第3讲 分式及其运算-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第3讲分式及其运算 课标与考情 课标要求 考情分析 1.了解分式及最简分式的概念 2024年湖北中考数学对本讲内容考查了一个3分的填空题， 可分母分式的加减法：武汉中考并没有单独考查本讲内容，仅 2能利用分式的基本性质进行约分和通分。 在一个3分的填空题中涉及本讲的运算：其中分式的化简求值在 3能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 解答题中也可能会涉及，注重考查学生的运算能力 第 础知 识梳 理 部 知识点① 分式的有关概念 2.(1)分式有意义的条件是 ,分式值为 分 0的条件是 数 2教材引入 (2)拓展：若分式的值大于0，则分子、分母 代 1.(人教八上教材P133T3)x满足什么条件时下 :若分式的值小于0，则分子、分母 数 列分式有意义？ , (2), 3.最简分式：分子与分母没有 的分式 3 叫做最简分式。 8 1 (402-16 知识点②分式的基本性质 2教材引入 2.(人数八上表材P134T13)在什么条件下，下列 3.(人教八上教材P133T4)下列各组中的两个分 分式的值为0？ 式是否相等？为什么？ 号， (2)5ab a+b' a与器： y (2g0%与%品 4.(人泰八上教材P133T6和T7节选) 1)约分①20：②9a9。 3a+b 》知识梳理 2通分：①号5与票®2行，与 1.定义：一般地，如果A,B表示两个 并且B中含有 ,那么式子合叫做分 式分式会中，A叫做分子，B叫做分母。 知识精讲 15 》知识梳理 千6*品88号 (2)。 16-a2 1.基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同 一个不等于0的整式，分式的值 .用 式子表示如下： 合-合：A,B,C是整式，C≠0)四通分 合-合A,B.C是整式，C≠0)约分 6.(人最八上最材P142练习2计算： 第 2符号变化法则：号=-62=一马6=二分 a·法￥， 一 3.约分 2出1.(-( 部 (1)定义：根据分式的基本性质，把一个分式 分 的分子与分母的 约去，叫做分式的 数 约分. 与 (2)找公因式：①系数：分子、分母中系数的 代 数 :②字母：分子、分母中相同的字 母，及相同字母的最低次幂；③多项式：能因 式分解的要先分解因式。 7.(人数八上教材P159T11) 4.通分 )先化简，再求值：2÷： x (1)定义：根据分式的基本性质，把几个异分 母的分式分别化成与原来的分式 的 其中x=分 分式，叫做分式的通分 (2)最简公分母：一般取各分母的所有因式的 ②当x=-32时，求名+3 最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做 的值. 最简公分母 (3)找最简公分母的方法：①取各分式中分母 系数的 作为最简公分母的系数： ②各分式的分母中 都要取到，相同 的字母或者因式只取一次：③相同字母（或因 式)的幂取指数 的；④所得最小公倍 数与各字母（或因式）的最高次幂的 为最简公分母。 》知识梳理 知识点③分式的运算 1.分式的乘除 》教材引入 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的 5.(人最八上教材P139练习1)计算： 积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用 (1)2.5pg÷5mm2, 3pg2 Amn2 3g 式子表示为分·后一 16 指，点中考数学 (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式 ④约分： 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用 ⑤进行加减运算； 式子表示为号÷后 ⑥代值检验，代入的数值要使得原分式及化 简过程中的分式有意义. 2.分式的加减 (2)注意 (1)同分母相加减：士 ①化简求值题一定要做到“先”化简，“再” (2)异分母相加减：号士旨 求值， ②进行分式与整式的运算时，可将整式视为 3乘方运算：（号）” (n为正整数)，乘 分母为1的代数式，然后与分式进行通分，再 第 方运算注意公式的逆用. 