云南省会泽县茚旺高级中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

6已知幂函数八x)=(--1)x‘在区间(0。+x)上单递减，期函数g(x》=6-1 会泽县茚旺高级中学2025年春季学期高一年级期中考试 (6>1)的图象过定点 A(1.0 B.(1,-1) 数学试题卷 C.(-2,0) D.(-2.-1) 7.“<3”是“向量={k,1》与向量6=(2。-)的夹角为钝角”的 本试卷分第【卷（选择题》和第Ⅱ卷（非选择题）两部分：第1卷第1页至第2菊， A.充要条件 B充分不必要条件 第Ⅱ卷第3面至第4页，考优体桌后，请济本成卷和答题于一并交四满分150分，考试 C,必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 月时120分钟 8已知丙数Rx)=-2+1|+至少有一个零点，则实数#的取催范周为 4(-。-1」 B(-%,1] 第1卷（选择题，共58分） c.[-1,] D[1.+) 注意事项： 二、多项选择题（本大题共3小避，每个小避6分。共8分.在每小圈给出的选项中， 1,答题前，考生务必用黑色碗素笔济白已的姓名、准考任号，警场号，座任号在答 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 通卡上填写清楚。 2,年小题选出答案后，用2部错笔把幕题卡上对应题的答業标号涂黑。如需武动， 头已知复数：满足 -1 =1-23。则 网惊皮整干净后，再选涂其他答常标号·在试题卷上作答无数 A:的虚部为-1 B,:为纯星数 一、单项选择题（木大题共8小题，每个小题5分，共0分.在每小题给出的选项中， C.x2=2 D.:和z是方程r2-2x+2=0的两个根 只有一项是符合题目要求的) 0下列说法正确的是 1.已知集合A={-2,1,2,3,41,B=0,1,2,4,则A门B的真子集个数是 A已知扇形的团心角为2范度，面积为1，则扇形的弧长等于4 A.3 队4 C.7 D.8 已知函数(3-1》的定义域为[-一1.1门，则函数尺x)的定文械为[-4,2] 2.设i是虚数单位，若(【-)=1，则z= C若函数R医+1=x+2,圳x》=x2-1(x后R) A.1 队2 C.2 0.2i D两数y=2一在-x,1)上单调通增，则a的取值范用是[2，+x) 或在△6C中，角B,C所对的边分别是点，.若5=5C=45.c,则B 1八井是中同文化的基本哲学版念，如图2甲是八并慎型图，其平面图形记为图乙中 的正八边形ABCDEFGH,其中D1=2,划下列结论中正确的是 第于 君 数司 4下列各组函数表示相同函数的是 A.八}=和g(x)=(F) B.x)=1和x= 6x=程g)=,≥0 甲 -.xc0 n.几41和g). -1 5.如图1，已知直角梯形04BC上下两底分州为2和4，高为22，则 利用斜二测衡法所得其直观图的面积为 A0i,0龙.-② A.3 R0i+0元-√20示 B.32 66 C在亦上的授影向量为二成 D.62 D若点P为正人边形边上的一个动点，期P·A店的最大值为4 局散学9，第1耳（共+） 高一数学1%：第2风《共4页 第Ⅱ卷（非选择题，共2分》 17.(本小题满分15分) 注意事项： 已知雨数x}=inteong+5aw 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区城内作答，在议随客上作答无数 (1)求八x)的最小正周期与对称中心的坐标： 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） (2)若R=0,求4p的值 12已知关于￥的不等式：2-6：+专+8≥0对任意xeR恒成立，用的取值范 用是 13记△ABC的内角4，B,C的对边分别为e,6,若6=4，r=6,A=气，则△AC 外接圆的面积为」 14半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边 18.《本小题满分17分】 形为面的多面体，体理了数学的对称美.如图3，将正方体沿交于 一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可彼去人个三核 在△ABC中，清足：A丽⊥A记，M是C的中点， 锥，得到一个有十四个而的半正多面体，它们的棱长都相等，其 (1)若1丽1=AC1=m(m>0),求向量3丽-C与向量-3AC的夹角0的余弦值： 中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面休为二十 (2)若0是线段AM上任意一点，且AB1=A花引-22，求0瓜·0丽+0心·0的最 四等边体，一个二十四等边体的各个溪点都在利一个球面上，若该 小值： 球的表面积为16π，期该二十四等边体的表面积为 (3)若点P是∠4内一点，且1A正=2，A·店=1，A正·A记=1，求 四、解答（木题共5小题，共77分.