第1讲 实数及其运算-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第一部分 数与代数 第一单元 数与式 第1讲实数及其运算 课标与考情 课标要求 考情分析 第 1理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的 在2022版新课程标准的 大小 部 2借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法 指导下，2024年湖北中考数 3理解乘方的意义掌握有理数的加、诚，乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内 学试题严格按照学业要求， 分 为主)：理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简 考查了正负数的意义，有理 单问题。 数的大小比较，以及一个数 4.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应 的算术平方根、零指数幂、 5.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小， 实数的混合运算，考查学生 与代数 6能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 7,了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根 的运算能力：涉及本讲内容 立方根 的有三个题共12分，占总分 8.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方 的10%，分布在选择题第一 运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立 题（雄度0.94）、填空题第 方根： 9,了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按间题的要求进行简单 一题（难度0.94）和解答题 的近似计算，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）， 第一题（难度0.85） 知 识梳 理 知识点1 实数的相关概念及分类 2.(人教七上教材P14T4)写出下列各数的相反 数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上 》教材引入 表示出来： 1.(人教七上教材P5T2)某蓄水池的标准水位记 -4,+2,-1.5,0,3,-4 1_9 为0m,如果用正数表示水面高于标准水位 的高度，那么 (1)0.08m和-0.2m各表示什么？ 3.(人教七下最材P61T3求下列各式的值： (2)水面低于标准水位0.1m和高于标准水 位0.23m各怎样表示？ -√： (2)一1： (3)√0.16； (4)90.027. 知识精讲 5 》知识梳理 a的相反数是 ,0的相反数是 相反数是它本身的数是 1.正数和负数 性质：①若a,b互为相反数，则 (1)正数、负数的相关意义 ②在数轴上，表示互为相反数（不为0）的两个 大于0的数叫做 :在正数前加上符 数的点在原点 ,且到原点的距离 号“一”（负）的数叫做 ;有时，为了明 确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号. (3)绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的 既不是正数，也不是负数 叫做数a的绝对值，记作 (2)具有相反意义的量 绝对值是它本身的数是 第 一般地，对于具有相反意义的量，若把其中一 ,a>0, 种意义的量规定为正的，并在表示这个量的 部 代数意义：a ,a=0, 前面添加“十”；把与它意义相反的量规定为 分 ,a0. 负的，并在这个量前面添加“一” 数 (4)倒数： 的两个数互为倒数， 2 和 统称为有理数； 0 倒数，非零实数a的倒数为 代 叫做无理数；有理数和无理数统称为 数 3.实数的分类 倒数是它本身的数是 (1)按定义分 5.算术平方根、平方根、立方根的定义与性质 (1)算术平方根：如果一个正数x的 等于a(a≥0)，即x2=a,那么这个正数x叫 做a的算术平方根，记为 .