依照运算法则进行运算。 4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先 ③分数线有括号的作用. 部 算 ,再把除法化为 ,进行约 ④进行分式的加减运算时，注意与分式方程 分 分化简，最后进行 运算，有括号的， 的解法区别开来，不要“去分母” 数 先算 里面的，结果化为最简分式或 ⑤除法运算一定要转化为乘法后再运算，如 代 整式。 果分子、分母是多项式，可先将分子、分母因 数 5.分式的化简求值 式分解，再进行运算」 (1)一般步骤 ⑥注意化简结果应为最简分式或整式。 ①有括号的先算括号里面的； ⑦化简后代值的形式有给定值、通过解方程 ②能因式分解的先因式分解； 或不等式确定所代值、挑选合适值、任选合适 ③进行乘除运算； 值等，取值的依据是分式有意义的条件 考点1分式的有关概念 (2)当x的取值范围为 时，分式 I(1)2024盐城若分式7有意义，则x的 2实的值为正。 取值范围是 (3)当x的取值范围为 时，分式号 (2)当x=2时，分式十没有意义，则a的 x-2a 的值为负， 值为 考点2分式的性质和运算 对点演练 1.(224吉林)当分式十的值为正数时，写出 圆园a成诗计算：产2十， 个满足条件的x的值为 例3(2024河北)已知A为整式，若计算A ty+y- 2.填空： y的结果为二义y,则A= ty (1)当x的值为 时，分试2的值为0， A.x B.y C.x+y D.x-y 知识精讲 17 变式在例3的基础上，将二义中的x,y的值 5224苏州)先化简，再求值：(+1)÷ 均扩大为原来的3倍，则分式的值为() 子其中x=-品 A.原分式的3倍 B原分式的 C.不变 D原分式的号 例4 整体思想已知a一b-1=0,求代数式 2024北京 3(a-2b)+3b. 第 a2-2ab+6P的值. [思路分析]本题考查了分式的化简求值，先 部 利用完全平方公式和整式的加法、乘法对分 6.(2024盐城)先化简，再求值：1-a-3÷a2-9 a a2+a1 分 母分子化简，再对a一b一1=0化简得到a一 其中a=4. b=1,再整体代入求值即可. 与 圆国(024课料)洗化简，再求值：(1-a子)÷ 1024送宁先化简：(1-)÷22 a2-2a+1,其中a=2+1 再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值 a+1 代入求值. 《对点演练 3(4江百化简：子8g 4(2024萨州化简：（学+x一2列÷兰， 配友情提示请完成分层特训P,第3讲 18 指，点中考数学考点素养精讲 7.解：(1)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b. 【例1】B【例2】D【例3】A【例4】B (2)原式=(4x)2-2·4x·3y+(3y)2=16x2 【例5】D【例6】0（答案不唯一）【例7】B 24xy+9y2. 【例8】解：原式=一3+3+4一1=3. 【知识梳理】1.(1)和不变(3)①相同 对点演练 a十b十c②相反a-b-c 1.D2.C3.C4.C5.A6.A 2.(1)am+" (2)am-#(3)a"m (4)am心b 7.解：原式=2+1-4=-1. 3.(1)相乘 指数(2)相加ma十b 8.解：原式=-3+5-1一6=-5 (3)相加ac+ad+bc+bd 第2讲 整式与因式分解 (4)①a2-62②a2±2ab+ 4.(1)因式指数(2)相加 基础知识梳理 5.乘方乘除加减 知识点1 知识点4 【教材引入】 【教材引入】 1.(1)(t+5)℃ (2)(3.x-3y)千米 8.解：(1)①原式=(5x)-(4y) (3)(50-5.x)元(4)π(R2-r2)acm =(5x+4y)(5.x-4y). 2.V=(2a2-r产)h=3.45cm ②原式=(a一b)[(x-y)+(x+y)]=(a-b)· 知识点2 2x=2x(a-b). ③原式=(a-2b)2. 【教材引入】 3.解：如表所示 ④原式=[2+3(x-y)]=(2+3.x-3y) (2)①原式=(x+2)(x+5). 单项式 系数 次数 多项式 项 次数 ②原式=(x-4)(x十2). 3 x2+y2-1 x2,y2,-1 2 【知识梳理】1.整式的积 m 3x2-y+ 3x2,-y 2.