第7讲 一元二次方程及其应用-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

A,B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿 品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲 植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植 组每天加工3000件农产品，乙组每天加工 比用3000元购买的B种绿植少50株.设B 2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工 种绿植单价是x元，则可列方程是() 的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产 A6750-50=3000 B3000 50=6750 品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名 3x 3x 工人？ C.6750+50=3000 D.3000+50=6750 3x 3x 5.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为 40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 第 所用时间相等，则江水的流速为 () A.5 km/h B.6 km/h 部 C.7 km/h D.8 km/h 分 6.(2024泰安)随着快递行业的快速发展，全国各 配友情提示请完成分层特训P:第6讲 地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产 与代数 第7讲 一元二次方程及其应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方 本讲考查了一元二次方程的定义，解一元 程：理解一元二次方程的定义、解的意义，经历估计方程解的过程。 二次方程及根的判别式、根与系数的关系，一 2理解配方法，能用配方法、公式法，因式分解法解数字系数的一元 元二次方程的实际应用，考查了学生的运算能 二次方程 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否 力，应用意识的核心素养，在中考试卷中以选 相等 填题形式出现，在22题应用题及24题两数综合 4.了解一元二次方程的根与系数的关系。 题中也有融合渗透 础知 识梳 理 知识点1 一元二次方程及其解法 (3)x(x+5)=0;(4)(2x-2)(x-1)=0. 》教材引入 1.(人表九上最林P4习题T1节选)将下列方程 化为一元二次方程的一般形式，并写出其中 的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)3.x2+1=6x;(2)4x2+5x=81; 知识精讲 31 2.(人表九上教材P17T3节选)用配方法解下列 4.一元二次方程的解法 方程： 解法 形式 方程的解 适用情况 ()2+10x+16=0,（(2)2-x-=0. a.x2+c=0 方程缺少一次项时 直接 (a≠0，a<0) 开平 (x十n)2 可化成(mx十)2 方法 p(m≠0， (m≠0，p≥0)形 p>≥0) 式的方程 适用于所有一元二 次方程，将二次项 第 3.(人教九上教材P17T5节选)用公式法解下列 配 可化为 系数化为1后，一 方程： 方 (x-m)2= 次项系数为绝对值 法 n(n≥0) 部 (①)x+x-12=0,(2)x2-2x-}=0. 较小的偶数时，优 分 先考虑使用配方法 ar +bx+c- 与代数 公 0(a≠0 式 适用于所有的一元 且△=8- 二次方程 法 4ac≥0) x(ax十b)= 4.(人教九上数材P17T6节选)用因式分解法解 因式 0(a≠0) 适用于化成一般形 下列方程： 式后，方程左边可 分解 (ar+b)(cr十 (1)3x2-12x=-12;(2)4x2-144=0. 因式分解的一元二 法 d0=0 次方程 (ac≠0) 知识点② 一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系 >教材引入 》知识梳理 5.(人教九上教材P1T4)利用判别式判断下列方 1.定义：等号两边都是整式，只含有 未知数 程的根的情况： 元)，并且未知数的最高次数是 ( 次)的方程，叫做一元二次方程。 （D2xr-3x-2=0: 2.一般形式： (a≠0，a,b,c为常 (2)16.x2-24x+9=0: 数)，其中二次项系数是 ,一次项系 (3)x2-4√2十9=0； 数是 ,常数项是 (4)3.x2+10=2x2+8.x. [注意](1)a≠0；(2)各项都包括前面的符号. 3.一元二次方程的解（根）：使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方 程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次 方程的根 32 指，点中考数学 6.