第5讲 一次方程(组)及其应用-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第二单元方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 课标与考情 课标要求 考情分析 1能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理 本讲内容考查了解方程组)及针对其体问题 解方程解的意义，经历仙计方程解的过程。 列方程细解决实际问题，中考试卷中占比百分 2掌握等式的基本性质：能解一元一次方程， 第 之十左右，以选填题、计算题、小应川题的形 3学消元法，能解二元一次方程组 式出现，主要考在了学生的运算能力，应川念 4.◆能解简单的三元一次方程组.选学 识等核心素养 部 5能根据其体可题的实际意义，检验方程解的合理性 分 数 梳 理 数 知识点① 等式的性质 》知识梳理 》教材引入 1.等式的概念：用等号“=”来表示相等关系的 式子，叫做等式。 1.(人教七上数材P81内容改编)下列变换： 2.等式的基本性质 ①若a2=},则a=b: (1)性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式 ②若一m=一1，则m=: 子)，结果仍 ,即如果a=b,那么 ③若g=么，则a=h: 是它在解方程中的应用。 cc (2)性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 ④若ac=bc,则a=b: 个不为0的数，结果仍 ,即如果a=b, ⑤若a=6,则只-名. 那么 ;如果a=b(c≠0)，那么 其中正确的有 (填序号) 是它在解方程中的应用. 3.等式的传递性：如果a=b,b=c,那么 2.(人教七上教材P83T4节选)用等式的性质解 下列方程： 知识点②方程的有关概念 (1).x-4=29: (2)3x+1=4. 》教材引入 3.(人教七上教材P80内容改编)已知方程3x十 m=4一7x的解为x=1,则m= 4.(人教七上教材P83习题T3改编)x=3,x=0, x=一2，各是下列哪个方程的解？ (1)5.x+7=7-2x: (2)6.x-8=8.x-4: (3)3x-2=4十x: 24 指，点中考数学 知识梳理 知识点④ 二元一次方程（组） 1. 叫做方程 》教材引入 2 叫做方程的解。 7.(人表七下教材P93T2节选)用代入法解方程 3. 叫做解方程。 y=2.x-3, 组： 知识点③ 一元一次方程及其解法 3.x+2y=8. 》教材引入 5.(人最七上教材P9内容改编)下列方程中，一 第 元一次方程的个数是 () ①.x-0:②2.x-y=1:③n2+n=0:④2y= 部 5y+3;⑤x-2=2.x+1. 分 A.1 B.2 C.3 D.4 数 6.(人教七上教林P98练习节选) 8.(人数七下表材P96T1节选)用加减法解方程 解方程：生-2=子 5.x+2y=25, 代数 组： 3.x+4y=15. )知识梳理 1.一元一次方程 (1)定义：只含有 个未知数（元），未 知数的次数都是 ,等号两边都是整 》知识梳理 式，这样的方程叫做一元一次方程。 1.二元一次方程（组） (2)一般形式： (1)二元一次方程的定义：一个方程含有 (3)方程一般形式的解： 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 2.一元一次方程的解法步骤与注意事项 ,像这样的方程叫做二元一次方程. 步骤 注意事项 (2)二元一次方程的解的定义：使二元一次方 去分母 不要漏乘 程两边的值 的两个未知数的值，叫 若括号前面是“一”号，去括号后括号内 做二元一次方程的解 去括号 的每一项都要 符号 (3)二元一次方程组的定义：方程组中有 移项 移頭要 个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 合并同类项 系数相加，字母及其指数均 ,并且一共有 个方程，像这 系数化为1 分子，分母不要倾倒 样的方程组叫做二元一次方程组. 知识精讲 25 (4)二元一次方程组的解的定义：二元一次方 知识梳理 程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 1.一次方程（组）实际应用的一般步骤 2.解二元一次方程组的基本思想：消元思想，即 (1)审：弄清题意，分清题中的已知量 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想 (2)设：可设直接未知数，也可设间接未知数， 3.