2025年中考数学专题复习：瓜豆原理之主从联动系列

主从联动系列 1 .如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(        )     A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 无解析 2 .如图，线段，为的中点，动点到点的距离是，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ∴ ，，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴ ， ∴， 故线段长度的最大值为 3 .矩形中，，．如图，分别以点，为圆心，以和为半径作弧，两弧交于点，连接，则的最大值为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 无解析 4 .如图，线段为⊙的直径，点在的延长线上，，，点是⊙上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图，作，使得，， 则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （定长） ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的⊙上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, 即 （定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的⊙上， ∵ ， ∴的最大值为． 故选． 5 .如图，点，半径为，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图，连接交于，连接， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小， 此时的最小值， 故选． 6 .如图，在矩形中，， ，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图，连接，取的中点， 将绕点逆时针旋转得到，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 当点在线段上运动时，则点在线段上运动， ∴当且仅当时，线段取得最小值， 设交于点， 在中，，， ，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 故线段的最小值为． 故选． 如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴≌（）， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵，， ∴点在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为 ， 故答案为： ． 故选． 7 .如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作⊙，为⊙上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选． 8 .如图，已知正方形的边长为，以点为圆心，为半径作圆，是上的任意一点，将点绕点按逆时针方向旋转，得到点，连接，则的最大值是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图， 连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转知，，， ∴， ∴≌， ∴， ∴点的轨迹是以点为圆心，半径为圆， ∴点在的延长线上时，最大； 如图，过点作，交于点，此时旋转后最大， ∵是边长为的正方形的对角线， ∴ ∴， 即的最大值是， 故选． 9 .如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点， ，点为线段的中点，连接，则的最大值为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 解：如图， ∵点为坐标平面内一点，， ∴在上，且半径为， 取，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴ ， 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ∵，， ∴ ， ∴ ∴ ，即的最大值为 10 .如图，在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是的中点，则的最小值是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 无解析 11 .如图，正方形的边长为，点，分别是边，上的动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为           ． 【答案】 【解析】 如图，过点作于，过点作于，于， ∵四边形是正方形， ∴，， 且，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴，，，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 且， ∴， 且，， ∴≌（）， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴，有最小值为． 12 .如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过点作，连接，则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 如图，作于点，连接并延长，交于点，作于点． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴定值， ∴点在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴≌， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 13 .如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为           ． 【答案】 +1 【解析】 无解析 14 .如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为                     ．     【答案】 【解析】 无解析 15 .如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为            【答案】 【解析】 解：如图，以为直角边点为直角顶点作等腰直角三角形，连接， ∴，， ∴ 在中，，， ∴， ∴≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ， ∴的最大值为 故答案为： ． 16 .已知：中，，，以为边向下作矩形，对角线与相交于点，且，连接，则最大值为           ． 【答案】 【解析】 无解析 17 .如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点．当线段的长最小时，           ． 【答案】 【解析】 如图所示，连接、、、，过点作于点， ∵四边形，四边形均为正方形， ∴，， ，，， ∴． 又， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的圆， ∴当点、、三点共线时长取得最小值， 此时，． ∵点为中点， ∴， ． ∵，， ∴为等腰直角三角形， 则， ∴， ∴． 又， ∴． 故． 18 .如图，已知正方形的边长为，以点为圆心，为半径作圆，是上的任意一点，将线段绕点顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是            【答案】 【解析】 解：如图，取的中点，连接，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴ . ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 19 .如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的一动点，将 沿着 折叠得到 ，连接 ，点 为 上的点，且 ，则的最小值为                     ． 【答案】 【解析】 无解析 20 .如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为           ． 【答案】 【解析】 无解析 21 .在中，，，，是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为            【答案】 【解析】 解：取的中点，连接、、． 在直角中， . ∵是直角斜边上的中点， ∴. ∵是的中点，是的中点， ∴. ∵， 即． ∴最大值为， 故答案为：． 22 .如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接．则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 如图，过点作轴，垂足为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴设， 则， ∴， ∴当时，取最小值为， ∴最小值为，此时， ∴故答案为：． 23 .如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为           ． 【答案】 / 【解析】 无解析 24 .如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 当与点重合时，点与等边三角形点重合， 绕点顺时针方向旋转得到， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ≌， ，， 点在线段上运动，根据垂线段最短原理，当时，有最小值，如图，当旋转到时，，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 25 .如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为           ． 【答案】 【解析】 无解析 26 .如图，在中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则长的最小值为           ． 【答案】 <ab> / </ab> 【解析】 无解析 27 .如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接．则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 如图，取的中点，连接，，，延长交于，作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， 在中， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 28 .如图，边长为的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为           ． 【答案】 【解析】 取中点，连，取中点，连，作于，连， 则， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， 作于， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 29 .如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点，使，则长的取值范围为           ． 【答案】 【解析】 无解析 30 .如图，在等边中，，，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点．当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当 最小时，直接写出的面积． 【答案】 见解析 【解析】 解：以为顶点，为一边，作，交于点，过点作于点，设交于点，如图， 中， ， ∴ 最小即最小，此时、、共线， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴在射线上运动，则点在上运动，根据“瓜豆原理”，为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵等边中，，， ∴， 又∵， ∴等边中，，点为的中点，点为中点， ∴ ，， 中， ，， ∴ ， 中，， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 主从联动系列 1 .如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )     A. B. C. D. 2 .如图，线段，为的中点，动点到点的距离是，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（   ）． A. B. C. D. 3 .矩形中，，．如图，分别以点，为圆心，以和为半径作弧，两弧交于点，连接，则的最大值为（        ） A. B. C. D. 4 .如图，线段为⊙的直径，点在的延长线上，，，点是⊙上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（   ）． A. B. C. D. 5 .如图，点，半径为，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是（   ）． A. B. C. D. 6 .如图，在矩形中，， ，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（   ）． A. B. C. D. 7 .如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作⊙，为⊙上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（   ）． A. B. C. D. 8 .如图，已知正方形的边长为，以点为圆心，为半径作圆，是上的任意一点，将点绕点按逆时针方向旋转，得到点，连接，则的最大值是（   ）． A. B. C. D. 9 .如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点， ，点为线段的中点，连接，则的最大值为（   ）． A. B. C. D. 10 .如图，在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是的中点，则的最小值是（   ）． A. B. C. D. 11 .如图，正方形的边长为，点，分别是边，上的动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为            ． 12 .如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过点作，连接，则的最小值为            ． 13 .如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为            ． 14 .如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为                      ．     15 .如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为            16 .已知：中，，，以为边向下作矩形，对角线与相交于点，且，连接，则最大值为            ． 17 .如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点．当线段的长最小时，            ． 18 .如图，已知正方形的边长为，以点为圆心，为半径作圆，是上的任意一点，将线段绕点顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是            19 .如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的一动点，将 沿着 折叠得到 ，连接 ，点 为 上的点，且 ，则的最小值为                      ． 20 .如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为            ． 21 .在中，，，，是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为            22 .如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接．则的最小值为            ． 23 .如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为            ． 24 .如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为            ． 25 .如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为            ． 26 .如图，在中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则长的最小值为            ． 27 .如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接．则的最小值为            ． 28 .如图，边长为的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为            ． 29 .如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点，使，则长的取值范围为            ． 30 .如图，在等边中，，，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点．当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当 最小时，直接写出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$