第8讲 一元一次不等式(组)及其应用-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

对点演练 变式在例6条件下，若要使眉山市东坡区永 2.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等实 丰村的水稻亩产量在2025年达到960千克， 数根的是 设2023年到2025年该村水稻亩产量年平均 A.x2-6.x=0 B.x2-9=0 增长率为a,则可列方程为 C.x2-6.x+6=0 D.x2-6x+9=0 对点演练 2024生模热关于x的一元二次方程2十2十 3. 开放性 5.中考将至，九(1)班全体学生互赠“祝福卡”， c=0有两个不相等的实数根，且c为整数，则 共赠“祝福卡”1640张，问九(1)班共有多少 c= ·(写出一个满足条件的值) 名学生？设九(1)班共有x名学生，那么所列 4.(2024十框二模)若a,b是一元二次方程x2 方程为 ( 3江+1=0的两个实数根，则代数式。+方的 A.x2=1640 部 B.x(x-1)=1640 分 值为 C.x(.x+1)=1640 考点3一元二次方程的实际应用 例6(2024眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府 D.2(r-1)=1640 与代数 粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高 意《念奴娇·赤壁怀古，在苏轼 6. 效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021 笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈 年的670千克增长到了2023年的780千克， 笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝， 该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列 欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千 方程为 古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两 A.670×(1+2x)=780 位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则 B.670×(1+x)2=780 这位风流人物去世的年龄为 岁 C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780 友情提示请完成分层特训P:第7讲 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1结合具体向题，了解不等式的意义，探索不等式的基木性质 本讲在2024年湖北中考卷里号查了一元-…次 2能理解数学系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 不等式的解法及表示，以选择题形式出现，分值 为3分，占比25%，考查了学生的运算能力、应用 会用数轴确定两个一元·次不等式组城的不等式组的解集。 意识的核，心索养：在中考试卷中还可能考查一元 3能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式。解决简单 一次不等式组的解法及表示。一元一次不等式组) 的问趣 的应川等，在选择，填空或解答题中均可能涉及 知识精讲 35 础知识梳理 知识点1) 不等式及其相关概念 知识点② 不等式的性质 》教材引入 》教材引入 1.(人最七下数材P115T1)用不等式表示： 3.(人表七下数材P117练习)设a>b,用“<” (1)a是正数： “>”号填空： (2)a是负数； (1)a+2 b+2: 第 (3)a与5的和小于7； (2)a-3b-3: (3)-4a-4b: 部 (4)a与2的差大于一1： 分 (5)a的4倍大于8： 学一台 数 (6)a的一半小于3. 4.(人教七下教材P120T5)利用不等式的性质解 袋 下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)x+3>-1: (2)6.x≤5x-7: (4)4x≥-12. 2.(人教七下教材P119习题T1)下列数值中哪些 是不等式2.x十3>9的解？哪些不是？ -4,-2,0,3,3.01,4,6,100. 》知识梳理 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等 性质1号的方向不变，即：如果a>b,那么a土c b士c 》知识梳理 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的 1.不等式的定义：用 表示大小关系的 性质2 方向不变，即：如果a>h,c>0,那么acx 式子叫做不等式 (或 b 2.不等式的解的定义：使不等式成立的 的值叫做不等式的解。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的 3.