二元一次方程组的解法 并注意单位： (3)列：找出适当的 (1)代人消元法：把二元一次方程组中一个方 关系，列方程（组）： (4)解：解这个方程（组），求出 的值： 程的一个未知数用含另一个未知数的式子表 (5)验：检验方程（组）的解是否正确且是否符 示出来，再代人另一个方程，实现消元，进而 第 合 求得这个二元一次方程组.这种方法叫做代 (6)答：写出答案（包括 名称) 入消元法，简称代入法.当方程组中一个方程 部 2.常考类型 分 的常数项为0或者方程组中某个未知数的系 常考类型 关系式 数 数为1或者一1时，用代入消元法比较简单. 与 (2)加减消元法：当二元一次方程组的两个方 总价=单价×数量：甲单价×甲数量十乙 代 程中同一未知数的系数相反或相等时，把这 购买问题 单价X乙数量=总价： 数 甲数量十乙数量=总数量 两个方程的两边分别相加或相减，就能消去 这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方 售价=标价×折扣，销售额=售价×销 法叫做加减消元法，简称加减法.当两个方程 销售利 量，利润=售价一进价=进价×利润率，利 中某个未知数的系数相同、互为相反数或成 润问题 润率=利润×100%，售价=进价十进价× 进价 整数倍数关系时，用加减消元法比较简单， 利润率=进价×(1十利润率) 4.三元一次方程组的解法：解三元一次方程组 工作总量（常设为“1”）=工作效率X工作 的思想是“转化”，通过消元将“三元”转化为 时间=人均效率X人数×工作时间，甲、 “二元”，再将“二元”转化为“一元” 工程问题 乙合作的工作效率=甲的工作效率十乙 知识点⑤ 一次方程（组）的实际应用 的工作效率 》教材引入 基本量间的关系：路程=速度×时间： 相遇问题（相向而行）：全路程=速度和× 9.(人教七下教林P102T8)打折前买60件A商 相遇所用时间： 品和30件B商品用了1080元，买50件A 追及问题：(1)同地不同时出发：前者走的 商品和10件B商品用了840元，打折后，买 路程=追者走的路程：(2)同时不同地出 500件A商品和500件B商品用了9600元， 发：前者走的路程十两者间的距离=追者 行程问题 比不打折少花多少钱？ 走的路程： 环形问题：(1)环形追及：快者路程一慢者 路程=环形周长：(2)环形相遇：甲路程+ 乙路程=环形周长； 航行问题：顺水速度=静水速度十水流速 度，逆水速度=静水速度一水流速度 26 指点中考数学 考点1等式的性质 x+2y=3, 例3(2024广西)解方程组： 例1(2024贵州)小红学习了等式的性质后，在 x-2y=1. 甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■” “●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平 衡.若设“■”与“●”的质量分别为x,y,则下 列关系式正确的是 《对点演练 第 2x+y=7, 2.(1)(2024苏州)解方程组 2x3y=3: 部 A.r=y B.x=2y x+y=4, 分 C.x=4y D.x=5y (2)(2024乐山)解方程组 2.x-y=5. 数 [思路分析]本题考查等式的性质，设“▲”的 质量为a,根据题意列出等式x十y=y十2a, 代数 x十a=x十2y,然后化简代入即可. 对点演练 1 a=4,则ab= 考点3实际问题与一次方程（组） A是 B号 C.6 D.12 圆☑1费产餐九章算术是我国古代重要 考点2方程（组）的解与解方程（组） 的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思 例2(1)(2024武汉二模)若x=-5是方程a十 为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4 3x=-16的解，则a的值是 (》 亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱. A.1 B.-1 C.-5 D.-31 问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩， x=2, (2)(2024荆州二调)已知 是二元一次方 可列方程为 () y=1 ax+by=8, A++=1 B营++=100 程组 bx-ay=1 的解，则3a一2b的立方根 C.3.x+4x+5.x=1 D.3.x+4.x+5.x=100 为 (2)季文化《九章算术)中记载这样一个题： 2024湖北 [思路分析]本题考查的是二元一次方程组的 牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只 解及解法，把方程组的解代入方程组，得到关 共值8金，问牛羊各值多少金？