第2讲 整式与因式分解-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第2讲 整式与因式分解 课标与考情 课标要求 考情分析 1.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;会把具体数代入代数式进 2024年湖北中考对本讲的知 行计算. 识点考查了单项式乘单项式,出 2.理解整式的概念,掌掘合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算, 现在选择题第3题,分值3分,占 能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的 全卷2.5%,难度系数为0.94.属 乘法). 于简单题.武汉中考数学也仅在选 抽 1-数 3.理解完全平方公式,平方差公式,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的 择题第5题考查了富的运算,而在 计算和推理 中考里,还可能考查因式分解、求 4.能用提公因式法,公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数. 代数式的值等,着重考查运算能 并了解代数推理 力和逻辑推理能力 知识点 代数式及其求值 若a=6cm,r=0.5cm,h-0.2cm,求V的 值(Gn取3). >教材引入 1.(人表七上教材P50T2列式表示: (1)温度由:C上升5C后是多少? (2)两车同时、同地、同向出发,快车行驶速度 是xkm/h,慢车行驶速度是vkm/h,3h后 》知识梳理 两车相距多少千米? (③)某种苹果的售价是每千克x元(x<10) 1.代数式:用基本运算符号(基本运算包括加. 用50元买5kg这种苹果,应找回多少钱? 减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母 (4)如图(图中长度单位:cm),钢管的体积是 连接起来的式子,叫做代数式 多少? [注意]①单独的一个数或一个字母也是代数 式:②不能带有等号、不等号、约等于号等; ③可以带有绝对值,如x,-2.25 2.列代数式 (1)概念:把问题中与数量有关的词语,用含 有数、字母和运算符号的式子表示出来,就是 列代数式. 2.(人教七上教材P60T一块三角尺的形状和尺 (2)注意事项 寸如图所示,如果圆孔的半径是r,三角尺的 ①数与字母、字母与字母相乘可省略乘号不 厚度是h,用式子表示这块三角尺的体积V 写,数与数相乘必须用乘号“×”表示 10 指点中考数学 ②字母与数的乘法中,通常将“×”简写作 (2)项:多项式里,每个 叫做多项式 “.”或者省略不写. 的项,不含字母的项叫做常数项.指出多项式 ③在数和表示数的字母乘积中,一般把数写 中的每一项时都要带中间的运算符号 (3)次数:多项式里次数 在字母的前面,这个数若是带分数,要把它化 的次数. 成假分数. 3.整式: _统称为整式. 4.同类项满足的条件:①所含 ④含有字母的除法,一般不用“一”(除号),而 相同; ②相同字母的 是写成分数的形式 也相同.所有的常数 3.代数式求值的方法 项都是同类项 (1)直接代人法:把已知字母的值代人代数 知识点③ 整式的运算 式,并按原来的顺序计算求值;或者是先把原 教材引入 代数式化简再代入求值 (2)整体代入法:观察已知条件和所求代数式 4.(人教七上教材P70T3节选)计算 的关系,将所求代数式变形后与已知代数式 (1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a); 成倍分关系,把已知代数式看成一个整体代 (2)(8xy-x+{)-(r-+8xy) 人所求代数式中求值 知识点 整式的相关概念 教材引入 5.(人教七上教材P70T4)先化简下式,再求值; 3.(人教七上教材P75T2下列整式中哪些是单项 (+5+4x)+(5x-4+2x),其中x=-2 式?哪些是多项式?是单项式的指出系数和 次数,是多项式的指出项和次数; ,+-1,x,3x-y+3xy+ 6.(人数八上教材P104-105题目节选)计算; 4-1,323,2x-3. (1)-(-2ab); (2)4xy.(-xy); (3)(4y-1)(5-y); (4)(2#-)(9);# (5)24x*y-(-6xy); 知识梳理 (6)(6-8)-(-2^) 1.单项式 (1)定义:数或字母的 (单独的一个 或 也是单项式) (2)系数:单项式中的 (3)次数:单项式中所有 的和. 2.多项式 (1)定义:几个单项式的 知识精讲 11 7.(人教八上教材P112T1和T2节选)计算; 3.整式的乘法 (1)(2a-36)(36+2a); (1)单项式乘单项式:把它们的系数、同底数 (2)(4x-3)?. 