(人最九上表林P25T4)求下列方程两个根的和 计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加 与积： 比赛？ (1)x2-5x-20=0;(2)2x2+7x+1=0: (3)3.x2-1=2x+5:(4)x(x-1)=3x+7. 8.(人教九上表材P22T7)青山村种的水稻2010 年平均每公顷产7200kg,2012年平均每公 顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均 知识梳理 增长率， 第 1.一元二次方程的根的判别式：△= 叫 做一元二次方程a.z2十bx十c=0(a≠0)的根 部 的判别式.使用判别式的前提条件是a≠0，判 分 别式的值与0的大小关系决定了一元二次方 程根的情况， (1)一4ac>0台一元二次方程有两个不相 9.(人教九上表材P26T11)用一条长40cm的绳 代 等的实数根： 子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能 (2)6-4ac 0台一元二次方程有两 围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能， 个相等的实数根； 说明围法；如不能，说明理由. (3)b-4ac 0台一元二次方程无实 数根。 2.一元二次方程根与系数的关系：如果一元二 次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个根x1, x2,则x十x2= ,1x2= 》知识梳理 [注意]△>0是前提条件。 3.常用公式变形 1.列方程解应用题的一般步骤 (1)x号十x=(1十x2)2-2x1x2. (1)审：审清题意，明确问题中的已知量和 (2)1+1=十 T1 T2 T172 (2)设：设未知量，可以直接设也可以 (3)(x1-x2)2=(x01十x2)2-4x1x2. (3)列：依题意构建方程； (4)(x+1)(x2+1)=x1x2+(+x2)+1. (4)解方程：求出未知量的值； (5)4+=十x_=☑十x)2-21型 (5)检验作答， T2 T1 T1T2 T1T2 2.常见类型 (6)|x1-x2|=√(x1十x2)2-4x1x2. (1)平均增长率（下降率）问题：设原来的量为 知识点③ 一元二次方程的实际应用 a,变化后的量为b. ①当连续两次增长，平均每次增长率为x时， 》教材引入 列方程为 7.(人表九上表材P5T7)要组织一次篮球联赛， ②当连续两次下降，平均每次下降率为x时， 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）， 列方程为 知识精讲 33 (2)传播问题：若开始数量为a,每轮感染的 (5)面积问题：如图1，设空白部分宽为x,则 数量为x,经1轮传染后感染者的数量为 S阴影一 ;如图2,3,4，设空白部分宽 ,经2轮传染后感染者的数量为 为x,则S阴影= (3)销售问题：①利润=售价一成本，总利润= 每件利润×销售量；②销售问题中，单价每涨 价a元，就少卖出b件，若涨价y元，则少卖 出 件 (4)赛制问题（握手问题）：单循环赛，n支球 队总比赛次数为 (若x人中每两人 第 之间握一次手，则握手总次数为 双循环赛，n支球队总比赛次数为 部 分 精 讲 数 考点1一元二次方程及其解法 考点2 一元二次方程根的判别式及 数 例1(2024贵州)一元二次方程x2一2x=0的 根与系数的关系 解是 例4(2024北京若关于x的一元二次方程x2 A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 4x十c=0有两个相等的实数根，则实数c的 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 值为 () 例2(2024安徽)解方程：x2-2x=3. A.-16 B.-4 C.4 D.16 变式若关于x的一元二次方程x2一4x十c=0 没有实数根，则实数c的取值范围是 例5(2024内江)已知关于x的一元二次方程 例3(2024深圳)已知一元二次方程x2一3.x十 x2一px十1=0(p为常数)有两个不相等的实 m=0的一个根为1，则m= 数根x1和x2. [思路分析]本题考查了一元二次方程解的定 (1)填空：x1十x2= ,x1x2 义，根据一元二次方程的解的定义，将x=1 (2)求++ 代入原方程，列出关于的方程，然后解方 程即可 (3)已知x十x=2p十1，求p的值 (对点演练 1.(2024凉山若关于x的一元二次方程(a+2)· x2+x+a2一4=0的一个根是x=0,则a的 值为 A.2 B.-2 C.2或-2 34 指，点中考数学 对点演练 变式在例6条件下，若要使眉山市东坡区永 2.