解容碗写出文字说明、正明过程或演算步） 1A+C+P的最小值 15(本小请分3分) 化简或计算下列各式 （I(-3y21t-(m-10y+2e25+e2-3g (2) 19.《本小遮满分17分) inla-sa店 对干函数了《x),(),(x)。如果存在实数，b快得()=(x)+(x),那么 称(x)为(x),(x)的生成函数 （D若a=m,=m.(=叫引》.则()是否为)，)的 生成函数？并说明理由： 16(本小想满分5分)】 如图4，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，S是B,D,的中点。E,F,G分别是BC,DC. 《2》设f(x)=g,(x)=吧，=2,6=1，生成函数(x),若不等式(4虹)+ SC的中点，求证： h(2#)c0在e[2,4上有解，求实数：的取值范调： (I)EG∥平面DD,B,； (3)设(x-x(>0.x)-(>0),取>0,0.生成函数()图象的最低 (2)平面BFG∥平面BD,B 点坐标为(2,8)，若对于任意正实数x,与且：+与=1，试阿是否存在最大的常数 m,使(x,)()≥件国成立？如果存在.求出这个m的值：如果不存在。请说明 理由 局散学9，第3耳（共+） 高一数学1%：第4风《无4页1高一数学 YW 参考答案·第 1 页（共 7 页） 会泽县茚旺高级中学 2025年春季学期高一年级期中考试 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 58 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C A A C B 【解析】 1．因为集合 { 2 1 2 3 4}A  ，，，， ， {0 1 2 4}B  ，，， ，则 {1 2 4}A B  ，， ，则集合 A B 的元 素个数为3，所以， A B 的真子集个数是 32 1 7  ，故选 C． 2．由 i(1 ) 1z  ，得 1 iz   ，故 2 2| | 1 1 2z    ，故选 B． 3．由正弦定理 6 12 sin 2 2 B  ，可得 3 sin 2 B  ，又 b c ，所以 π 4 B       π ， ，可得 3 B  π 或 2 3 π ，故选 D． 4．对于 A，函数 2( )f x x 的定义域为 R ，函数 2( ) ( )g x x 的定义域为 [0 )， ，两个函 数的定义域不同，所以表示不同的函数，故 A 错误；对于 B，函数 ( ) 1f x  的定义域为 R ，函数 0( )g x x 的定义域为{ | 0}x x  ，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函 数，故 B 错误；对于 C，函数 0 ( ) | | 0 x x f x x x x       ，≥ ， 与 0 ( ) 0 x x g x x x      ，≥ ， 的定义域和对应 法则都相同，所以表示相同的函数, 故 C 正确；对于 D，函数 ( ) 1f x x  的定义域为 R ，函数 2 1 ( ) 1 x g x x    的定义域为{ | 1}x x  ，两个函数的定义 域不同，所以表示不同的函数，故 D 错误，故选 C． 5．如图 1，根据斜二测画法可知，y 轴上的 OC，在新坐标系中在 y′ 轴上，且 1 2 2 OC OC   ，作 C′D⊥x 轴于 D，则 1C D  ．又 图 1 高一数学 YW 参考答案·第 2 页（共 7 页） 1 (2 4) 1 3 2 OC B AC B CB C B CB S          ， ∥ ，∴ ，故选 A． 6．因为幂函数 2( )) ( 1 af a a xx    在区间 (0 )， 上单调递减，则 2 1 1 0 a a a       ， ， 解得 1a   ，所以， 1( ) 1( 1)xg x b b   ，则 0(1) 1 0g b   ，即函数 ( )g x 的图象过定点 (1 0)， ，故选 A． 7．若 a 与b 的夹角为钝角，则 0a b  且 a 与b 不共线，可得 2 6 0 1 3 k k        ， ， 解得 3k  且 1 3 k   ，所以“ 3k  ”是“ a 与b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选 C． 8．令 ( ) 0f x  ，即 2 2 | 1| 0x x x a     ，可得 2 2 | 1|x x a x     ， 令 2( ) 2g x x x a   ， ( ) | 1|x x    ，原题意等价于曲线 ( )g x 与 ( )x 至少有一个交点，如图 2，注意到 ( )g x 与 ( )x 的对称轴均为 1x  ，可得 (1) (1)g ≤ ，即 1 0a  ≤ ，即 1a≤ ，∴ ( 1]a ， ，故 选 B． