第4讲 二次根式-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第4讲二次根式 课标与考情 课标要求 考情分析 L了解二次根式，最简二次根式的概念 2024年湖北中考数学试卷中，二次根式并没 2了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用 有单独考查，而是渗透在解答题计算过程中，武 它们进行简单的四则运算。 汉中考同样如此，注重对数学运算能力和抽象能 3能用有理数估计一个无理数的大致范围， 力的考查 第 础知识梳 理 部 知识点① 二次根式及相关概念 (3)√-10)2： ④(-7 分 2教材引入 1.(人表八下教材P19T1)当x是怎样的实数时， 与代数 下列各式在实数范围内有意义？ (1)3+x: (2) v2x-' 1 (3)√2-3x (4)√x-1 》知识梳理 1.双重非负性：被开方数a 0,且二次 根式a 0 2.(1)(Wa)2= 》知识梳理 (2)a2= 1.定义：把形如 (a 0)的式子 (3)√ab= (a≥0，b≥0)； 叫做二次根式。 (a≥0，b>0). 2.二次根式有意义：被开方数是 数 ,号= 3.最简二次根式：①被开方数不含 3.性质的应用 ②被开方数不含能 若几个非负数的和为0，则这几个非负数分别 知识点② 二次根式的性质 为0，如： (1)若a2十6=0，则a=0,b=0. 》教材引入 (2)若1a+|b=0,则a=0,b=0. 2.(人教八下教材P5T2节选计算： (3)若√a+√6=0，则a=0,b=0. (1)(5)2: (2)(-√0.2)2： (4)若a2+|b1+√c=0,则a=0,b=0,c=0. 知识精讲 19 知识点③ 二次根式的运算 》知识梳理 2教材引入 L.加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式 3.(人教八下教林P10题目节选) 化成 ,再将被开方数相同的二次根 (1)计算：①√24×√27；②18×√20×√75： 式进行合并. ③V18÷v8:④41西 2.乘法法则：√a·√b (a≥0，b≥0). 25 推广wab√= (a0,b0,c0); (2)化简：①vX49,®50，③，①， mva·nb= (a≥0，b>0). 第 ⑤② 3除法法则：a (a≥0，b>0). 3√40 部 分 4.分母有理化：把分母中含根号的式子化为 的式子 与代 常见的两类：①分母只有单独的一个二次根 数 式，分子、分母同时乘这个二次根式，将分母 4.(人教八下最材P19T3节选)计算： 化为整式，可用式子表示为上 a(2-②)-（√+： ②分母含有加减运算的二次根式，则通过凑 ②2v2x9÷5v2, 平方差公式，将分母化为整式，可用式子表示 (3)(2√3+√6)(2√3-√6)： 为1 √a土b (4)(2√48-3√27)÷√6. 5.无理数的估算：先将二次根式平方，找出与二 次根式平方后所得的数字 的两个开 得尽方的整数，对其进行 就可以确 定这个二次根式在哪两个整数之间. 考点1二次根式的相关概念 2.(2024上海)已知√2x一1=1，则x= 例1(2024北京)若√x一9在实数范围内有意 考点2二次根式的性质、化简 义，则实数x的取值范围是 例2(1)(2024德阳)化简：√(-3)2= 《对点演练 (2)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,化简： 1.(2024烟台)若代数式3在实数范围内有 √(a-b-c+√(b-c+a)2-√/(c+a-b. √x-1 意义，则x的取值范围为 20 指点中考数学 例3(2024成都)若m,n为实数，且(m十4)2+ 例5(2024济宁)下列运算正确的是 ( √n-5=0,则(m十n)2的值为 A.√2+√3=√5 B.√2X√5=√10 [思路分析]本题考查非负数的性质，根据平 C.2÷√2=1 D.√(-5)2=-5 方式和算术平方数的非负性求得m,n的值， 《对点演练 进而代值求解即可 4.(2024盐城)矩形相邻两边长分别为√2cm, 对点演练 √5cm,设其面积为Scm2,则S在哪两个连 3.(2024乐山)已知1<x<2,化简√(x-1)严+ 续整数之间 () |x一2的结果为 ( A.1和2 B.2和3 A.-1 B.1 C.3和4 D.4和5 第 C.2x-3 D.3-2x 52024凉山计算：31十12-3+2+ 考点3二次根式的运算 部 c0s30°-(-1)°. 例4(2024重庆A)已知m=√27-√3，则实数m 分 的取值范围是 () A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 友情提示请完成分层特训P,第4讲 与代数 单元整合方案 知识体系构建 相关概念 单项式， 多项式 一列代数式 正负数的意义 合并同类项 有理数)-分类 无理数 实数的相关概念 整式 运算 幂的运算 数轴、相反数、绝对值、倒数 乘法一乘法公式 科学记数法、近似数 实数 除法 单项式除以单项式 加、减、乘、除、 乘方、开方 (多项式除以单项式 运算法则 提公因式法 零指数幂 负整数指数幂 实数的运算 因式分解 公式法 十字相乘法 实数的运算律 数与式 分组分解法 分式及最简分式 有关概念 细关图-（骨实二资餐 值为零、有意义的条件 双重非负性 基本性质 性质 分式 性质 化简 二次根式 找最简公分母一通分一加减 加减 运算 找公因式一约分一乘除 运算 乘除 估算 知识精讲 21【知识梳理】1.