广东省东莞市三校（东莞市大岭山中学、东莞市众美中学、东莞市松山湖莞美学校）2024-2025学年高二下学期期中联考检测数学试卷

试卷第 1页，共 12页 2024～2025 学年度第二学期三校联考期中检测 高二数学 命题学校：众美中学 审题人：莞美、大岭山中学 说明：本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑。 1．若曲线 2y x ax b   在点(0,b )处的切线方程为 2 0x y   ，则（ ） A． 1a  ， 2b  B． 1a  ， 2b   C． 1a   ， 2b  D． 1a   ， 2b   【答案】D 【详解】因为 2y x a   ，切点为(0,b )，所以切线的斜率为 0|xk y a  ，则切线方程为 y b ax  ，即 y ax b  ，又切线方程为 2 0x y   ，即 2y x   ，所以 1a   ， 2b   . 故选：D 2．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无 人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的 3D视觉效果. 如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有 8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可 以发出 3种不同颜色的光，编号 1至 5号的无人机颜色必须相同，编号 7、8号的无人机颜 色必须相同，编号 6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这 8架无人机同时发光时， 一共可以有（ ）种灯光组合. A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【详解】先考虑 6号，有 3种颜色可选.则剩下的 1至 5号有 2种颜色可选，7 8､ 号也有 2种 颜色可选，所以一共有3 2 2 12   种灯光组合.故选：B 3．下列求导运算正确的是（ ） 试卷第 2页，共 12页 A． 1 ln x x        B．   1x xx e e   C． 2 1 11x x x         D．  2 cos 2 sinx x x x   【答案】C 【详解】A. 2 2 1 1 1 ln ln ln x x x x x         ，故 A错；B.  x x xx e e xe   ，故 B错； C. 2 1 11x x x         ，故 C正确；D.  2 2cos 2 cos sinx x x x x x   ，故 D错.故选：C. 4．已知 f1（x）=x，f2（x）= 1 x ， 23 ( )f x x ，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数， 则所得新函数为奇函数的概率为 A． 1 3 B． 12 C． 2 3 D． 3 4 【答案】C 【详解】解：∵f1（x）＝x是奇函数，f2（x）＝ 1 x 是奇函数，   23f x x 是偶函数，从以上 三个函数中任意取两个相乘得到新函数，基本事件总数 n＝ 23 3C  ，所得新函数为奇函数包 含的基本事件个数 m＝ 1 12 1C C ＝2，∴所得新函数为奇函数的概率 p＝ 2 3 m n  .故选 C． 5．盒中有 10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取 4个，那么概率是 3 10 的事件 为（ ） A．恰有 1个是坏的 B．恰有 2个是坏的 C．至多有 2个是坏的 D．4个全是好的 【答案】B 【详解】盒子中有 10个灯泡，现从盒子中随机抽取 4个的总数为 410C 210 . A：盒子中有 10个灯泡，现从盒子中随机抽取 4个， 恰好 1个是坏的概率为 1 3 3 7 4 10 1 2 C C C  ，故 A错误； D：盒子中有 10个灯泡，现从盒子中随机抽取 4个， 4个全是好的概率为 0 4 3 7 4 10 C C 1 C 6  ，故 D错误； 试卷第 3页，共 12页 B：盒子中有 10个灯泡，现从盒子中随机抽取 4个， 恰好 2个是坏的概率为 2 2 3 7 4 10 C C 3 C 10  ，故 B正确； C：盒子中有 10个灯泡，现从盒子中随机抽取 4个， 至多 2个是坏的概率为 0 4 1 3 2 2 3 7 3 7 3 7 4 10 C C C C C C 29 C 30    ，故 C错误. 故选：B 6．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 x（单位： 2dm ）与水生植物的株数 y（单位： 株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 e ( 0)kxy c c  去拟合 x与 y的关系，设 ln ,z y x 与 z的数据如表格所示：得到 x与 z的线性回归方程 2 ˆˆ 1.z x a  ，则 c （ ） x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A． 2e B． 1e C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】由已知可得， 3 4 6 7 5 4 x     ， 2 2.5 4.5 7 4 4 z     ，所以，有 ˆ4 1.2 5 a   ， 解得 ˆ 2a   ，所以， ˆ 1.2 2z x  ，由 lnz y ，得 ln 1.2 2y x  ，所以， 1.2 2 2 1.2e e ex xy     ， 则 2ec  .故选：A. 7．已知随机变量 X 服从正态分布  22,N  ，且 (2 2.5) 0.36P X   ，则 ( 1.5)P X  等于（ ） A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86 【答案】D 【详解】随机变量 X 服从正态分布  22,N  ，且 (2 2.5) 0.36P X   , 所以 (1.5 2) 0.36P X   ，  1( 1.5) 1 0.36 2 0.14 2 P X      ，所以 ( 1.5) 1 0.14 0.86P X     ， 故选:D. 8．