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 项是符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 题号 9 10 11 答案 ACD BD BCD 【解析】 9．由题可得： 1 (1 2i)( 1) 1 2i 2iz z z z        ，故 2 2 2i 2 2i 2i 2 2i 1 i 2i 2i 2 z           ，所 以 1 iz   ，故 A 正确，B 错误； 2(1 i)(1 i) 1 i 2zz       ，故 C 正确；因为 2 2 2 0x x   ， 2( 1) 1x   ，所以 1 i 1 ix x    ， ，故 D 正确，故选 ACD． 10．对于 A，由 2 1 1 2 2 S r   22 1r  ，解得 1r  ，所以扇形的弧长 2l r  ，故 A 错误； 对于 B，由 [ 1 1]x  ， ，得3 1 [ 4 2]x    ， ，所以 ( )f x 的定义域为[ 4 2] ， ，故 B 正确；对 于 C，由 ( 1) 2f x x x   ，令 1 [1 )t x t   ， ， ，则 2( ) 1 [1 )f t t t   ， ， ， 图 2 高一数学 YW 参考答案·第 3 页（共 7 页） 2( ) 1 [1 )f x x x   ， ， ，故 C 错误；对于 D，因为 2xy  在定义域R 内单调递增，由 题意可得： 2y x ax   在 ( 1)， 上单调递增，则 1 2 a ≥ ，解得 2a≥ ，所以 a 的取值范围 是[2 )， ，故 D 正确，故选 BD． 11．由题意可知，正八边形每条边所对的角都是 45，中心O到各顶点的距离为 2，对于 A， | || | cos 2 2 cos135 2 2OB OE OB OE BOE         ，故 A 错误；对于 B， 90AOC   ，则以 OA OC， 为邻边的正方形对角线长是 | |OA 的 2 倍，可得 2 2OA OC OB OF    ，故 B 正确；对于 C， OA 在 OB 上的投影向量为 2 2 2cos45 2 4 2| | OA OB OB OB OB OB     ，故 C 正确；对于 D， 设 AP AB， 的夹角为  ，则 | || | cosAP AB AP AB  ，其中 | |AB 为定值，只需 | | cosAP  最大即可， DC AB ，如图 3，延长 DC 交 AB 延长线于Q ，当 P 在线段 DC 上运动时， | | cosAP  最大，易知 OAC△ 为等腰直角三角形，且 180 45 67.5 2 OAB     ，则在Rt CAQ△ 中， cosAQ AC CAQ   cos(67.5 45 ) cos22.5AC AC   ，在等腰三角形OAB 中， 2 sin22.5AB OA ，则 max( ) cos22.5 2 sin22.5 sin45AP AB AC OA AC OA       2 2 2 2 4 2     ，综上，故选 BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 题号 12 13 14 答案 [0 1]， 28 π 3 24 8 3 【解析】 12 ．当 0k  时， 8 0≥ 恒成立，则 0k  ；当 0k  时， 2 0 Δ 36 4 ( 8) 0 k k k k      ， ≤ ， 解得 0 1k ≤ ，所以 k 的取值范围是0 1k≤ ≤ . 图 3 高一数学 YW 参考答案·第 4 页（共 7 页） 13．依题意， 2 2 2 2 cos 16 36 2 4 6 cos 28 3 π a b c bc A          ，得 2 7a  ，设 ABC△ 外接圆的半径为 2 7 2 21 π 3 2sin 3 R   ，所以 ABC△ 外接圆的面积为 2 28π π 3 R  . 14．由于二十四等边体的外接球表面积为 16π ，设其半径为 r ，则 24 16r   ，解得 2r  ．设 O 为球心，依题意可知四边形 A B C D， ， ， 分别为正方体侧棱的中点，所以 ABCD 为正方形，由于 2OA OB OC OD    ，所以四边形 ABCD 是正方形， 2 2 2 2AB OA OB   ，所以二十四等边体的边长为 2 ．所以二十四等边体的边长的 表面积为 1 π 2 2 6 2 2 sin 8 24 8 3 2 3          ． 