算术平方 实数 根等于它本身的数是 (2)平方根：如果一个数的 等于 a(a>≥0)，那么这个数叫做a的平方根或二次 (2)按大小分 方根.这就是说，如果x2=a,那么x叫做a的 平方根，记作 性质：①正数的平方根有 个，它们互 实数 为 ;负数 平方根；0的平方 根是 4.数轴、相反数、绝对值、倒数 ②双重非负性：被开方数a 0 (1)数轴三要素： (3)立方根：如果一个数的 等于a(a≥ 数轴上的点与实数 ;示意图如图 0),那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 所示 这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方 原点 正方向 根，记作 -3-21012 单位长顶 性质：正数有 个立方根，且是正数；负 (2)相反数：只有 的两个数互 数有 个立方根，且是负数；0的立方根 为相反数，如一2的相反数是 ,实数 是 ,立方根等于本身的数是 6 指，点中考数学 知识点② 科学记数法 》知识梳理 >教材引入 1.数轴比较法：数轴上的两个数， 边的 4.(人教七上教材P45T3)中国的陆地面积约为 数总比 边的数大 9600000km2,领水面积约为370000km2, 2.法则比较法： > 用科学记数法表示上述两个数字， 两个负数，绝对值大的反而 3.作差比较法：(1)a一b>0台a b;(2)a b<0=→a b:(3)a-b=0台a b. 》知识梳理 4.作商比较法： 1.科学记数法 对于两个正数a,b, 第 (1)概念：把一个数表示成 的形式（其 号>1a b; 中1≤a<10,n是整数). 部 (2)n的确定：把原数变成a时，小数点移动 (2)号-1a b: 分 了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数 相同.当原数的绝对值≥10时，n是正整数； (3)8<1a b. 与代 当0<原数的绝对值<1时，n是负整数. 5.平方比较法：若a<0,b<0,a2>b曰 2.近似数：与准确数有差别，近似数与准确数的 若a>0,b>0,a2>6曰 接近程度，可以用精确度表示，根据精确度取 6.特殊值法：若0<a<1,比较a,】,a2,a的大 值时，原则是 知识点③ 实数的大小比较 小→可取a=是，则 知识点④ 2教材引入 实数的运算 5.(1)(人教七上教材P52T10)a,b是有理数，它 》教材引入 们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a, 6.(人教七上教材P51T5节选计算下列各式： 一a,b,一b按照从小到大的顺序排列，正确 (1)6+(-3)-2-(-1.5): 的是 A.-0<-a<a<6 (2)-66×4-(-2.5)÷(-0.1): B.-a<-b<a<b (3)(-2)2×5-(-2)3÷4: C.-0<a<-a<b (4)-(3-5)+32×(1-3) D.-6<6<-a<a (2)(人表七下表材P61T7)比较下列各组数的 大小： ①1-1.5|，1.5： ②1.414，W2； ③号，0.6667. 知识精讲 7 》知识梳理 偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0. 1.实数的运算 (6)开方：常见的开方有√4=2√8= (1)加法 √12= ,√20= ,√27= ①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值 相加； ,38=2,327=3,964=4. ②异号两数相加：绝对值相等时和为0：绝对 (7)零次幂：a°= (a≠0)； 值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并 (8)负整数指数幂：an (a≠0，n 用较大的绝对值 较小的绝对值； 为正整数) 第 ③一个数同 相加，仍得这个数， 2.实数的运算顺序 (2)减法：减去一个数，等于 这个数 (1)先 ,再 ,最后 部 的 (2)同级运算，从 到 进行： 分 (3)乘法：两数相乘，同号 ,异号 (3)如果有括号，先做括号内的运算，按小括 数 与 并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0. 号、中括号、大括号依次进行。 代 (4)除法：除以一个 的数等于乘这个 3.