若函数   2 ln 1f x a x  与   2 1g x x  的图像存在公共切线，则实数 a的最大值为（ ） A． e B． 2e C． 2e 2 D． 2e 【答案】A 【详解】   2g x x  ，   2af x x   ，设公切线与   2 1g x x  的图像切于点  21 1, 1x x  ， 试卷第 4页，共 12页 与曲线 ( ) 2 ln 1f x a x  切于点  2 2, 2 ln 1x a x  ， 所以    2 22 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ln 1 12 2 ln2 a x xa a x xx x x x x x          ， 故 1 2a x x ，所以 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ln2 x x x xx x x    ，所以 1 2 2 22 2 lnx x x x   ， 因为 1 2a x x ，故 2 2 2 2 22 2 lna x x x  ，设 2 2( ) 2 2 ln ( 0)h x x x x x    ， 则 ( ) 2 (1 2ln )h x x x   ，令 ( ) 0 eh x x    当 ( ) 0h x  时， (0, e)x ，当 ( ) 0h x  时， ( e, )x  ， 所以  h x 在 (0, e)上递增，在 ( e, ) 上递减，所以 max( ) ( e) eh x h  ， 所以实数 a的最大值为 e，故选：A. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知    2 70 1 2 72 1 2 nx x a a x a x a x       ，  7 0a  ，则（ ） A． 6n  B． 5 108a   C． 0 1 2 7 3a a a a     D． 0 2 4 6 363a a a a    【答案】ACD 【详解】由     2 70 1 2 72 1 2 nx x a a x a x a x       ， 所以  2 nx  的展开式中最高次项为6次项，即 6n  ，故 A正确；  62x  的展开式中， 4x 的系数为  226C 2 60  ， 5x 的系数为   11 6C 2 12   ， 则  5 2 60 1 12 108a       ，故 B错误； 令 1x  ，得    6 0 1 2 72 1 1 2 3a a a a         ，故 C正确； 令 1x   ，得    6 0 1 2 6 72 1 1 2 729a a a a a             ， 所以，   0 2 4 6 3 729 363 2 a a a a         ，故 D 正确；故选：ACD. 10．设函数   3 23 5f x x x   ，则下列说法正确的有（ ） A．函数  f x 仅有 1个零点 试卷第 5页，共 12页 B． 0x  是  f x 的极小值点 C．函数  f x 的对称中心为  13， D．过  31，可以作三条直线与  y f x 的图象相切 【答案】ACD 【详解】对 AB，   3 23 5f x x x   ，   23 6  f x x x， 当 2x  或 0x  时，   0f x  ，当0 2x  时，   0f x  ，所以函数  f x 在  ,0 ， 2, 上单调递增，在  0 2, 上单调递减，所以    0 5f x f 极大值 ，    2 1f x f 极小值 ，又  2 15f    ，所以函数  f x 仅有 1个零点，且该零点在区间  2,0 上，故 A正确，B错 误； 对 C，由    3 2 23 5 3 5f x x x x x      ，得            2 21 1 1 1 3 5 1 1 3 5 6f x f x x x x x              ， 所以函数  f x 的图象关于  1,3 对称，故 C正确； 对 D，设切点为  3 20 0 0, 3 5x x x  ，则   20 0 03 6f x x x  ，故切线方程为     3 2 20 0 0 0 03 5 3 6 (y x x x x x x      ， 又过点  3,1 ，所以     3 2 20 0 0 0 01 3 5 3 6 3x x x x x      ，整理得 3 20 0 06 9 2 0x x x    ， 即   20 0 04 1 2 0x x x    ，解得 0 2x  或 0 2 3x   或 0 2 3x   ，所以过  3,1 可以作三 条直线与  y f x 的图象相切，故 D正确．故选：ACD． 11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模 型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后， 机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第 1层由 2个钉子（图中圆点）隔出 的 3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此 继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编 号①②…⑧的槽内概率分别为 1 2 8, , ,P P P 则下列结论正确的是（ ） 试卷第 6页，共 12页 A． 1 2 3 4P P P P   B． 9 ( 1, 2, ,8)i iP P i   C． ( 1, 2, ,8)iP i   的最大值为 25 96 D． ( 1, 2, ,8)iP i   的最小值为 1 32 【答案】ABC 【详解】依题意：小球从最上层 3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概 率相同，由对称性可知， 5 1 8 1 1 1( ) 3 2 96 P P    ，  1 0 52 7 5 51 1 1C C ( )3 2 16P P     ，  23 555 151 1 1C 6C 1 ( )3 2P P      ， 1 2 3 5 4 5 5 5 5 1 1 25( )( ) 3 2 96 P P C C C      ，所以 A，B正确, 1 2 3 5 max 4 5 5 5 5 1 1 25( ) ( )( ) 3 2 96i P P P C C C       ， 5min 1 8 1 1 1( ) ( ) 3 2 96i P P P     ，故 C正确，D 错误.