四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 13 分） 解：（1） 3 3 log2 0 72 1 [( 3) ] (lnπ 10) lg25 lg2 3 2       27 1 lg5 lg2 7     …………………………………………………………………（4 分） 26 1 7 20    ． ……………………………………………………………………（6 分） （2） π 3π tan(3π )cos sin 2 2 7π sin( 5π)cos 2                           tan (sin )( cos ) sin ( sin )           ……………………………………………………………（11 分） 1 ．…………………………………………………………………………………（13 分） 16．（本小题满分 1 分） 证明：（1）连接 SB，如图 4 所示： ∵E，G 分别是 BC，SC 的中点， ∴EG∥SB．………………………………………………（3 分） 又∵SB⊂平面 BDD1B1， EG 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1． ……………………………（6 分） （2）连接 SD，如图所示： ∵F，G 分别是 DC，SC 的中点， ∴FG∥SD．……………………………………………………………………………（9 分） 图 4 高一数学 YW 参考答案·第 5 页（共 7 页） 又∵SD⊂平面 BDD1B1， FG 平面 BDD1B1， ∴FG∥平面 BDD1B1．………………………………………………………………（12 分） 由（1）得 EG∥平面 BDD1B1，且 EG⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG，EG∩FG G， ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1．………………………………………………………（15 分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）函数 2 1 3 ( ) sin cos 3cos sin 2 (1 cos2 ) 2 2 f x x x x x x     3 sin 2 3 2 x         π ， …………………………………………………………………（3 分） 所以 ( )f x 的最小正周期为 2π π 2 T   ． ……………………………………………（5 分） 令 2 3 x k  π π， kZ ，解得 2 6 k x   π π ， kZ ， 所以 ( )f x 的对称中心坐标为 3 2 6 2 k       π π ， ， kZ ．……………………………（8 分） （2）若 ( ) 0f   ，则 π 3 sin 2 3 2          ， …………………………………………（9 分） 所以 2 22 3 1cos 4 1 2sin 2 1 2 3 3 2 2                             π π ， …………………………………………………………………………………（12 分） 所以 π 2 1 sin 4 cos 4 cos 4 6 6 2 3 2                                 π π π ． …………………………………………………………………………………（15 分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）根据题意，在△ABC 中，有 AB AC⊥ ，且 | | | | ( 0)AB AC m m   ， 则 2(3 ) ( 3 ) 6AB AC AB AC m   ，…………………………………………………（1 分） 2| 3 | (3 ) 10AB AC AB AC m    ，………………………………………………（2 分） 2| 3 | ( 3 ) 10AB AC AB AC m    ，………………………………………………（3 分） 故 2 2 (3 ) ( 3 ) 6 3 cos 10 5| 3 || 3 | AB AC AB AC m mAB AC AB AC         ． …………………………………（4 分） 高一数学 YW 参考答案·第 6 页（共 7 页） （2）因为 | | | | 2 2 | | 2AB AC AM  ， ． 