寡分别 ,对于只在一个单项式中含 有的字母,则连同它的 作为积的一 个因式. (2)单项式乘多项式:用单项式分别去乘多项 式的每一项,再把所得的积 ,即 m(a十b)-___. (3)多项式乘多项式:先用一个多项式的每一 项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积 ,即(a十b)(c十d)一 (4)乘法公式 知识梳理 ) ①平方差公式:(a十b)(a一b)= 1.整式的加减 ②完全平方公式:(a士b){三 (1)合并同类项:把多项式中的同类项合并成 [注意](1)平方差公式的常用变形: 一项,叫做合并同类项,合并同类项后,所得项 ①(b+a)(-b+a)-a?-b; 的系数是合并前各同类项的系数的 ②(-a-b)(a-b)-b-a}。 且字母连同它的指数 (2)完全平方公式的常用变形; (2)运算法则:一般地,几个整式相加减,如果 ①a?+b-(a+b)2-2ab; 有括号就先去括号,然后再合并同类项 (3)去括号规律 ②a^+b=(a-b)}+2ab; ①如果括号外的因数是正数,去括号后原括 ③(a+b)?-(a-b)②+4ab; ,即 号内各项的符号与原来的符号 ④(a-b)2-(a十b)-4ab a十(b十c)一 4.整式的除法 ②如果括号外的因数是负数,去括号后原括 (1)单项式相除:把系数与同底数寡分别相除 号内各项的符号与原来的符号 ,即 作为商的 ,对于只在被除式里含有 a-(十c)一__. 的字母,则连同它的 作为商的一个 (4)整式的加减运算的实质是去括号与合并 因式. 同类项的综合运用 2.寡的运算(m.n.b为整数) (2)多项式除以单项式:先用多项式的每一项 (1)同底数寡的乘法:a“·a”-__ 除以这个单项式,再把所得的商___. (a-0); (2)同底数寡的除法:a”-a”=_(a-0); 5.整式混合运算的顺序 先算 ,再算 (3)霉的乘方:(a”)"一 (a-0); ,最后算 (4)积的乘方:(a””)一 (ab0). 同级运算按照从左到右的顺序计算 12 指点中考数学 知识点 因式分解 知识梳理 教材引入。 1.定义:把一个多项式化成几个 的形 8.分解因式: 式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这 (1)(人表八上教材P124T3) 个多项式分解因式.因式分解和整式的乘法 ①25c2-16y2; 是互逆运算. ②(a-b)(x-)-(-a)(x十y); 2.常用方法 ③a?-4ab+4b; (1)提公因式法;ma十mb十mc= ④4+12(x-)+9(x-)2 [系数:取各项系数的最大公约数 公因式 字母:取各项相同的字母 1-小5数 的确定 指数:取各项相同字母的最低次数 (2)公式法:a^{-b=,a②}士2ab+= [知识拓展] (1)十字相乘法:x2}十(十q)x十=(x十p)· (xtq). (2)分组分解法:a^{}+b-c^2+2ab-a^{}+2ab+ #-c2=(a+b)*-c2=(a+b十c)(a+b- ). (2)(人表八上教材P121节选) ②2-2x-8 3.一般步骤 ①r2+7x+10; (1)提;若有公因式,先 (2)套:没有公因式的,可考虑公式法,两项考 虑。 _;三项考虑 (③)检查:检查因式分解是否 ,必须 分解到每一个多项式不能再分解为止;结果 一定是几个整式的积的形式 考点1 代数式及其求值 考点2 整式的相关概念 例(2024苏州)若a-b十2,则(6-a)2②- 例24mn-3m}+mn-1是 次_项 对点演练 式,二次项系数是_,常数项是_. 1.(2024广安)代数式一3x的意义可以是( 例(1)(2024河南)请写出2m的一个同类项: A.一3与x的和 B.一3与x的差 C.一3与x的积 D.一3与x的商 体思想若2-2x-3-0,则2^*-4x+1= 2. 2024广安 -ab中,单项式有_;多项式有__. (填序号) 知识精讲 13 对点演练 6.下列运算正确的是 A.a②+a②-a4 3.(2024长春)单项式-2a^②}b的次数是 B.(a+b)②-a2} C.3②-/②-3 4. 原创若单项式5ab^*}和单项式-7a”b”是同 D.3v2-2-3 类项,则n= ,n 7.(2024重庆A)计算;x(x-2y)+(x+)②} 考点3 整式的运算 例4(1)(2024湖北)计算2x·3x*的结果是 ( __ A.52} B. 6x2 1给5数 C.53 D. 6x3 (2)计算:(m-n)?·(n-m)3 例5 (2024河北)下列运算正确的是 A.a?-a3-a B.3a②·2a?-6a} C.(-2a)3--8a3 D.a-a-a 例6 (2024德阳)若一个多项式加上十3xy 4.