一个含有未知数的不等式的 ,组成 性质3 方向改变，即：如果a>b,<0,那么acbx 这个不等式的解集，求解不等式的解集的过 (或号 程叫做解不等式 36 指，点中考数学 知识点③ 一元一次不等式及其解法 3.解集在数轴上的表示 解集 在数轴上的表示 2教材引入 5.(人教七下数材P124T1)解下列不等式，并在数 轴上表示解集： Ta (1)5.x+15>4x-1;(2)2(x+5)3(x-5): 8)<2,④2≥25+1 x4 第 [注意]在数轴上表示解集时，要注意“<”和 部 “>”在数轴上表示为空心圆图，“≤”和“≥” 分 在数轴上表示为实心圆点。 数 知识点④ 一元一次不等式组的解法 》教材引入 数 7.(人教七下表材P129T1)解下列不等式组： 6.(人教七下最材P12T3节选)根据下列条件求 2x>1-x, 正整数x: (1) x+2<4x-1: (1)x+2<6: (2)2.x+5<10. x-5>1+2.x, (2) 3x+2≤4.x: 导+5>1- (3) x-1- 》知识梳理 1.概念：只含有 未知数，并且未知数的 次数是 的不等式叫做一元一次不 等式. 2.解一元一次不等式的一般步骤： ,去 括号， ,化系数为1. [注意]当未知数的系数是负数时，不等号的 方向要改变 知识精讲 37 8.(人教七下教材P130T4)x取哪些整数值时， 10.(人教七下教林P130T6把一些书分给几名同 2≤3.x-7<8成立？ 学，如果每人分3本，那么余8本：如果前面 的每名同学分5本，那么最后一人就分不到 3本，这些书有多少本？共有多少人？ 知识梳理 第 1.解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集： 部 (2)再在数轴上表示出各个不等式的解集： 分 (3)利用数轴或根据口决确定不等式组的解集. 数 2.解集的类型及表示 代 类型（其 数 在数轴上的表示 解集 口决 中a<b》 x>d 同大取大 >b <a r<a 同小取小 x>a 大小小大 中间找 大大小小 无解 b 找不到 知识点⑤ 一元一次不等式（组）的应用 知识梳理 2教材引入 1.用不等式（组）解实际问题的一般步骤 9.(人教七下教材P126T5)某商店以每辆250元 实际 找不等关系 列不等 解不等检 →答 的进价购入200辆自行车，并以每辆275元 问题 设未知数 式（组） 式（组）验 的价格销售，两个月后自行车的销售款已超 2.解答不等式的实际应用问题时常见关键词与 过这批自行车的进货款，这时至少已售出多 符号的对应关系 少辆自行车？ (1)大于，多于，超过，高于用 表示； (2)小于，少于，不足，低于用 表示： (3)至少，不低于，不小于，不少于用 表示： (4)至多，不超过，不高于，不大于用 表示. 38 指点中考数学 点素养精讲 考点1不等式及其相关概念 圆☑求不等式生>一1的正整数解。 例1(2024河北改编)下列数中，能使不等式x 2>1成立的x的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 《对点演练 1.(2024贵州)不等式x<1在数轴上的表示，正 《对点演练 第 确的是 3.(2024福建)不等式3x一2<1的解集是 A.-2-10123 4(2024连云港)解不等式221<x+1,并把解 部 分 B-2寸023 集在数轴上表示出来 数 C.-2-10123 与代数 D.-210123 考点2：不等式的性质 例2(1)2024苏州)若a>b一1，则下列结论一 定正确的是 () A.a+1<b B.a-1<6 考点4一元一次不等式组的解法 C.a>b D.a+1>b -2x+3≤-5，① (2)(2024上海)如果x>y,那么下列结论正确 的是 ( 固22德相懈不等式组号+1.@ A.x+5<y+5 B.x-5<y-5 C.5.x>5y D.-5.x>-5y 对点演练 2.(2024安微)已知实数a,b满足a一b十1=0， 0<a十b十1<1，则下列判断正确的是() A-<a<0 B<h<1 x+3>1①，的 C.-2<2a+4b1 D.-1<4a+2b<0 例6(2024武汉)求不等式组 2x-1≤x② 考点3一元一次不等式及其解法 整数解， 例3(2024湖北)不等式x十1≥2的解集在数轴 上表示正确的是 知识精讲 39 2x-1<5. 念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种 例7(224南充若关于x的不等式组 xm十1 湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作 的解集为x<3,则m的取值范围是( 品与3件B种湘绣作品共需要1200元. A.m>2 B.m≥2 (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价 C.m<2 D.m≤2 分别为多少元？ 对点演练 (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品 2x+1≤3①， 和B种湘绣作品共200件，总费用不超过 5.(2024天津)解不等式组 请 3.x-1≥x-7②， 50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多 结合题意填空，完成本题的解答. 少件？ 第 (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 部 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示 分 出来： 与 数 -4-3-2-012 对点演练 (4)原不等式组的解集为 8.