实数的运算律 数 数的 两数相除，同号得正，异号得 (1)加法交换律：a十b 负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于 (2)加法结合律：(a十b)十c= 0的数，都得0. (3)乘法交换律：ab= (5)乘方：a·a·a·…·a=a(其中a是底 (4)乘法结合律：(ab)c= n个 数，n是指数).负数的奇次幂是负数，负数的 (5)乘法分配律：a(b十c)= 考点1实数的相关概念 归纳总结●无理数常见的四种类型 例1(2024湖北)在实际生产生活中，经常用正 (1)根号型：如√反，5等开方开不尽的数， 数、负数表示具有相反意义的量.如果把收入 (2)带π型：圆周率π，或化简后含有π的数，如 20元记作+20元，那么支出10元记作 π十3，等。 ( (3)三角函数型：如sin60°，tan30°等. A.+10元 B.-10元 (4)构造型：如0.1010010001…（每相邻两个1 C.+20元 D.一20元 之间多一个0)等， 例2(2024福建)下列实数中，无理数是( 例3(2024江西)实数一5的相反数是( A.-3 B.0 A.5 B.-5 c号 D.√5 c 8 指点中考数学 例4(2024苏州)用数轴上的点表示下列各数， 《对点演练 其中与原点距离最近的是 ( 5.(2024重庆A)下列四个数中，最小的数是 A.-3 B.1 C.2 D.3 ( 《对点演练 A.-2 B.0 C.3 1.(2024杨州)实数2的倒数是 ( 6.(2024深圳)如图，实数a,b,c,d在数轴上表示 A.-2 B.2 c-2 D.2 如下，则最小的实数为 ( ) 2.(2024南充)如图，数轴上表示√2的点是( 0 。4 A.a B.6 C.c D.d 第 A.点A B.点BC.点C D.点D 考点4实数的运算 考点2科学记数法 例8(2024湖北)计算：(-1)×3+√9+22一 部 例5(2024盐城)盐城是江苏省第一产粮大市. 2024°. 分 2023年全市小麦总产量约2400000吨，数 据2400000用科学记数法表示为 () 与代数 A.0.24×10 B.24×105 C.2.4×10 D.2.4×105 对点演练 3.(2024江西)“长征是宣言书，长征是宜传队，长 征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上 《对点演练 的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000 7.(2024连云港计算：-2十（π一1）0-√16. 用科学记数法可表示为 A.0.25×10 B.2.5×10 C.2.5×104 D.25×10 4.(2024大庆)人体内一种细胞的直径约为1.56微 米，相当于0.00000156米，数字0.00000156 用科学记数法表示为 () A.1.56×10-3 B.0.156×10-3 8.(2024陕西改编)计算：一27+√25-（一7）°十 C.1.56×10-6 D.15.6×10 (-2)×3. 考点3实数的大小比较 例6(2024湖北)写一个大于-1的数是 例7(2024烟台改编)实数a,b,c在数轴上的位 置如图所示，下列结论正确的是 () A.b>c B.a<b C.al>cl D.-a<-b 密友情提示请完成分层特训卫，第1讲 知识精讲 92025版《指点中考·数学》 参考答亲 第一部分数与代数 (2)符号不同2一a00①a十b=0 第一单元 数与式 ②两侧相等 (3)距离|a 非负数a0一a 第1讲实数及其运算 基础知识梳理 (④乘积为1没有日 ±1 知识点1 5.(1)平方√a0,1 【教材引入】 (2)平方 士a①2相反数没有0②≥ 1.解：(1)0.08m表示高出标准水位0.08m, (3)立方 a1100,±1 一0.2m表示低于标准水位0.2m. 知识点2 (2)水面低于标准水位0.1m表示为一0.1m, 【教材引入】 水面高于标准水位0.23m表示为0.23m. 4.9.6×1053.7×10 2.解：一4的相反数为4，十2的相反数为一2， 【知识梳理】1.a×10” 2.四舍五入 一15的相反数为1.5,0的相反数为0，专的 知识点3 相反数为一，一号的相反数为是 【教材引入】 5.(1)C (2)①1-1.5|<1.5；②1.414<2； 9 -15301.5 9 ③号<0667 -5-4-32-101234 【知识梳理】1.右左2.正数0负数小 3.(1)- (2)-1(3)0.4(4)0.3 3.