精品解析：广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

顺德一中2024学年度第二学期期中高一数学试题 本试卷共19题 共 4 页 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为 A. B. C. D. 5 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. ，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（ ）（参考数据：取） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，且，向量满足则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 10. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 11. 已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 四面体体积的最大值为 C. 点D的运动轨迹的长度为 D. 边AD旋转所形成的曲面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知|，点在内，且，设，则等于 ． 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角_______． 14. 如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为_______；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）若，求实数m、n的值； （2）若，求的最小值. 16. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到. （1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 17. 在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积.（注：只需写出一个选定方案即可） 18. 如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. （3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺德一中2024学年度第二学期期中高一数学试题 本试卷共19题 共 4 页 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为 A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高. 【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为，则，所以， 所以圆锥的高为，选C 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该扇形的圆心角的弧度数为 . 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式知，，逆用两角和的余弦公式即可求得答案． 【详解】根据题意知，因为， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查诱导公式与两角和的余弦公式的逆用，以及特殊角的三角函数值． 4. ，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换及诱导公式化简，再借助余弦函数性质比较大小即可. 【详解】 ， ， ， 而余弦函数在上单调递减，则， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：D 5. 平面向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解. 【详解】，由于，所以，解得， 故选：A 6. 已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值. 【详解】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． 7. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（ ）（参考数据：取） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】设，由题意可得， 由题意知：， 在中，由余弦定理可得， 得：，得：. 故选：B. 8. 已知平面向量，且，向量满足则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标表示向量，由给定等式建立方程，再利用几何意义求出最小值. 【详解】依题意，设，，，由，得， ，则，，，， 设，由，得， 即，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ，则点在直线上， 表示直线上的点与圆上点的距离，过作轴于，于， ，而，则射线平分，因此， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由复数的运算求得，再根据复数的定义计算后判断各选项． 【详解】由题意， 对应点坐标为在第四象限，A正确；，B正确； 的实部为，C正确，虚部是，D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，考查复数的定义及几何意义，解题时通过复数的运算化复数为代数形式，然后根据复数的定义求解判断． 10. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意， ，， 为钝角，A选项错误. ， ，B选项正确. ，由正弦定理得， ，， 由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确. ， ， 整理得， 由于为钝角，，所以， 当且仅当时等号成立. 所以，D选项错误. 故选：BC 11. 已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 四面体体积的最大值为 C. 点D的运动轨迹的长度为 D. 边AD旋转所形成的曲面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对ABCD各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：对A：， AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径， ， ，故选项A正确； 对B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为， ，故选项B错误； 对C：设方形对角线AC与BD交于O， 由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形， 此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧， 所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确； 对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点， 底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的， 即所求曲面的面积为，故选项D正确. 故选: ACD. 【点睛】关键点点睛：C选项解题的关键是点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧；D选项解题的关键是边AD旋转所形成的曲面为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面的. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知|，点在内，且，设，则等于 ． 【答案】3. 【解析】 【详解】方法一： , ① 又, ② , ③ 将②③代入①得：，所以， 点在内， 所以. 方法二： 以直线OA,OB分别为轴建立直角坐标系， 则 , 设， 又， 得，即 ， 解得. 故答案为：3. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】，， , 由正弦定理得， 即 ， ，，， ，， ，， ，解得. 故答案为：. 14. 如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为_______；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为____________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】选取向量为基底，把用基底表示出来，再求出数量积即可；用表示出，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值． 【详解】在中，，，设， 则， 由三点共线，得，解得，因此， 因为，，，于是 ，解得； 因为，，，则有， 而三点共线，因此，则 ，当且仅当，即取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）若，求实数m、n的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等列式求解. （2）设，利用向量共线的坐标表示建立关系，再利用模的坐标表示求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 而，，则，即， 所以. 【小问2详解】 设，则，而， 由，得，即， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 16. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到. （1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到棱长为的正四面体的体积公式，再根据体积比计算可得； （2）求出石凳的表面积，即可估计出费用. 【小问1详解】 因为棱长为的正四面体的体积， 如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的， 所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为， 所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为. 【小问2详解】 因为正四面体的棱长为， 所以， 则， 所以， 所以石凳的表面积， 即石凳的表面积约为， 所以粉刷一个石凳约需要元. 17. 在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积.（注：只需写出一个选定方案即可） 【答案】（1）； （2）若选①②，. 若选①③，. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得的大小. （2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三角形的面积. 【详解】（1），， ，， ， 由于，所以. （2）若选②③，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定. 若选①②，三个已知条件是， 由正弦定理得， ， 所以. 若选①③，三个已知条件是， 由余弦定理得， 即，解得， . 18. 如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求. （2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值. （3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值. 【详解】 （1）以点A为原点建系，得,,， ∴. （2）由（1）知，设， ∴，， ∴ 当时，最大值. （3）设，则， ∴， 当且仅当时，等号成立，故最小值是. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. （3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）存在，点 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用辅助角公式将函数化简，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，即可求出的解析式，设，表示出，，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解； （3）依题意当时恒成立，再对分三种情况讨论，参变分离结合对数函数的性质计算可得； 【小问1详解】 解：向量的相伴函数为， 所以 ∵， ∴. ∵，∴，∴. 所以. 【小问2详解】 解：由为的相伴特征向量知： 所以. 设，∵，，∴，， 又∵，∴∴. ，∴ ∵，∴， ∴.又∵， ∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立. ∴在图像上存在点，使得. 【小问3详解】 解：向量的相伴函数为 当时，， 即，恒成立. 所以①当，即时，，所以， 即，由于，所以的最小值为，所以； ②当，，不等式化为成立. ③当，时，，所以， 即，由于，所以的最大值为，所以. 综上所述，k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $