第4单元 三角形 单元整合方案-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

A处测得点D的仰角为45{*},在点B处测得 若能,请求出信号塔DE的高;若不能,请说明 点D的仰角为38.7*,A,B,C,D,E在同一平 理由.(参考数据:sin38.7*~0.625,cos38.7* 面内. 0. 780.tan38.7~0.80.结果保留整数 38.7 信号塔 CA 友情提示 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗? 请完成分层特训P微课(七) 单元整合方案 两点确定一条直线 两点之间,线段最短 性质一周长,面积都相等 对应边、角,线段。 直线和 两点间的距离 全等 1线段 三角形 线段的和,差 判定-SSS.SAS. ASA,AAS, HL. 线段的中点 角的分类 抽船图回写 度,分,秒之间的换算 角和角 比例的 平分线 基本性质2条,等比 余角、补角 性质 性质、合比性质 定义、性质、判定一角平分线 线段、角、 邻补角之和为180。 成比例线段、黄金分割 对顶角相等相交线 相交线与 平行线 平行线分线 基本事实 三线八 写 段成比例推论 唯一性、 -垂线相交线与 垂线段最短- 对应边、线段,周 相似三角形 /长的比等于相似比 点到直线的距离/ 平行线 (含位似) ,性质对应角相等 性质,判定一垂直平分线 相似三 面积比等于相 角形的 平行公理及其推论。 似比的平方 性质、判定 -平行线/ 性质与 判定 /平行线 平行线间的距离 判定 两边成比例 三边成比例 真、假、逆命题、命题与 三形 且夹角相等 定理,互逆定理 定理 相似多边形 两角分别相等 概念、性质 稳定性 位似 三角形的 三边关系 三角形及其 门基本性质 基本性质。 锐角三角函数的概念一正弦、余弦、正切 内角和定理、内外角关系 [特殊角的三 30 ,45,60角的 高、中线,角平 三角形中的 角函数值 锐角 正弦、余荡,正切 分线、中位线 重要线段 三角 函数 ,三边关系 解直角三角形 及其 [等腰三角形 -两锐角关系 应用 等边三角形 性质,判定。 边角关系 等腰三角形和 面积公式 直角三角形 直角三角形 解直角三角形 ,方向角 等腰直角三角形 的实际应用”仰角、俯角 坡度(坡比)、坡角 知识精讲 121 易错点1 等腰三角形“无图多解”,出 例4已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三 现漏解 角形的周长分成9和12两部分,则等腰三角 例1 已知等腰三角形一个角的度数为50{,则 形的底边长为 它的另两角的度数为 [易错答案]5 [易错答案]50{,80 [易错分析]已知条件中未具体指明等腰三角 [易错分析]由于已知条件中未指明已知角是 形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的两 顶角还是底角,而从题意来看,它既可以作顶 部分的大小,若只考虑一部分长度为9(或 角,又可以作底角,故只考虑它可以作顶角或 12)时,出现漏解现象,所以此问题应分为长 作底角其中一种情形时,就会掉进命题“陷 度为9和12两种情形. 阱”,出现漏解现象,所以此类问题应分为已 [正确答案] 知角作顶角和作底角两种情况来考虑 对点演练) [正确答案] 1.等腰三角形的一个角是70{},则它的另外两个 2已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的 角的度数是 夹角为45{},则这个等腰三角形的顶角度数为 1 图1写 2.一个等腰三角形一腰上的中线把三角形的周 长分为12和15两部分,则等腰三角形的腰 [易错答案]45* 长为。 [易错分析]由于等腰三角形一腰上的高与等 3.已知3是关于x的方程x^-(m十1)x十2m= 腰三角形的位置关系不确定,故只考虑一腰 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰 上的高在等腰三角形内部(或外部)时,就会 好是等腰△ABC的两条边的长,则△ABC 掉进命题“陷阱”,出现漏解现象,所以此类问 的周长为 题应分为一腰上的高在等腰三角形内部和外 4.为美化环境,建设绿色校园,学校计划铺设一 部两种情形. 块面积为30m^{}的等腰三角形绿地,已知等 [正确答案] 腰三角形一边长为10m,且顶角是锐角,试 ③在△ABC中,AB-AC,AB的垂直平分线 求这块等腰三角形绿地另外两边的长 与AC所在的直线相交所成的角为50{,则底 角B的度数为 [易错答案]70。 [易错分析]已知条件中AB的垂直平分线与 AC相交的具体位置不确定,若只考虑AC的 垂直平分线与另一腰(或另一腰的延长线)相 交时,会掉进命题“陷阱”,出现漏解现象,所 以此问题应分为AB的垂直平分线与另一腰 AC相交和AB的垂直平分线与另一腰AC 的延长线相交两种情形 [正确答案] 122 指点中考数学 易错点2 忽略三角形三边关系 易错点3 应用全等三角形判定方法致误 则5若等腰三角形的一条边长为6厘米,另一 如图,已知AB=DC,OA=OD,A= 边长为2厘米,则它的周长为 ) -_ D.