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等实 丰村的水稻亩产量在2025年达到960千克， 数根的是 设2023年到2025年该村水稻亩产量年平均 A.x2-6x=0 B.x2-9=0 增长率为a,则可列方程为 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 《对点演练 2m开热关于x的-元二次方程x+2x+ 3 5.中考将至，九(1)班全体学生互赠“祝福卡”， c=0有两个不相等的实数根，且c为整数，则 共赠“祝福卡”1640张，问九(1)班共有多少 ·(写出一个满足条件的值) 名学生？设九(1)班共有x名学生，那么所列 4.(2024十接二模)若a,b是一元二次方程x2 方程为 ( 3x+1=0的两个实数根，则代数式。+号的 A.x2-1640 部 B.x(x-1)=1640 分 值为 C.x(x+1)=1640 考点3一元二次方程的实际应用 例6(2024眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府 D.2x-1)=1640 与代数 粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高 6. 意《念奴娇·赤壁怀古，在苏轼 效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021 笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈 年的670千克增长到了2023年的780千克， 笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝， 该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列 欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千 方程为 古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两 A.670×(1+2x)=780 位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则 B.670×(1+x)2=780 C.670×(1+x2)=780 这位风流人物去世的年龄为 岁。 D.670×(1+x)=780 友情提示请完成分层特训P1:第7讲 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 本讲在2024年湖北中考卷里考查了一元一次 2能理解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集： 不等式的解法及表示，以选择题形式出现，分值 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集， 为3分，占比2.5%，考查了学生的运算能力、应用 意识的核心素养：在中考试卷中还可能考查一元 3能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单 一次不等式组的解法及表示，一元一次不等式组) 的问题 的应用等，在选择、填空或解答题中均可能涉及 知识精讲 35【例4】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x 3.解：(1)a=1,b=1,c=-12, 千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量 ∴.b-4ac=12-4×1×(-12)=49, 为2x一32)千瓦·时，由邀意得2 x=-b±B-4ac=-1±49=-1±7 2a 2×1 2 9600,解得x=96.经检验，x=96是原分式 .x1=3,x2=-4. 方程的解，且符合题意，∴.2x一32=160. (2)a=1,b=-2,c=-1 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千 瓦·时 ∴B-4ac=(-2y-4X1×(-)=2+1=3, 对点演练 1.D2.x=-1 -b士√匠-4ac_ -(一2)±3_V2±3 3.解：去分母得2十x(x+1)=x2-1, 2a 2×1 2 去括号得2+x2+x=x2-1, =2+ 2 .=E,5 移项、合并同类项得x=一3， 检验：把x=一3代入(x+1)(x一1)得（一3+ 4.解：(1)方程整理为x2一4x+4=0, 1)×(-3-1)=8≠0， 即(x一2)2=0，得x一2=0，解得x=2, ∴.x=一3是原方程的解. ∴.原方程的解为x1=x2=2. 4.C5.D (2)方程整理为2一36=0，即(x+6)(x一6)= 6.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35一x)名 0,得x+6=0或x一6=0，解得x=一6或x=6, 工人根据题意得9-3×12，解得 ∴.原方程的解为x1=一6，x2=6. x=20,经检验，x=20是所列方程的解，且符 【知识梳理】1.