第2单元 方程(组)与不等式(组) 单元整合方案-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

单元整合方案 知识体系构建 分母中含有未知数的 定义 如果a=b. 方程叫做分式方程 等式的性质 那么a±c=b±e 去分母（化分为整） 解分式 分式方程 ac=be,号=色(c≠0) 解整式方程，检验 方程 及应用 分式方 一元一次 解一元一 行程问题，工程问题。 去分母，去括号，移项 销售问题 程的应 方程（组 次方程 合并同类项。化系数为川 及应用 解一元 第 1.只含一个未知数 次方程组 代入消元法，加减清元法 2.未知数的最高次是2次 元二次 3.是整式方程 方程的定义 一元一次 购买问题。销售问题 方程（组 x'+r+r=0(a≠0 一般形式 工程问题，行程问题 部 方程（组与 的应用 直接开平方法。配方 不等式（组】 分 元一次 用不等号连接起米 法，公式法，因式分 解一元 不等式的 的式子叫不等式 解法求根公式：x 定义 次方程 -b±N-4ac 如果a>b.那么a±c>b±c 司 (b2-4ac≥0 元二次 如果a>b,c>0,那 代 3=b-4ac 方程及应 不等式 的性质 么ae>be,是>是 若4>0.则方程有两 用 如果a>b,c<0,那 个不相等的实数根： 根的判 若4=0，则方程有两 别式 么ar<bc,是< 一元一次 个相等的实数根： 不等式 解一元一 去分母，去括号，移项. 若1<0，则方程没有 (组)及 次不等式 合并同类项。化系数为川 实数根 应用 若ax+bx+e=0(a≠0)的 解一元 根与系数 一次不 先分别求每一个不等式 两根为，，则有x,+ 等式组 的解，再求其公共解集 的关系 合，号 元一次不 式（组】 应用于含不等 增长（下降）率问题 一元二次 的应用 关系的应用题 传播问题.面积问题 方程的 销售问题。赛制问题 应用 易错点1 忽略一元二次方程中a≠0 [易错分析]易忽略一元二次方程定义中的二 这一条件 次项系数不为0，而导致错选 [正确答案] 例1下列方程是关于x的一元二次方程的是 例2已知x=0是关于x的一元二次方程(m ( 1)x2+mx十4m2一4=0的一个根，那么m的 A.ax2+bx+c=0 值是 () B.(m2+1)x2+mx+m=0 A.1 B.0 C.-1 D.士1 [易错答案]D C.(m+1)x2+mx+m=0 [易错分析]求出m的值后，忽略了二次项系 D.x2+bx+c=(x+1)(x-1) 数m一1≠0这个条件. [易错答案]A [正确答案] 知识精讲 41 易错点2解一元二次方程时错用等 丁)分式方程没验根；(3)（小迪）去分母时漏 式的性质 乘了不含分母的项.以上错误是解分式方程 例3解方程：x(x一7)=5(7-x). 最容易出错的3个点. [正确答案] [易错答案]方程两边同除以(x一7)得x=一5. [易错分析]直接方程两边同时除以(x一7)， 未考虑因式x一7=0的情况，而得到错误答 案x=-5. [正确答案] 第 E方程2红=号结去分母后，正确的是 部 分 数 A.2x=2-(4x+1) B2x=3-(4x-1) 代 易错点3解分式方程时去分母未变 C.12x=2-4x+1 D.12x=2-4x-1 号或漏项或未检验 [易错答案]A或B或C [易错分析]A,B项漏乘分母，C项去分母后 例4小丁和小迪分别解方程工，一二3=1. x-22-x 分子未作为整体加括号. 过程如下： [正确答案] 小丁： 易错点4含参一元二次方程求参数 解：去分母，得x一(x一3)=x一2， 值时未考虑△>≥0的条件 去括号，得x一x十3=x一2， 例6已知x=n是关于x的一元二次方程 合并同类项，得3=x一2， mx2一4x一5=0的一个根，且mm2-4n十m= 解得x=5, 3十m,求m的值. ∴.原方程的解是x=5 [易错答案]解：将x=n代入方程得一4n 小迪： 5=0,∴.mn2-4n=5. 解：去分母，得x十(x一3)=1， ,mn2-4n十m=3+m2, 去括号，得x十x一3=1， ∴.5十m=3十m2,即m2-m-2=0, 合并同类项，得2x-3=1, .m=2或m=-1. 解得x=2, [易错分析]计算m的值时，没有考虑△≥0 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解 这个条件 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正 [正确答案] 确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打 “×”,并写出你的解答过程. [易错分析](1)（小丁）在去分母时，没注意到 x一2与2一x互为相反数，没变号；(2)（小 42 指点中考数学 例7已知方程2x2十kx十1一2k=0的两根分 虑了增根这种情况，而漏掉整式方程无解的 别是1，x2,且x十x= 9,则k的值为 情况。 [正确答案] ( 易错点7求参数范围时易忽略相等情 A.3 B.-11 况以及多情况考虑不全面 C.-3 D.3或-11 x>m一1， [易错答案]D 例10若关于x的不等式组 恰好有 x<1 [易错分析]利用根与系数的关系求出值 三个整数解，则m的取值范围是 后，没考虑k值是否满足△>0这个条件. A.-2≤x<-1 B.-2<x≤-1 [正确答案] 第 C.-2≤x≤-1 D.-2<x<-1 易错点5方程类型不清楚时，忽略分 [易错答案]A或C或D 部 类讨论 [易错分析]求临界值m一1的取值时要注意 分 例8已知：关于x的方程a.x2-2x十2一a=0. 不等式是x≥一1还是x>m一1，再结合数 数 求证：不论a为何值，方程总有实数根 轴就比较容易理解。 代 [易错答案]证明：，△=4-4a(2-a)=4(a [正确答案] 1)2≥0，∴.不论a为何值，此方程有实数根 3x-2>2(x-3), [易错分析]题目中说的是关于x的方程，不 例11若关于x的不等式组 的 x-1<a-2 确定是一次方程，还是二次方程，所以要分类 所有整数解的和是一5，求a的取值范围. 讨论，解答时，易忽略分类讨论. [易错答案]解：解不等式组得一4<x<a一1， [正确答案] ∴.-2<a-1≤-1，.-1<a≤0 [易错分析]漏掉当a一1为正数时的另一种 情况. [正确答案] 易错点6分式方程的无解与增根问 题忽略分类讨论 0若关于x的方程“2=1一2无解，则 k的值为 [易错答案]3 [易错分析]方程去分母后得到(k一1)x=4 后，没有分情况讨论k一1的值是否为0，只考 配友情提示请完成分层特训P,单元综合测试 知识精讲 43答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣 检验：将x=1代入x一2中可得1一2=一1≠0， 作品的单价为200元. 则x=1是分式方程的解， (2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种 故原分式方程的解是x=1. 湘绣作品(200一m)件， 【例5】D 根据题意得300m十200(200一m)≤50000， 【例6】解：将x=n代入方程得mn2-4n一5=0， 解得m≤100，∴.m的最大值为100. .mn2-4n=5. 答：最多能购买100件A种湘绣作品. ,mm2-4n十m=3+m2,.5十m=3十m2, 对点演练 即m2-m-2=0,∴.m=2或m=-1. 1.C2.C3.x<1 ,△=b-4ac=16+20m≥0， 4.解：x>一3，不等式的解集在数轴上表示如下： ∴m≥- ∴m=2, -3 0 5.解：(1)x≤1. 【例7】A (2)x≥-3. 【例8】证明：①当a=0时，方程为一2x+2=0, (3)在数轴上表示如下： 解得x=1:②当a≠0时，△=4一4a(2一a)= 4(a-1)2≥0. 4}2102 综上，不论a为何值，此方程有实数根. (4)-3≤x≤1. 【例9】1或3【例10】B 6.16 【例11】解：解不等式组得-4<x<a-1. 7.解：由题意得 -3<4x-7①， ①当a-1<0时，如图， 14x-7≤≤9②， 解不等式①得x>1,解不等式②得x≤4， .该不等式组的解集为1<x≤4， ∴.-2<a-1≤-1， .整数解为2,3,4. .-1<a≤0. 8.解：(1)设A,B两种商品每件进价各为x元， ②当a一1>0时，如图， y元，由题意得 3x一4y=60,解得x=0” -4-3-2-寸012 5.x+2y=620, .1<a-1≤2，∴.2a≤3. 答：A,B两种商品每件进价各为100元，60元 综上所述，a的取值范围为一1<a≤0或2< (2)设购进A商品的件数为m件，则购进B a≤3. 商品的件数为(60一m)件，由题意得， 第三单元函数 (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770， 60-m≥2m, 第9讲平面直角坐标系及函数 解得19≤m≤20， 基础知识梳理 m为整数，∴m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件. 知识点1 【教材引入】 单元整合方案 1.解：平面直角坐标系如下图，A(一2,3)，D(6, 【例1】B【例2】C 1),E(5,3),F(3,2),G(1,5).点A在第二象 【例3】解：方程可化为x(x一7)十5(x一7)=0， 限，其余各点都在第一象限。 即(x-7)(x十5)=0，即x一7=0或x+5= 0,解得x1=一5，x2=7. 【例4】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步 骤如下： x-x-3=1, x-22-x -3-2-10 23456 去分母得x十x一3=x一2， 移项，合并同类项得x=1 2.解：平面直角坐标系如图所示，点C的纵坐标是4. 9