(1)m(a+b+c)(2)(a+b)(a-b) (a士b)2 7 7 3xy2+x-1 3xy°，x,一1 3.(1)提取公因式(2)平方差公式完全平方 x 1 公式十字相乘法(3)彻底 32 32 3 2.x-y 2x,-y 考点素养精讲 【知识梳理】 1.(1)积 数 字母 (2)数字 【例1】4【例2】五，四，1，-1 因数(3)字母指数 【例3】(1)m(答案不唯一)(2)①③②④ 2.(1)和 (2)单项式 (3)最高项 【例4】(1)D(2)-(m-n)5(或(n-m)5) 3.单项式 多项式 【例5】C【例6】y2-1 4.①字母 ②指数 【例7】解：原式=2m一m2+2m十m2一9=4m- 知识点3 【教材引入】 9,当m=2时，原式=4×号-9=1. 4.解：(1)原式=5a+4c+7b+5c-3b-6a=(5a 【例8】(1)D (2)(x+1)2 6a)+(4c+5c)+(7b-3b)=-a十9c+4b. 对点演练 (2)原式=8xy-x2+y2-x2+y2-8.xy= 1.C2.73.34.135.A6.D (8.xy-8xy)+(-x2-x2)+(y2+y2)= 7.解：原式=2-2xy十x2+2xy十y=2x2+y. -2x2+2y2. 8.2(a-1)29.(.x+3)210.-6 5.解：原式=-x2+5十4x+5x-4十2x2=x2+ 9x+1,当x=-2时，原式=4-18+1=-13. 第3讲 分式及其运算 6.解：(1)原式=-16ab. 基础知识梳理 (2)原式=4.x2y·(-x3y)=-4x5y2. 知识点1 (3)原式=20y-4y-5+y=-4y+21y-5. 【教材引入】 (4)原式=-18a3+6a2+4a. 1.(1)x≠0 (4)x≠土4 (5)原式=一4.x (2)x≠3(3)x≠-号 (6)原式=-3.x2+4x. 2.(1)x=1 (2)b=5a且b≠-a ·2· 【知识梳理】1.整式字母 =a-1.a+11 2.(1)分母不为0分母不为0，且分子为0 a+1(a-1)2a- (2)同号异号 1 1=2 3.公因式 当a=2+1时，原武=2+1-122 知识点2 对点演练 【教材引入】 1.1(答案不唯一) 3(1)相等号的分子，分母同时乘2y得景 2.(1)2(2)x>- 2且x≠0(3)<2且≠0 (2②)相等，的分子.分铜时除以弘得验 =x-8=1. 3解：8产88 8 a0品 ②3a+b(2)02Y,9z 6y'6y 4.解原式=Y+一2. x2-y2 @222 2xy =（xy)2 a+y年} 【知识梳理】1.不变 3.(1)公因式(2)最大公约数 5解：原式=(+÷ x一2 4.(1)相等的同分母(3)①最小公倍数 =2x-1.（x+2)(x-2)=x十2 ②所有字母或因式③最大④积 x-2 x(2x-1) 知识点3 当x=一3时，原式=一3十2=1 -331 【教材引入】 57 (2)42a 6.解：原式=1-4一3. a(a+1) a (a+3)(a-3) a+2 6.(1)y-4.x2 8y @品 =1-a+1-a+3-a-1_2 a+3 a+3 a+3 当0=4时，原式=异写 2 7.解：)原式=+1DD.=.1-x (x-1)2x+11+x 7.解：原式=-11.x-1)2 x-1 x-2 =x-1. 1 1+2 3 x≠1,2，.当x=3时，原式=3-1=2. 第4讲 二次根式 (x-2)2 .+2)+3=x+3. (2)原式=x十2)x-②x-2 基础知识梳理 当x=-3.2时，原式=x十3=-3.2+3=-0.2 知识点1 【教材引入】 【知识梳理】1.1爱 2是 1.(1)x≥-3 (4).x≠1 2.(1)4±b (2)4d±bc 2x> bd 【知识梳理】1.√a≥2.非负 4.乘方乘法加减括号 3.①分母：②开得尽方的因数或因式 考点素养精讲 知识点2 【例1】(1)x≠1(2)1【例2】-x-2 【教材引入】 2.(1)5(2)0.2(3)10(4)14 【例3】A【变式】B 【例4】解：原式=3a-6b+3动_3a-D 【知识梳理】 1.≥≥ 3 (a-b)2(a-b)2a-b 2.(1)a (2)la (3)Wa·vb (4) .a-b-1=0,∴.a-b=1, B “原式==3 知识点3 【教材引入】 【】解：原式-（串品） a+1 3.(1)①18v2 ②30√30 ③ ④23 3