故选：ABC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请把答案填在答题卡相应位置上。 12．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将 0、 1r 、 2r 、 3r 、 4r 从小到大排列，应为 ． 【答案】 2 4 3 10r r r r    【详解】由散点图可知 3 1 2 40 1, 1 0r r r r       ，所以 2 4 3 10r r r r    . 故答案为: 2 4 3 10r r r r    . 13．小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为 3 4 ，周二去健身的概率为 5 6 ，且小李周 一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的 2倍，则小李周一、 周二都去健身的概率为 ． 试卷第 7页，共 12页 【答案】 1 2 /0.5 【详解】设“小李周一去健身”为事件 A，设“小李周二去健身”为事件 B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件 AB， 由题意可知： 3( ) 4 P A  ， 5( ) 6 P B  ，且 ( | ) 2 ( | )P B A P B A ， 由全概率公式可知： ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A  ， 即 5 1 3( | ) ( | ) 6 4 4 P B A P B A  ，代入 ( | ) 2 ( | )P B A P B A ，可解得 2( | ) 3 P B A  ， 所以     | 3 2 1( ) 4 3 2 P AB P A P B A    . 故答案为： 12 . 14．已知随机变量  6,0.8X B ，若  P X k 最大，则  1D kX   ． 【答案】24 【详解】由题意知：    66C 0.2 (0.8) kk kP X k     ，要使  P X k 最大，有                 6 7 11 6 6 6 5 11 6 6 C 0.2 0.8 C 0.2 0.8 C 0.2 0.8 C 0.2 0.8 k k k kk k k k k kk k                   ， 化简得 70.8 0.2 60.2 0.8 1 k k k k          ，解得 23 28 5 5 k  ，故 5k  ，又 ( ) 6 0.8 0.2 0.96D X     ， 故     21 5 1 5 ( ) 24D kX D X D X     . 故答案为：24. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号 指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 15．现有编号为A， B，C的 3个不同的红球和编号为D， E的 2个不同的白球. (1)若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D， E不相邻，则有多少种不同的排 法？ (2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同 的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 【答案】(1)16 (2)150 试卷第 8页，共 12页 【详解】（1）将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D， E不相邻， 则先把A安在正中间位置，从A的两侧各选一个位置插入D、 E，其余小球任意排， 方法有 1 1 1 2 1 4 2 2A C C A 16    种. （2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球， 则先把 5个小球分成 3组，再进入 3个盒子中. 若按 311分配，方法有 3 1 1 35 2 1 32 2 C C C A 60 A     种， 若按 221分配，方法有 2 2 1 35 3 1 32 2 C C C A 90 A     种. 综上可得，方法共有60 90 150  种. 16．已知函数   ln 2f x x ax  . (1)若 1x  是 ( )f x 的极值点，求 a的值； (2)讨论函数 ( )f x 的单调性； (3)若 ( ) 0f x  恒成立，求 a的取值范围； 【答案】(1) 1 2 a  (2)答案见解析 (3) 1 2e a  ； 【详解】（1）由   ln 2f x x ax  ，得   1 1 22 axf x a x x     ， 因为 1x  是 ( )f x 的极值点，所以 (1) 0f   ，即1 2 0a  ，所以 1 2 a  ，经检验符合题意. （2）   1 1 22 axf x a x x     . 当 0a  时，   1 2 0axf x x    ，所以  f x 在  0,  上单调递增； 当 0a  时，令   1 2 0axf x x    ，解得 1 2 x a  ， 当 10, 2 x a      时，   1 2 0axf x x    ； 当 1 , 2 x a       时，   1 2 0axf x x    ； 所以  f x 在 10, 2a       上单调递增，在 1 , 2a      上单调递减， 综上，当 0a  时，  f x 在  0,  上单调递增； 试卷第 9页，共 12页 当 0a  时，  f x 在 10, 2a       上单调递增，在 1 , 2a      上单调递减； （3） ( )f x 的定义域为 (0, ) ，若 ( ) 0f x  恒成立，则 ln 2 0x ax  恒成立， 即 ln2 xa x  恒成立，令 ln( ) xg x x  ，只需 max2 ( )a g x ，又 2 2 (ln ) ln 1 ln( ) x x x x xg x x x         ， 令 ( ) 0g x  得 ex ， (0,e)x 时， ( ) 0g x  ，则 ln( ) xg x x  单调递增； (e, )x  时， ( ) 0g x  ，则 ln( ) xg x x  单调递减； 所以 max 12 ( ) (e) e a g x g   ，解得： 1 2e a  ； 17．