设每头牛值 于a,b的二元一次方程组，直接利用代入消 x金，每只羊值y金，可列方程为 ( 元法解方程组即可求出a,b的值，再将a,b 5x+2y=10. 2.x+5y=10, 的值代入代数式求值 A. B. 2.x+5y=8 5.x+2y=8 变式若例2(2)的条件不变，则a十3b的算术 5.x+5y=10. 5.x+2y=10, C D. 平方根是 2.x+5y=8 2.x+2y=8 知识精讲 27 圆某工程队乐接了老旧小区改造 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与 一种农作物种植，投入资金共60万元.问A, 工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派 B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总 粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙 漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000 元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外 墙漆每千克的价格多2元.求A,B两种外墙 漆每千克的价格各是多少元？ 第 部 分 数与代数 5.(2024北京)为防治污染，保护和改善生态环 境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽 车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）. 对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量 不超过35mgkm,A,B两类物质排放量之 和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的 A,B两类物质排放量之和原为92mgkm. 《对点演练 经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放 3.(2024宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱 量降低了50%，B类物质排放量降低了75%， 和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每 A,B两类物质排放量之和为40mgkm,判 个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千 断这次技术改进后该汽车的A类物质排放 克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装 量是否符合“标准”，并说明理由， 满，则所装的箱数最多为 A.8箱 B.9箱 C.10箱D.11箱 4.(2024安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出 人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了 一些田地.采用新技术种植A,B两种农作 物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投 入资金如表： 每公顷所 每公顷所需 农作物品种 需人数 投入资金（万元） A 4 8 B 3 9 友情提示请完成分层特训P,第5讲 28 指点中考数学(2)①14 ②103 ③3 ④6 当x=3时，原式= 4.(1)W6-3 4 220 【例9】3m(m+2)(m-2) (3)6 (4)- 2 第二单元 方程（组）与不等式（组） 【知识梳理】1.最简二次根式 第5讲 一次方程（组）及其应用 2.√ab√abc mn vab 基础知识梳理 3层 4.不含根号 va a干√b a-b 知识点I 5.相邻开方 【教材引入】 考点素养精讲 1.②③2.(1).x=33(2)x=1 【知识梳理】2.(1)相等a士c=b士c移项 【例1】x≥9【例2】(1)3(2)-a十3b-c 【例3】1【例4】B【例5】B (2)相等 ac=x4-2去分母，化系数为1 cc 对点演练 3.a=c 1.x>12.13.B4.C 知识点2 5.解：原式=5+2-3+2+1 【教材引入】 2 3.-6 ++2-5++-1 4.(1)x=0(2)x=-2(3)x=3 【知识梳理】1.含有未知数的等式 =2. 2.使方程中等号左右两边相等的未知数的值 单元整合方案 3.求方程解的过程 【例1】(1)B(2)B【例2】B 知识点3 【例3】0（答案不唯一）【例4】士3 【教材引入】 【例5】解：原式=1+2-3+3-4=3-4=-1. 5.C 【例6】(1)B(2)D 6.解：去分母，得2(x十1)一8=x, 去括号，得2x+2一8=x, 【例门解：，2千2)÷ x2-4 移项，得2x一x=8一2， x(x+1) 合并同类项，得x=6. x+2)-x2÷2)(x+2 (x-2)(x+2) 【知识梳理】1.(1)一 1 =x2+2x-2x2+2x.(x-2)(x+2) (2)a.x+b=0(a≠0) (3)x=- (x-2)(x+2) x(.x+1) a Ax (x-2)(x十2) 2.不含分母的项改变变号不变 =(x-2)(x+2) x(x+1) 知识点4 4 【教材引入】 x+1' 分式要有意义出20， 72 把①代人②，得3x十4.x-6=8,解得x=2. ,.x≠士2且x≠0且x≠一1， 把x=2代人①，得y=2×2-3=1. 当x=1时，原式=2， 4 :原方程组的解为)1， x=2, 2x 【例8】解：x一4x一2 1 5.x+2y=25①， 2x 1 8.解：3x+4y=15②. (x+2)(.x-2)x-2 ①×2-②，得7x=35,即x=5,将x=5代入 2.x x+2 x=5, (x+2)(x-2) (x+2)(x-2) ②，得y=0,则方程组的解为=0. 2x-x-2 x-2 【知识梳理】1.(1)两1(2)相等 (x+2)(x-2)(x+2)(x-2)x+2 (3)两1两 4 知识点5 农作物的种植面积为y公顷，由题意可得 【教材引入】 9.解：设打折前A商品的单价为x元/件，B商 y6解得 y=4. 品的单价为y元/件， 答：A种农作物的种植面积为3公顷，B种农 依题意， 60x+30y=1080,解得 x=16, 作物的种植面积为4公顷 150.x+10y=840, v=4 5.解：符合“标准”.理由：设技术改进后该汽车 ∴.500x+500y-9600=400. 的A类物质排放量为xmg/km,则B类物质 答：比不打折少花400元. 【知识梳理】1.(1)未知量 (3)等量 排放量为(40-x)mg/km,由题意得1-50% (4)未知数(5)题意 (6)单位 40-x 考点素养精讲 1-757=92,解得x=34. 34<35,.这次技术改进后该汽车的A类 【例1】C【例2】(1)B(2)2【变式】3 物质排放量符合“标准” ∫x+2y=3 【例3】解：x一2y=1 ①·①+②得2x=4.解 ②， 第6讲 分式方程及其应用 得x=2把x=2代入①得)=号 基础知识梳理 知识点1 x=2, 【教材引入】 方程组的解为 y2 1.解：(1)去分母，得x十3=4x,解得x=1,经检 【例4】(1)B(2)A 验，x=1是分式方程的解 【例5】解：方法一设A种外墙漆每千克的价 (2)方程两边同时乘3(x十1)，得3x=2x十 格是x元，则B种外墙漆每千克的价格是 3(x+1),去括号得3x=2x+3.x+3,解得x (x-2)元， 名检验当一 时，3(x+1)=- ∴.300x十300(x-2)=15000,解得x=26, ∴.x-2=24. 0,所以原分式方程的解为x=一 2 方法二设A种外墙漆每千克的价格是x 【知识梳理】1.未知数 元，B种外墙漆每千克的价格是y元，由题 2.(1)整式方程(2)①最简公分母 ③最简公 查得a230y=150.年 x=26, 分母④不等于 分式方程 y=24. 答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种 3.无解零 外墙漆每千克的价格为24元. 知识点2 对点演练 【教材引入】 1.D 2.15 2.解：(1) 2x+y=7①， 考点素养精讲 2.x-3y=3②， ①一②得4y=4,解 【例1】解：方程两边都乘(x十2)(x一2)，得3(x 得y=1,将y=1代人①得x=3..方程组的 2)+(x+2)(x-2)=x(x+2), 解是 去括号得3x一6十x2-4=x2十2x,解得x=10. 经检验，x=10是原方程的解. (2) x+y= 4.①，①+②得3x=9,解得 【例2】-1或2【变式】2 2.x-y=5②. 【例3】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A x=3,把x=3代入②，得y=1,.原方程组 型机器每天处理(x十40)吨垃圾， 的解是 x=3, y=1. 根据题意，得0一9解得1=60 3.C 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意 4.解：设A种农作物的种植面积为x公顷，B种 答：B型机器每天处理60吨垃圾 ·5