(2024泸州)某商场购进A,B两种商品，已知 6.(2024重庆A)若关于x的不等式组 购进3件A商品比购进4件B商品费用多 4x一1∠x十1， 60元：购进5件A商品和2件B商品总费用 3 至少有2个整数解，且关 为620元. 2(.x+1)≥-x+a (1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？ 于y的分式方程2一己的解为非负 (2)该商场计划购进A,B两种商品共60件， 且购进B商品的件数不少于A商品件数的 整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按 每件80元销售，为满足销售完A,B两种商 7.(2024凉山)求不等式一3<4x一7≤9的整 品后获得的总利润不低于1770元，则购进A 数解。 商品的件数最多为多少？ 考点5一元一次不等式（组）的应用 圆国然素多刺绣是我国民间传统手工艺，湘 绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外.在巴黎 奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计 划购买A,B两种奥运主题的湘绣作品作为纪 友情提示请完成分层特训P,第8讲 40 指点中考数学(3)原方程化为3.x2-2.x-6=0, (2)x1十x2=p,xx2=1, ∴方程两个根的和为气，两个根的积为一2. 1+1=西+=p (4)原方程化为x2一4x-7=0, .方程两个根的和为4，两个根的积为一7. -p十1=0，-p十1=0， 【知识梳理】1.b2-4ac(2)=(3)< 西+1=p 2.- aa (3)由根与系数的关系得十=p,2=1, 知识点3 十=2p十1，.(m十)2-22=2p+1, 【教材引入】 ∴p2-2=2p+1..p2-2p-3=0, 7.解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意，得 解得p=一1或p=3, 2(r-1)=15,解得x=6或x=-5(不合 ∴.一元二次方程x2-x十1=0为+x十1= 0或x2-3x十1=0. 题意，舍去). 当p=-1时，4=12-4×1×1=-3<0，不 ∴.应邀请6个球队参加比赛 合题意，舍去； 8.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x. 当p=3时，4=(-3)2-4×1×1=5>0，符 由题意，得7200(1+x)2=8450, 合题意 解得=2=一 含 ∴.p的值为3. 【例6】B【变式】780(1+a)2=960 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为它 对点演练 1.A2.D3.0(答案不唯一)4.35.B 9.解：设围成面积为75cm的矩形的长为xcm, 6.36 则宽为(20-x)cm,依题意，得x(20-x)=75, 第8讲 一元一次不等式（组）及其应用 解得x1=5,x2=15. 长>宽，x=15, 基础知识梳理 即这个矩形的长为15cm,宽为5cm. 知识点1 同理，设围成面积为101cm2的矩形的长为 【教材引入】 ycm,依题意得y(20-y)=101, 1.解：(1)a>0 (2)a<0(3)a+57 △=-4<0， (4)a-2>-1(5)4a>8(6)7a<3 ∴.此方程无解，故不能围成面积为101cm 2.解：3.01,4,6,100是不等式的解；一4，一2， 的矩形 0,3不是不等式的解 【知识梳理】1.(1)未知量(2)间接设 【知识梳理】 1.不等号2.未知数 2.(1)①a(1十x)2=b②a(1-x)2=b 3.所有的解 (2)a+ax atax+x(atax)=a(1+x)2 知识点2 (3)义.b 【教材引入】 3.(1)>(2)>(3)<(4) (4)(n-1) x(x-1) 4.解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减 2 n(n-1) 3,不等号的方向不变，所以x十3一3>一1 (5)(a-2.x)(b-2x)(a-x)(b-x) 3,即x>一4.解集在数轴上的表示如图所示： 考点素养精讲 0 【例1】B -4 【例2】解：，x2-2.x=3,x2-2x-3=0, (2)根据不等式的性质1，不等式两边减5.x, 不等号的方向不变，所以6.x-5.x≤5.x-7 ∴.(x-3)(x十1)=0，.x1=3,x2=-1. 5.x,即≤一7.解集在数轴上的表示如图所示： 【例3】2【例4】C【变式】c>4 【例5】解：(1)，1. 0 7 (3)根据不等式的性质3，不等式两边乘一3， 2 ① 不等号方向政变rX(-3>号×(-3. x+5>1-x (3) x-1x-8 ② 即x>一2.解集在数轴上的表示如图所示： 解不等式①得x>- 1 -3-2-1012345 5 (4)根据不等式的性质2，不等式两边除以4， 不等号方向不变号>≥，即x之-3，解 解不等式巴得≤名， :不等式组的解集为一号<≤ 集在数轴上的表示如图所示： 8.解：23x-7<8,.9≤3.x<15, -4-3-2-10123 .3≤x<5.x是整数，x取3或4. 