某市从 2015年起每年 6月都举办一届民俗文化周，到 2020年已举办了六届，据旅游部 门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现 将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 民俗文化周届数编号 X 1 2 3 4 5 外地游客人数Y（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 (1)求Y关于 X 的线性回归方程  ˆY bX a  ； (2)据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加 100元左右的旅游 收入，利用（1）中的线性回归方程，预测 2023年第 9届民俗文化周期间的外地游客可为本 市增加的旅游收入为多少万元. 参考公式：      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ，  ˆa y bx  . 【答案】(1)  0.22 0.34Y X  (2)2320万元 【详解】（1）由所给数据计算得：  1 1 2 3 4 5 3 5 X        ，  1 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 1 5 Y        ，   5 2 1 4 1 0 1 4 10i i x x         ，            5 1 2 0.4 1 0.2 0 1 0.2 2 0.5 2.2i i i x x y y                  ， 试卷第 10页，共 12页      1 2 1 2.2ˆ 0.22 10 n i i i n i i x x y y b x x           ，  ˆ 1 0.22 3 0.34a Y bX      ， 所以所求的线性回归方程为  0.22 0.34Y X  . （2）由（1）知，当 9X  时， 0.22 9 0.34 2.32Y     ， 于是预测 2023年第 9届民俗文化周期间的外地游客可达 23万 2千人， 由 232 000×100＝23 200 000（元）， 所以预测 2023年第 9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达 2 320万元. 18．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标， 由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中 a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差 分别为 2 1s ， 2 2s ，试比较 2 1s ， 2 2s 的大小（只要求写出答案）； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机各抽取1桶，恰有一桶的质量指标大于 20的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z服从正态分布  2,N   ．其中  近似为样本平均数 x， 2 近似为样本方差 22s ，设 X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其 质量指标值位于  14.55,38.45 的桶数，求 X 的数学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 2 142.75 11.95s   ②若  2,Z N   ，则   0.6826P Z        ，  2 2 0.9544P Z        ． 【答案】(1) 0.015a  ， 2 21 2s s (2) 0.42 (3)6.826 试卷第 11页，共 12页 【详解】（1）由频率分布直方图可得： 0.010 0.020 0.025 0.030 10 1a      ，解得 0.015a  ； 记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为 21s ， 2 2s ， 由频率分布直方图可得 2 2 1 2s s . （2）设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于 20， 事件 B：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于 20， 事件C：在甲、乙两种食用油中随机各抽取1桶，恰有一个桶的质量指标不大于20，且另一 个不大于 20， 则   0.20 0.10 0.30P A    ，   0.10 0.20 0.30P B    ， ∴           0.70 0.30 0.30 0.70 0.42P C P A P B P A P B       （3）计算得： 5 0.01 10 15 0.02 10 25 0.03 10 35 0.025 10 45 0.015 10 26.5x                 ， 2 142.75 11.95s   ，由条件得  26.5,142.75Z N ， 从而  26.5 11.95 26.5 11.95 0.6826P Z     ， ∴从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于  14.55,38.45 的概率是0.6826， 根据题意得  10,0.6826X B ，∴   10 0.6826 6.826E X    . 19．已知函数 ( )y f x ，x D ，设曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程为 y kx m  . 