问 1一/2吗?试说明理由 A.10厘米 B.14厘米 C.10厘米或14厘米 D.无法确定 [易错答案]C [易错分析]由于本题未指明所给边长是等腰 [易错答案]解: 1一 2.理由如下:在△AOB 三角形的腰长还是底边长,所以需讨论:①当 和△DOC中,因为AB=DC.OA=OD. AOB 腰长为6厘米时,底边长为2厘米;②当腰长 DOC,所以△AOB△DOC(SSA),所以 为2厘米时,底边长为6厘米,忽略三角形成 1-2. 立的条件“三角形的任意两边之和大于第三 [易错分析]不存在“角角角(AAA)”和“边边 边”从而致误 角(SSA)”的判定方法,即对于一般三角形, [正确答案] “有三个角对应相等的两个三角形不一定全 对演练 等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的 两个三角形不一定全等,” 5.若等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则 ) [正确答案] 这个三角形的周长是 图回写 A.16 B.20 C.16或20 D.16或18 6.如图,AD为△ABC的中线,AB-6,AC=4 求AD的取值范围 风对点演练 7.如图,点D.E分别在线段AB,AC上,CD与 BE相交于点O,已知AB一AC,现添加以下 哪个条件仍不能判定入ABE八ACD _ ) _#. A.B-C B.AD-AE C.BD-CE D. BE-CD 知识精讲 123 8.如图,已知AB=DC,AD=BC,那么图中全 动的速度为每秒1个单位长度,求当:为何 ( 等三角形的对数是 ) 值时,△CBD是直角三角形,说明理由 C.4 A.2 B.3 D.5 [易错答案]解::CDB-90”,..Sc= 9. 如图,已知AB=DC,DB=AC求证:ABD $AC·B-AB·BC,即$×10BD-× /DCA. 8 $ 6,解得BD=4.8..'CD-3.6...t-3.6 1-3.6. [易错分析]直角三角形必须描述直角或者斜 边等能够确定三角形的元素,如果没有明确 说明,就要考虑分类讨论.由于C为锐角,所 以分两种情况:① CDB=90*,②CBD=90 讨论求解. [正确答案] 图写写 易错点4 运用勾股定理计算线段的 长出现漏解 已知直角三角形的两边长分别为3和4 第三边长为 [易错答案]5 [易错分析]已知直角三角形的两边长,但未 明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条 边中的较长边4既可以是直角边,也可以是 斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即4 是斜边长和直角边长两种情况,然后利用勾 股定理求解 [正确答案] 对点演练) 对点演练 10.已知直角三角形两边的长为6和8,则此三 11.(2024齐齐哈尔)已知矩形纸片ABCD,AB= 角形的周长为 5.BC=4,点P在边BC上,连接AP,将 易错点5 直角三角形存在性问题 AABP沿AP所在的直线折叠,点B的对 例B如图,在Rt△ABC中,ABC-90{},AB= 应点为B',把纸片展平,连接BB,CB,当 8.BC=6,点D为AC边上的动点,点D从点 △BCB为直角三角形时,线段CP的长为 C出发,沿边CA向点A运动,当运动到点A 友情提示 时停止,若设点D运动的时间为t秒,点D运 请完成分层特训P单元综合测试 124 指点中考数学答：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有 在Rt△GAC中，∠EAC=37°， 触礁的危险， ∴.CG=AG·tan∠E4C≈873×0.75=654.75(m), 考点素养精讲 ∴.CD=DG-CG=873-654.75≈218.3(m). 【例1】A【例2】A 答：吉塔的高度CD约为218.3m, 【例3】解：(1)在R△ABD中，AB=10,AD=6, 【例3】10.4 ∴.BD=√AB-AD=10-6=8, 对点演练 在R△ADC中，m∠ACB-提1， 1.B2.1+√53.24.16 5.解：能.过B作BF⊥DE于F(图略)， ∴.DC=6.∴.BC=BD+DC=8+6=14. 则EF=BC=3m,BF=CE. (2),AE是BC边上的中线， 在Rt△ABC中，，AB=5m,BC=3m, ∴.BE=号BC=7, ∴.AC=√AB2-BC=4(m). ∴.DE=BD-BE=8-7=1, 在Rt△ADE中，：∠DAE=45°， ∴.AE=DE,设AE=DE=xm, ∴.AE=√AD+DE=√+1平=√/37， .'.BF=(4+x)m,DF=(x-3)m, in∠DAE-A是司 DE137 37 在R△BDF中，an387T-器- 【例4】解：“测角仪”方案：，CD⊥BD,AB⊥ 0.80,解得x≈31，∴.DE=31m BD,CF⊥AB,.四边形CDBF是矩形， 答：信号塔DE的高约为31m. .'.CF=BD=10 m,BF=CD=1.6 m. 