一个一2二 合题意，∴.35-x=35-20=15. 2.ax2+bx+c=0 a b c 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人 3.相等 第7讲 一元二次方程及其应用 4.x1= ,x2= 基础知识梳理 一Vp一n 知识点1 x1=n+m,x2=-√n十mx= m 【教材引入】 -b士6-4a 1.解：(1)一般形式为3x一6x十1=0，其中二 2a 0=0,2=-b a 次项系数是3，一次项系数是一6，常数项是1. (2)一般形式为4x2+5x一81=0，其中二次 d 02= 项系数是4，一次项系数是5，常数项是一81. (3)一般形式为x2+5x=0其中二次项系数 知识点2 是1，一次项系数是5，常数项是0. 【教材引入】 (4)一般形式为2x2一4x十2=0，其中二次项 5.解：1)：4=(-3)2-4×2×(-2)=21>0， 系数是2，一次项系数是一4，常数项是2 2.解：(1)移项得x2十10x=-16,配方得x2十 .方程有两个不相等的实数根 10x+52=-16+5,即(x+5)2=9,开平方 (2).△=(-24)2-4×16×9=0， 得x十5=士3，即x十5=3或x十5=-3，所 .方程有两个相等的实数根. 以0=一2，x2=一8. (3),△=(-4√2)2一4×1×9=-4<0， (2)移项得-=是配方得-x十(》= .方程无实数根。 (4)原方程可化为x2一8x十10=0. +(),即(x一》广=1，开平方得x-号 △=(-8)2-4×1×10=24>0， 士1，即x-2-1或x-号=-1，所以 .方程有两个不相等的实数根 6.解：(1)方程两个根的和为5，两个根的积为一20. 3 2 (2)方程两个根的和为一了，两个根的积为 6 (3)原方程化为3.x2-2x一6=0， (2),1十x2=p,x2=1, ·方程两个根的和为三，两个根的积为一2 1+1=4+2=p. (4)原方程化为x2一4x一7=0， -p十1=0，m-p十1=0， .方程两个根的和为4，两个根的积为一7. 【知识梳理】1.b-4ac(2)=(3)< +1= 2.- c aa (3)由根与系数的关系得十2=p,2=1, 知识点3 +x2=2p十1，∴.（十2）2-2=2p+1 【教材引入】 ∴.p2-2=2p+1,∴.p-2p-3=0, 7.解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意，得 解得p=一1或p=3, 名x-1)=15,解得x=6或x=-5(不合 .一元二次方程x2-px十1=0为x2+x+1= 0或x2-3x+1=0. 题意，舍去). 当p=-1时，△=12-4×1×1=-3<0，不 .应邀请6个球队参加比赛 合题意，舍去： 8.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x 当=3时，△=(-3)2-4×1×1=5>0，符 由题意，得7200(1+x)2=8450, 合题意， 解得=2=一（合，。 ∴p的值为3. 【例6】B【变式】780(1+a)2=960 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为2 对点演练 1.A2.D3.0(答案不唯一)4.35.B 9.解：设围成面积为75cm的矩形的长为xcm, 6.36 则宽为(20-x)cm,依题意，得x(20-x)=75, 第8讲 一元一次不等式（组)及其应用 解得x=5,x2=15. 基础知识梳理 :长>宽，x=15, 即这个矩形的长为15cm,宽为5cm. 知识点1 同理，设围成面积为101cm的矩形的长为 【教材引入】 ycm,依题意得y(20-y)=101, 1.解：(1)a>0 (2)a<0(3)a+5<7 :△=-4<0， (4)a-2>-1(5)4a>8(6)2a<3 ∴.此方程无解，故不能围成面积为101cm 2.解：3.01,4,6,100是不等式的解；一4，一2， 的矩形 0,3不是不等式的解. 【知识梳理】1.(1)未知量(2)间接设 【知识梳理】 1.不等号2.未知数 2.(1)①a(1+x)2=b②a(1-x)2=b 3.所有的解 (2)atax a+ax+x(atax)=a(1+x)2 知识点2 (3)卫·b 【教材引入】 3.(1)>(2)>(3)<(4)> (4)n(n-1) x(x-1) 4.解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减 2 2 n(n-1） 3,不等号的方向不变，所以x+3一3>一1 (5)(a-2.x)(b-2x)(a-x)(b-x) 3,即x>一4.解集在数轴上的表示如图所示： 考点素养精讲 0 【例1】B 【例2】解：：x2-2x=3,.x2-2x-3=0, (2)根据不等式的性质1，不等式两边减5x, .(x-3)(x十1)=0，∴.x1=3,x2=-1 不等号的方向不变，所以6x一5x≤5.x一7 5.x,即x≤一7.解集在数轴上的表示如图所示： 【例3】2【例4】C【变式】c>4 【例5】解：(1)p,1. 0