【知识梳理】 >> 【知识梳理】x>ba<x<b 知识点3 知识点5 【教材引入】 【教材引入】 5.解：(1)解集为x>一16，在数轴上的表示如 9.解：设这时已售出x辆自行车，根据题意得 图所示： 275.x>250×200,解得.x>2000 11 -16 0 x是整数，.x的最小值是182， (2)解集为x≥25，在数轴上的表示如图所示： 即这时至少已售出182辆自行车. 10.解：设共有x人， 0510152025 3x+85(x-1)+3, (3)解集为x> ”,在数轴上的表示如图所示： 根据题意可得 3.x+8>5(x-1), 解得5<x<6.5,.x为整数，∴x=6, 则3×6十8=26（本）. 答：这些书有26本，共有6人. (④)解集为≤号，在数轴上的表示如图所示： 【知识梳理】2.(1)>(2)<(3)≥(4)≤ 考点素养精讲 0 【例1】D【例2】(1)D(2)C【例3】A 6.解：(1)解不等式得x<4,则正整数解为1,2,3. 【例4】解：去分母得1十x≥3(x-1), (2)解不等式得x<号，则正整数解为1,2. 去括号得1十x≥3x一3， 移项得x一3x≥一3一1， 【知识梳理】1.一个 12.去分母 移项 合并同类项得一2x≥一4， 合并同类项3.x<ax≥a 系数化为1得x≤2， 知识点4 ∴.不等式的正整数解为1,2. 【教材引入】 【例5】解：由不等式①得x≥4， 7.解：(1) 2.x>1-x①， 由不等式②得x<6, x+2<4x-1②. ∴.不等式组的解集为4≤x<6. 解不等式①得x>} 【例6】解：由不等式①得x>一2， 由不等式②得x≤1， 解不等式②得x>1, 故此不等式组的解集为一2<x≤1， .不等式组的解集为x>1. 故此不等式组的整数解为一1,0,1. (2)x-5>1+2x①. 【例7】B 3.x+2≤4x②. 【例8】解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元， 解不等式①得x<一6， B种湘绣作品的单价为y元， 解不等式②得x≥2， x+2y=700, x=300, 不等式组无解. 根据题意得 解得 2.x+3y=1200, y=200. 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣 检验：将x=1代入x一2中可得1一2=一1≠0， 作品的单价为200元. 则x=1是分式方程的解， (2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种 故原分式方程的解是x=1. 湘绣作品(200一m)件， 【例5】D 根据题意得300m十200(200一m)≤50000， 【例6】解：将x=n代入方程得mn2-4n一5=0， 解得m≤100，∴.m的最大值为100. .mn2-47n=5. 答：最多能购买100件A种湘绣作品. ,mm2-4n十m=3+m2,.5十m=3十m2, 对点演练 即m2-m-2=0,∴.m=2或m=-1. 1.C2.C3.x<1 ,△=b-4ac=16+20m≥0， 4.解：x>一3，不等式的解集在数轴上表示如下： .m≥- ∴m=2 -3 0 5.解：(1)x≤1. 【例7】A (2)x>-3. 【例8】证明：①当a=0时，方程为一2x+2=0, (3)在数轴上表示如下： 解得x=1:②当a≠0时，△=4一4a(2一a)= 4(a-1)2≥0. 4}2102 综上，不论a为何值，此方程有实数根. (4)-3≤x1. 【例9】1或3【例10】B 6.16 【例11】解：解不等式组得一4<x<a-1. 7.解：由题意得 -3<4.x-7①， ①当a-1<0时，如图， 14x-7≤9②， 解不等式①得x>1,解不等式②得x≤4， .该不等式组的解集为1<x≤4， ∴.-2<a-1≤-1， .整数解为2,3,4. -l<a≤0. 8.解：(1)设A,B两种商品每件进价各为x元， ②当a一1>0时，如图， y元，由题意得 3y二60解得t00. -4-3-2-1012 5.x+2y=620, y=60. .1<a-1≤2，.2a≤3. 答：A,B两种商品每件进价各为100元，60元 综上所述，a的取值范围为一1<a≤0或2< (2)设购进A商品的件数为m件，则购进B a≤3. 商品的件数为(60一m)件，由题意得， 第三单元函数 (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770， 60-m≥2m, 第9讲平面直角坐标系及函数 解得19≤m≤20， 基础知识梳理 :m为整数，∴.m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件. 知识点1 【教材引入】 单元整合方案 1.解：平面直角坐标系如下图，A(一2,3)，D(6, 【例1】B【例2】C 1),E(5,3),F(3,2),G(1,5).点A在第二象 【例3】解：方程可化为x(x一7)十5(x-7)=0, 限，其余各点都在第一象限。 即(x一7)(.x+5)=0,即x一7=0或x十5= 0,解得x1=一5，x2=7. 【例4】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步 骤如下： x-x-3=1, x-22-x -3-2-1(0 23456 去分母得x十x一3=x一2， 移项，合并同类项得x=1, 2.解：平面直角坐标系如图所示，点C的纵坐标是4. 9·