设 | |OA x ，则 | | 2OM x  ，而 2OB OC OM  ， ………………………………（5 分） 则 ( ) 2 2 | | | | cosπOA OB OC OA OA OB OC OA OM OA OM     2 22 (2 ) 2 4 2( 1) 2x x x x x        ，………………………………………………（7 分） 当且仅当 1x  时，OA OB OC OA 的最小值是−2． ……………………………（8 分） （3）根据题意，设 π 0 2 PAB          ∠ ， ， ，则 π 2 PAC  ∠ ， …………………（9 分） 若 1PA AB  ，则 | || | cos 1AP AB   ，变形可得 1 | | 2cos AB   ．………………（10 分） 同时， 1AP AC  ，则 π | || | cos 1 2 AP AC         ，即 1 | | 2sin AC   ， …………………………………………………………………………………（11 分） 则有 2 2 2 2| | 2 2 2AB AC AP AB AC AP AB AC AC AP AB AP        2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos 1 8 8 8 4cos 4sin 4sin cos sin 2                ．………………………（13 分） 又由 π 0 2        ， ，则 2 (0 π) ， ， 由三角函数的性质，当 max π π 2 sin 2 1 2 4     ， ， ，……………………………（15 分） 则 2| | 9AB AC AP  ≥ ，变形可得： | | 3AB AC AP  ≥ ， 故 | |AB AC AP  的最小值为 3．…………………………………………………（17 分） 19．（本小题满分 17 分） 解：（1） π π π 1 3 ( ) sin sin cos cos sin sin cos 3 3 3 2 2 h x x x x x x            ∵ 1 2 1 3 ( ) ( ) 2 2 f x f x  ， 因此， ( )y h x 是 1( )y f x 、 2 ( )y f x 的生成函数．……………………………（4 分） 高一数学 YW 参考答案·第 7 页（共 7 页） （2）由题意可得 2 1 2 2 2 2 ( ) 2log log 2log log logh x x x x x x     ， 由于不等式 (4 ) (2 ) 0h x th x  在 [2 4]x ， 上有解，即 2 2log (4 ) log (2 ) 0x t x  ， 化简得 2 2(2 log ) (1 log ) 0x t x    ，………………………………………………（7 分） 令 2log [ 21 ]m x  ， ，则有 ( 2) ( 1) 0m t m    ，得 2 1 1 1 1 m t m m         ， 由题意可得 max 2 1 m t m        ，由于函数 1 1 1 y m     在 [1 2]m ， 上单调递增， 所以， max 1 4 1 2 1 3 y       ， 4 3 t  ∴ ． 因此，实数 t 的取值范围是 4 3        ， ．…………………………………………（10 分） （3）由题意可得 ( ) ( 0 0 0) b h x ax a b x x     ， ， ， ∵函数 ( )y h x 图象的最低点坐标为 (2 )8， ， 由基本不等式得 ( ) 2 2 b b h x ax ax ab x x   ≥ ， 当且仅当 b ax x  时，即当 b x a  时，等号成立，则 2 2 8 b a ab      ， ， 解得 2 8 a b    ， ， 8 ( ) 2h x x x  ∴ ．……………………………………………………………………（14 分） 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16 168 8 64 ( ) ( ) 2 2 4 x x h x h x x x x x x x x x x x                2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 264 64 80 4 16 4 16 4 32 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x             ． 令 1 2 0t x x  ，由基本不等式得 2 1 2 1 2 1 2 4 x x t x x        ≤ ， 由双勾函数的单调性知，函数 80 4 32y t t    在 1 0 4 t       ， 上单调递减， 则 min 1 4 80 4 32 289 4 y       ， 289m∴ ≤ ． 因此，存在最大值的常数 289m  ．………………………………………………（17 分）