(1)> (2)<(3)=4.>= 【知识梳理】1.正数负数0 5.a<b ab 6.a<a<la<d 2.整数分数 无限不循环小数 实数 知识点4 正整数 【教材引入】 整数 有理数 负整数 6解：1)原式=6-号-2+1.5=53. 3.(1) 正分数 分数 (2)原式=-264-25=-289. 实数 负分数 (3)原式=4×5+8÷4=22. 正无理数 (4)原式=2+9×(-2)=-16. 无理数 负无理数 【知识梳理】1.(1)②减去③0(2)加上 正有理数 相反数(3)得正得负 (4)不为0倒数 正实数 正无理数 (2)实数 0 (62E2525351(8) 负有理数 2.(1)乘方乘除加减(2)左右 负实数 负无理数 3.(1)b+a(2)a+(b+c)(3)ba(4)a(bc) 4.(1)原点 正方向 单位长度 一一对应 (5)ab-ac 考点素养精讲 7.解：(1)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b. 【例1】B【例2】D【例3】A【例4】B (2)原式=(4x)2-2·4x·3y+(3y)2=16x2 【例5】D【例6】0（答案不唯一）【例7】B 24xy+9y2. 【例8】解：原式=-3+3+4-1=3. 【知识梳理】1.(1)和不变(3)①相同 对点演练 a十b十c②相反a-b-c 1.D2.C3.C4.C5.A6.A 2.(1)am+" (2)am-(3)am(4)a心b 7.解：原式=2+1-4=-1. 3.(1)相乘指数(2)相加ma十mb 8.解：原式=-3+5-1一6=-5. (3)相加ac+ad+bc+bd 第2讲 整式与因式分解 (4)①a2-62②a2±2ab+b 4.(1)因式指数(2)相加 基础知识梳理 5.乘方乘除加减 知识点1 知识点4 【教材引入】 【教材引入】 1.(1)(t+5)℃ (2)(3.x-3y)千米 8.解：(1)①原式=(5x)2-(4y)2 (3)(50-5x)元(4)π(R2-r2)acm =(5.x+4y)(5.x-4y). 2V=(合02-rh=3.45m ②原式=(a-b)[(x-y)+(x+y)]=(a-b)· 知识点2 2x=2x(a-b). 【教材引入】 ③原式=(a-2b)2. 3.解：如表所示 ④原式=[2+3(x-y)]2=(2+3x-3y)2. (2)①原式=(x+十2)(x+5). 单项式 系数 次数 多项式 项 次数 ②原式=(x一4)(x+2). 3 x2+y2-1 x,y,-1 2 【知识梳理】1.整式的积 m'n 2.(1)m(a+b+c)(2)(a+b)(a-b) (a士b)2 6 7 7 3x2-y+ 3.x2,-y 3.xy+x-1 3xy,x,一 3.(1)提取公因式(2)平方差公式完全平方 1 1 公式十字相乘法(3)彻底 32 32 3 2x-y 2x,一y 考点素养精讲 【知识梳理】 1.(1)积 数 字母 (2)数字 【例1】4【例2】五，四，1，-1 因数 (3)字母指数 【例3】(1)m(答案不唯一)(2)①③②④ 2.(1)和(2)单项式 (3)最高项 【例4】(1)D(2)-(m-n)5(或(n-m)F) 3.单项式 多项式 【例5】C【例6】y2-1 4.①字母 ②指数 【例7】解：原式=2m-m2+2m+2-9=4m 知识点3 【教材引入】 9,当m=时.原式=4×号-9=1. 4.解：(1)原式=5a+4c+7b+5c-3b-6a=(5a- 【例8】(1)D (2)(x+1)3 6a)+(4c+5c)+(7b-3b)=-a+9c+4b. 对点演练 (2)原式=8.xy-x2+y2-x2+y2-8xy= 1.C2.7 3.34.135.A6.D (8xy-8xy)+(-x2-x2)+(y2+y2)= 7.解：原式=x2-2xy十x+2xy十y2=2x2+y -2x2+2y2. 8.2(a-1)29.(.x+3)2 10.-6 5.解：原式=-x2+5+4x+5.x-4+2x2=x2+ 9x+1,当x=-2时，原式=4-18+1=-13. 第3讲 分式及其运算 6.解：(1)原式=-16ab. 基础知识梳理 (2)原式=4x2y·(-x3y)=-4xy. 知识点1 (3)原式=20y-4y-5+y=-4y2+21y-5. 【教材引入】 (4)原式=-18a3+6a2+4a. 1.(1)x≠0 (5)原式=一4x. (2)x≠3 (4)x≠士4 (6)原式=一3.x2+4x. 2.(1)x=1 (2)b=5a且b≠-a ·2·