整式字母 2.(1)分母不为0分母不为0，且分子为0 (2)同号异号 1-2 3.公因式 当a=2+1时，原式=2+1-1反 知识点2 对点演练 【教材引入】 1.1(答案不唯一) 31)湘等，号的分子，分母同时乘2y得景 2.(1)2(2)x>-2且x≠0(3)x<2且x≠0 (2②相等，管的分子、分母铜时除以3☑得总 -x-8=1. 3解：8产88 8 4(1) 5.7 ②3a+b(2)02y,9z 6V2'6y 4解：原式=十文一2·】 @2 2xy （x-y)2 =x二y (x+y)(x-y)x+y 【知识梳理】1.不变 3.(1)公因式(2)最大公约数 5解：原式-(+》÷”。 4.(1)相等的同分母(3)①最小公倍数 _2x-1.(x+2)(x-2)=x+2 ②所有字母或因式③最大④积 x-2 x(2.x-1) 知识点3 当x=-3时，原式=一3十21 -331 【教材引入】 a(a+1) 5 (2)42a 6.解：原式=1-a-3 a (a+3)(a-3) a+2 6.(1)y-4x =1-a十1-a+3-a-1 2 a+3 a+3 a+3 8y 品 22 7.解：)原式=+D..1-x (x1)·+i·1+ 当a=4时，原式=4千37 品 7.解：原式=11.x-12 x-1 x-2 =x-1. 1 1+ 3 x≠1,2，.当x=3时，原式=3一1=2. 第4讲 二次根式 (x—2)2 .+2+3=+3 (2)原式=(x十2)x-②`x一2 基础知识梳理 当x=-3.2时，原式=x十3=-3.2+3=-0.2 知识点1 【教材引入】 【知识梳理】11)爱 2 1.(1)x≥-3 (2)x>2 3<号 (4).x≠1 2.(1)a±b (2)ad±bc bd 【知识梳理】1.√a≥2.非负 4.乘方乘法加减括号 3.①分母：②开得尽方的因数或因式 考点素养精讲 知识点2 【例1】(1)x≠1(2)1【例2】-x-2 【教材引入】 2.(1)5(2)0.2(3)10(4)14 【例3】A【变式】B 【例4】解：原式=3a一6b+3动3(a-b) 【知识梳理】 1.≥≥ 3 (a-b)2(a-b)2a-b1 2.(1)a(2)a (3)a·√b (4)V@ a-b-1=0,∴.a-b=1, 小原式==3， 知识点3 【教材引入】 【例】解：原式-（串。）片 a+1 3.(1)①18√2②30√30 ③3 ④2√3 ·3· (2)①14 ②10√3 ③5 ④6 ⑤ 0 当x=3时原式= 4.(1)W6-3 220 【例9】3m(m+2)(m-2) 4 (3)6 (4) 第二单元 方程（组）与不等式（组） 【知识梳理】1.最简二次根式 第5讲 一次方程（组）及其应用 2.√ab√ab mm√ab 基础知识梳理 3层 4.不含根号 Ja a王√b a-b 知识点1 5.相邻开方 【教材引入】 考点素养精讲 1.②③2.(1)x=33(2)x=1 【知识梳理】2.(1)相等a士c=b士c移项 【例1】x≥>9【例2】(1)3(2)-a+3b-c 【例3】1【例4】B【例5】B (2)相等 ac-k只-2去分母，化系数为1 CC 对点演练 3.a=c 1.x>12.13.B4.C 知识点2 5解：原式-1+2-+号+-1 【教材引入】 2 3.-6 ++2-5++-1 4.(1)x=0(2)x=-2(3)x=3 2 【知识梳理】1.含有未知数的等式 =2. 2.使方程中等号左右两边相等的未知数的值 单元整合方案 3.求方程解的过程 【例1】(1)B(2)B【例2】B 知识点3 【例3】0（答案不唯一）【例4】士3 【教材引入】 【例5】解：原式=1+2-√3+√3-4=3-4=一1. 5.C 【例6】(1)B(2)D 6.解：去分母，得2(x十1)一8=x, 去括号，得2x十2一8=x, 【例门解：二2千2 移项，得2x一x=8一2， -+2)22÷t 合并同类项，得x=6. (x-2)(x+2) (.x-2)(x十2) 【知识梳理】1.(1)一1 =x2+2x-x2+2x.(x-2)(x十2) (2)a.x+b=0(a≠0) (3)x=-b (x-2)(x+2) x(x+1) Ax (x-2)(x+2) 2.不含分母的项改变变号不变 (x-2)(x+2) x(x+1) 知识点4 4 【教材引入】 x+1' Jy=2x-3①， :分式要有意义，x十1D≠0. (x十2)(x-2)≠0， 7.解：3x+2y=8②. 把①代入②，得3x十4x-6=8,解得x=2. ,∴.x≠士2且x≠0且x≠一1， 把x=2代入①，得y=2×2-3=1. “当x=1时，原式=2 原方程组的解为-1 x=2, 2.x 【例8】解：x=4厂x一2 5.x+2y=25①， 2x 8.解：3x十4=15②. (x+2)(x-2)x-2 ①×2-②，得7x=35,即x=5,将x=5代入 2x x+2 x=5, (x+2)(x-2)(x+2)(x-2) ②，得y=0.则方程组的解为=0. 2x-x-2 x-2 【知识梳理】1.(1)两1(2)相等 (x+2)(x-2)(x+2)(x-2)x+2 (3)两1两