结果是3xv十2v*一5,则这个多项式 考点4 因式分解 为 例8(1)(2024广西)如果a十b=3,ab=1,那么 [思路分析]本题考查整式的加减运算,根据 _ a3b+2a{}+ab的值为 ) 题意列出式子:(3xy+2-)-(+3xy-4) A.0 B.1 再去括号合并同类项即可 C.4 D.9 例(2024长沙)先化简,再求值:2m-m(m-2)十 (2)(2024盐城)分解因式;x*+2x+1= (m+3)(m-3),其中m- 1o{ 归纳总结利用公式法分解因式,熟记完全平方 公式的结构是解题的关键:(1)三项式;(2)其中 两项能化为两个数(整式)平方和的形式;(3)另 一项为这两个数(整式)的积的2倍(或积的2倍 的相反数). 对点演练 8.(2024杨州)分解因式;2a?-4a十2- 对点演练 9.(2024感海)因式分解:(x十2)(x十4)+1= 5.(2024贵州)计算2a十3a的结果正确的是 _ _~ 10.(2024凉山)已知^{}--12,且a-b--2 A.5a B. 6a 则a十b- C.5a2} D. 6a2} 友情提示 请完成分层特训P;第2讲 14 指点中考数学考点素养精讲 7.解：(1)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b. 【例1】B【例2】D【例3】A【例4】B (2)原式=(4x)2-2·4x·3y+(3y)2=16x2 【例5】D【例6】0（答案不唯一）【例7】B 24xy+9y2. 【例8】解：原式=一3+3+4一1=3. 【知识梳理】1.(1)和不变(3)①相同 对点演练 a十b十c②相反a-b-c 1.D2.C3.C4.C5.A6.A 2.(1)am+" (2)am-#(3)a"m (4)am心b 7.解：原式=2+1-4=-1. 3.(1)相乘 指数(2)相加ma十b 8.解：原式=-3+5-1一6=-5 (3)相加ac+ad+bc+bd 第2讲 整式与因式分解 (4)①a2-62②a2±2ab+ 4.(1)因式指数(2)相加 基础知识梳理 5.乘方乘除加减 知识点1 知识点4 【教材引入】 【教材引入】 1.(1)(t+5)℃ (2)(3.x-3y)千米 8.解：(1)①原式=(5x)-(4y) (3)(50-5.x)元(4)π(R2-r2)acm =(5x+4y)(5.x-4y). 2.V=(2a2-r产)h=3.45cm ②原式=(a一b)[(x-y)+(x+y)]=(a-b)· 知识点2 2x=2x(a-b). ③原式=(a-2b)2. 【教材引入】 3.解：如表所示 ④原式=[2+3(x-y)]=(2+3.x-3y) (2)①原式=(x+2)(x+5). 单项式 系数 次数 多项式 项 次数 ②原式=(x-4)(x十2). 3 x2+y2-1 x2,y2,-1 2 【知识梳理】1.整式的积 m 3x2-y+ 3x2,-y 2.(1)m(a+b+c)(2)(a+b)(a-b) (a士b)2 7 7 3xy2+x-1 3xy°，x,一1 3.(1)提取公因式(2)平方差公式完全平方 x 1 公式十字相乘法(3)彻底 32 32 3 2.x-y 2x,-y 考点素养精讲 【知识梳理】 1.(1)积 数 字母 (2)数字 【例1】4【例2】五，四，1，-1 因数(3)字母指数 【例3】(1)m(答案不唯一)(2)①③②④ 2.(1)和 (2)单项式 (3)最高项 【例4】(1)D(2)-(m-n)5(或(n-m)5) 3.单项式 多项式 【例5】C【例6】y2-1 4.①字母 ②指数 【例7】解：原式=2m一m2+2m十m2一9=4m- 知识点3 【教材引入】 9,当m=2时，原式=4×号-9=1. 4.解：(1)原式=5a+4c+7b+5c-3b-6a=(5a 【例8】(1)D (2)(x+1)2 6a)+(4c+5c)+(7b-3b)=-a十9c+4b. 对点演练 (2)原式=8xy-x2+y2-x2+y2-8.xy= 1.C2.73.34.135.A6.D (8.xy-8xy)+(-x2-x2)+(y2+y2)= 7.解：原式=2-2xy十x2+2xy十y=2x2+y. -2x2+2y2. 8.2(a-1)29.(.x+3)210.-6 5.解：原式=-x2+5十4x+5x-4十2x2=x2+ 9x+1,当x=-2时，原式=4-18+1=-13. 第3讲 分式及其运算 6.解：(1)原式=-16ab. 基础知识梳理 (2)原式=4.x2y·(-x3y)=-4x5y2. 知识点1 (3)原式=20y-4y-5+y=-4y+21y-5. 【教材引入】 (4)原式=-18a3+6a2+4a. 1.(1)x≠0 (4)x≠土4 (5)原式=一4.x (2)x≠3(3)x≠-号 (6)原式=-3.x2+4x. 2.(1)x=1 (2)b=5a且b≠-a ·2·