 10.(人数八下教材P108T11) (1)画出函数y= x-1的图象 (2)设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与 5:00 6:00 7:30 9:00 10:00 轴上表示一3的点的距离为y.求y关于 (1)A,B两城相距多远 的函数解析式,并画出这个函数的图象 (2)哪辆车先出发?哪辆车先到B城? (3)甲、乙两车的平均速度分别为多少 (4)你还能从图中得到哪些信息? 知识梳理 1.函数的表示方法:解析式法、列表法和图象法 9.(人教八下数材P108T8)匀速地向一个容器内 2. 函数图象的画法 注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面 (1)列表-一表中给出一些自变量的值及其 高度随时间:的变化规律如图所示(图中 对应的函数值 QABC为一折线).这个容器的形状是下图中 (2)描点一在平面直角坐标系中,以自变量 哪一个?匀速地向另两个容器注水时,你能 的值为横坐标;相应的函数值为纵坐标,描出 画出水面高度h随时间.变化的图象(草 表格中数值对应的各点; 图)吗? (3)连线--按照横坐标由小到大的顺序 →__- h 把所描出的各点用平滑的曲线连接起来 [注意]画图象时要注意自变量的取值范围,当 自变量能取端点值时,要注意图象端点画实心 圆点;当自变量不取端点值时画空心圆圈. 知识精讲 47 考点1 平面直角坐标系中的相关概念 例4 (2024湖北)如图,点A的坐标是(一4,6). 则(2024广西)如图,在平面直角坐标系中,点 将线段OA绕点O顺时针旋转90{,点A的对 ( 应点的坐标是 O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q 的坐标为 ) 把1-5数 A.(4,6) B.(6,4) A.(3,0) B.(0,2) C.(-6,-4) D.(-4,-6) C.(3,2) D.(1,2) 例5(2024杨州)在平面直角坐标系中,点P(1, 例2 (2024贵州)为培养青少年的科学态度和科 2)关于原点的对称点P的坐标是 ) 学思维,某校创建了“科技创新”社团,小红将 A.(1,2) B.(-1,2) “科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸 C.(1,-2) D.(-1,-2) 中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐 对点演练) 标分别为(一2,0),(0,0),则“技”所在的象 ) 限为 2.(2024江西改编)在平面直角坐标系中,将点 ( A(1,1)向右平移2个单位长度,再向上平移3个 ( 单位长度得到点B,则点B的坐标为 ~ A.(-1,4) B.(3,4) A.第一象限 C.(4,3) B.第二象限 D.(4,-3) C.第三象限 D.第四象限 3.(2024自贡)如图,在平面直角坐标系中,D(4 对点演练 -2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90到 ( △OAB的位置,则点B的坐标为 1.(2024广元)如果单项式一x2y与单项式 ) # 2”的和仍是一个单项式,则在平面直角 坐标系中点(m,n)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2 平面直角坐标系内点的变换规律 A.(2,4) B.(4,2) C.(-4,-2) 例(2024长沙)在平面直角坐标系中,将点 D.(-2,4) P(3,5)向上平移2个单位长度后得到点P 4. 原创点P(a,一3)关于原点对称的点是 。 P'(2,b),则a-b的值是 ( 的坐标为 ( ) A.1 B.(5,5) A.(1,5) B-1 C.-5 C.(3,3) D.(3,7) D.5 48 指点中考数学 新定义。平面直角坐标系中,我们把横、纵坐 考点4 5 函数图象的分析与判断 2024河北 例7(2024武汉)如图,一个圆柱体水糟底部叠 标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称 为“和点”,将某“和点”平移,每次平移的方向 放两个底面半径不等的实心圆杜体,向水糟 匀速注水.下列图象能大致反映水中水的 取决于该点横、纵坐标之和除以3听得的余 深度h与注水时间t的函数关系的是( 。 数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时, 向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平 移1个单位长度. 例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达 1-数 点P(2,2),其平移过程如下:P(2,1)有p(3.1)与 余0 余1 A P.(3,2)夺p.(2,2). 余2 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到 达点Q(-1,9),则点Q的坐标为 ) C A.(6,1)或(7,1) 例8(2024天津)已知张华的家、画社、文化广场 B.(15,-7)或(8,0) 依次在同一条直线上,画社离家0.6km,文 C.(6,0)或(8,0) 化广场离家1.5km.张华从家出发,先匀速 D.(5,1)或(7,1) 骑行了4min到画社,在画社停留了15min 考点3 函数自变量的取值范围 之后匀速骑行了6min到文化广场,在文化 例(1)(2024北京)若x-9在实数范围内有 广场停留6min后,再匀速步行了20min返 意义,则实数x的取值范围是 回家,下面图中z表示时间,y表示离家的距 离.图象反映了这个过程中张华离家的距离 (2)原创在函数y-x-1十V3一x中,自变 与时间之间的对应关系 量x的取值范围是 .y/km (3)(2024安微)若代数式-4有意义,则实数 o.67 x的取值范围是 04 192531 51xmin 对点演练 请根据相关信息,回答下列问题 (1)①填表: 张华离开家的时间x/min 1 4 13 30 意义,则x的取值范围为 张华离家的距离y/km 0.6 2中自变量x的 ②填空:张华从文化广场返回家的速度为 取值范围是 km/min; 知识精讲 49 /C ③当0 x25时,请直接写出张华离家的距 t/C 离v关于时间x的函数解析式 (2)当张华离开家8min时,他的爸爸也从家 x/min ximin A B 出发匀速步行了20min直接到达了文化广 /C 场,那么从画社到文化广场的途中(0.6< 1.5)两人相遇时离家的距离是多少?(直接 min 写出结果即可) C xlmin D 9.(2024感海)同一条公路连接A,B.C三地,B 把1-5数 地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、 B地同时出发前往C地,甲车速度始终保持 不变,乙车中途休息一段时间,继续行驶,下 图表示甲、乙两车之间的距离v(km)与时间 x(h)的函数关系.下列结论正确的是( ) y/km 40 归纳总结注意理解图象中起点,终点,拐点等 的信息,多个图象相结合的问题,要寻找它们的 20 结合点,将每个图象的信息充分提取出来,相互 / 印证,互为补充 A.甲车行驶{h与乙车相遇 对点演练 B. A.C两地相距220 km 8.(2024江西)将常温中的温度计插入一杯60C C.甲车的速度是70km/h 的热水(恒温)中,温度计的读数y(C)与时 D.乙车中途休息36分钟 间x(min)的关系用图象可近似表示为 D友情提示 请完成分层特训P.第9讲 第10讲 一次函数及其应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次 此部分内容在中考中常常考查一次函数的图象和 函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式 性质。一次函数与方程(不等式)的关系、一次函数与 2.能画一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k:0)探索 实际问题的应用,也常常与二次函数,反比例函数。 并理解>0和O时图象的变化情况;理解正比例函数 几何知识结合起来,综合考查学生应用数学的能力, 3.体会一次函数和二元一次方程的关系 选择题,填空题和解答题中均可能出现一次函数的相 4.能用一次函数解决简单的实际问题 关内容,考查难度有简单题,中档题也有难题 50 指点中考数学