单元整合方案 ∠ACF=32.5,∴.AF=CF·tan32.5°≈ 10×0.64=6.4(m), 【例1】50°，80或65°，65°【例2】45或135° .AB=AF+BF=6.4+1.6=8(m) 【例3】70或20°【例4】5或9【例5】B 答：树AB的高度约为8m 【例6】解：∠1=∠2.理由如下：在△AOB和 “平面镜”方案：，CD⊥BD,AB⊥BD, △DOC中， ∴.∠CDE=∠ABE=90°， 因为AB=DC,∠A=∠D,OA=OD, '∠CED=∠AEB,∴.△CDE∽△ABE, 所以△AOB≌△DOC(SAS),所以∠1=∠2. 器能器品AB=8 【例7】5或7 答：树AB的高度约为8m 【例8】解：①当∠CDB=90时，S=2AC. 对点演练 1.B BD-2AB·BC, 2.解：原式=1+22-2×2+2=32. 即2×10BD=号×8X6,解得BD=4.8, 3B49 .CD=3.6,t=3.6÷1=3.6: ②当∠CBD=90时，点D和点A重合， 微课（七）解直角三角形的常见模型 t=10÷1=10. 【例1】A 综上所述，t=3.6或10. 【例2】解：如图，延长DC交AE于点G, 对点演练 G 1.55°，55或70°，40°2.8或103.10或11 4.解：等腰△ABC,AB=AC,面积为30m,若底边 长BC=10m(如图1)，作AD⊥BC,垂足为 由题意得AB=DG=873m,∠DGA=90°. 点D,根据面积可求出AD=6m,由等腰三 在Rt△GAD中，∠EAD=45°， 角形三线合一的性质求出BD=5m,由勾股 定理即可求出AB=√6Im,此时△ABC成 ∴.AG= DG tan∠EAD=DG=873(m), 立；若腰长AB=AC=10m(如图2)，作BD⊥ ·26。 AC,垂足为D,根据三角形的面积公式求出 知识点2 BD=6m,由勾股定理求出AD=8m, 【教材引入】 ∴.CD=2m,故可得出BC=2√/10m,此时 2.证明：，四边形ABCD是平行四边形， △ABC成立，∴.这块等腰三角形绿地另外两 ∴.OD=OB,DC∥AB,∴.∠FDO=∠EBO, 边的长为√61m,√/61m或10m,2√10m. ∠FDO=∠EBO, 在△DFO和△BEO中，{OD=OB. ∠FOD=∠EOB. .△DFO≌△BEO(ASA),.OE=OF. 【知识梳理】1.平行2.互补3.平分 5.B 知识点3 6.解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE 【教材引入】 3.证明：如图，连接AC交BD于点O, D AD为△ABC的中线，.BD=CD ,四边形ABCD是平行四边形， 在△ACD和△EBD中，AD=DE, ∴.AD=BC,AD∥BC,OD=OB,OA=OC, ∠ADC=∠EDB,CD=BD, .∠ADE=∠CBF, ∴.△ACD≌△EBD(SAS),∴.BE=AC, AE⊥BD,CF⊥BD, 由三角形三边关系得，6一4<AE<6+4, .∠AED=∠CFB=90°， 即2<AE<10,.1<AD5. 7.D8.C .△ADE≌△CBF(AAS),.DE=BF ∴OD-DE=OB-BF,即OE=OF. 9.证明：如图，连接BC 又OA=OC,.四边形AFCE是平行四边形， 【知识梳理】 2.相等3.相等4.相等 5.平分 考点素养精讲 AB=DC, 【例1】C 在△ABC和△DCB中，{AC=DB. CB=BC, 【例2】证明：，四边形ABCD是平行四边形， .△ABC≌△DCB(SSS). .AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF, ∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC, AB=CD. ∴·∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB, 在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF, AE=CF, 即∠ABD=∠DCA. ∴.△ABE≌△CDF(SAS),.BE=DF. 10.24或14+2711.号或2 【例3】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 第五单元 四边形 ∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. .AF=CE..'.AD-AF=BC-CE. 第20讲 多边形与平行四边形 ∴.DF=BE, 基础知识梳理 AB=CD. 知识点1 在△ABE与△CDF中，∠B=∠D, 【教材引入】 BE=DF, 1.(1)三角形 (2)六边形 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). 【知识梳理】1.(1)(n一2)×180° (2)360° (2)解：添加BE=CE(答案不唯一) 2.(1)相等相等 对点演练 (2)00m-2)X180 360° 1.A2.93.120°4.B5.5 ②m 6.证明：四边形ABCD是平行四边形， ·27·