如 果对任意的 x D ，均有：①当 0x x 时， ( )f x kx m  ；②当 0x x 时， ( )f x kx m  ；③当 0x x 时， ( )f x kx m  ，则称 0x 为函数 ( )y f x 的一个“ʃ--点”. （1）判断0是否是下列函数的“ʃ--点”：① 3( )f x x ； ② ( ) sinf x x .（只需写出结论） （2）设函数 2( ) lnf x ax x  . （ⅰ）若 1 2 a  ，证明：1是函数 ( )y f x 的一个“ʃ--点”； （ⅱ）若函数 ( )y f x 存在“ʃ--点”，直接写出 a的取值范围. 【答案】（1）①0是 3( )f x x 的“ʃ--点”； ②0不是 ( ) sinf x x 的“ʃ--点”. 试卷第 12页，共 12页 （2）（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 0a  【详解】（1） ①0是 3( )f x x 的“ʃ--点”； ②0不是 ( ) sinf x x 的“ʃ--点”. （2）当 1 2 a  时， 2 1( ) ln 2 f x x x  ，其定义域为 (0, ) ， 1( )f x x x    （ 0x  ）. （ⅰ）证明：因为 (1) 2f   ， 1(1) 2 f  ，所以 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 1 2( 1) 2 y x   ， 即 32 2 y x  .令 2 3 1 3( ) ( ) (2 ) ln 2 2 2 2 g x f x x x x x       ，则 21 ( 1)( ) 2 xg x x x x      . 因为 0x  ，所以 2( 1)( ) 0xg x x    .所以 函数 ( )g x 是 (0, ) 上的增函数.，且g(1)=0 ， 所以 当0 1x  时， ( ) (1) 0g x g  ，即 3( ) 2 2 f x x  ； 当 1x  时， ( ) (1) 0g x g  ，即 3( ) 2 2 f x x  ； 当 1x  时， ( ) (1) 0g x g  ，即 3( ) 2 2 f x x  ， 所以 1是函数 ( )y f x 的 “ʃ--点”. （ⅱ）若函数 ( )y f x 存在“ʃ--点”，则 a的取值范围是 0a  . 试卷第 1页，共 5页 2024～2025 学年度第二学期三校联考期中检测 高二数学 命题学校：众美中学 审题人：莞美、大岭山中学 说明：本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑。 1．若曲线 2y x ax b   在点(0,b )处的切线方程为 2 0x y   ，则（ ） A． 1a  ， 2b  B． 1a  ， 2b   C． 1a   ， 2b  D． 1a   ， 2b   2．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无 人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的 3D视觉效果. 如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有 8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可 以发出 3种不同颜色的光，编号 1至 5号的无人机颜色必须相同，编号 7、8号的无人机颜 色必须相同，编号 6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这 8架无人机同时发光时， 一共可以有（ ）种灯光组合. A．9 B．12 C．15 D．18 3．下列求导运算正确的是（ ） A． 1 ln x x        B．   1x xx e e   C． 2 1 11x x x         D．  2 cos 2 sinx x x x   4．已知 f1（x）=x，f2（x）= 1 x ， 23 ( )f x x ，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数， 则所得新函数为奇函数的概率为 试卷第 2页，共 5页 A． 1 3 B． 12 C． 2 3 D． 3 4 5．盒中有 10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取 4个，那么概率是 3 10 的事件 为（ ） A．恰有 1个是坏的 B．恰有 2个是坏的 C．至多有 2个是坏的 D．4个全是好的 6．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 x（单位： 2dm ）与水生植物的株数 y（单位： 株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 e ( 0)kxy c c  去拟合 x与 y的关系，设 ln ,z y x 与 z的数据如表格所示：得到 x与 z的线性回归方程 2 ˆˆ 1.z x a  ，则 c （ ） x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A． 2e B． 1e C．-1 D．-2 7．已知随机变量 X 服从正态分布  22,N  ，且 (2 2.5) 0.36P X   ，则 ( 1.5)P X  等于（ ） A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86 8．若函数   2 ln 1f x a x  与   2 1g x x  的图像存在公共切线，则实数 a的最大值为（ ） A． e B． 2e C． 2e 2 D． 2e 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知    2 70 1 2 72 1 2 nx x a a x a x a x       ，  7 0a  ，则（ ） A． 6n  B． 5 108a   C． 0 1 2 7 3a a a a     D． 0 2 4 6 363a a a a    10．设函数   3 23 5f x x x   ，则下列说法正确的有（ ） A．函数  f x 仅有 1个零点 B． 0x  是  f x 的极小值点 C．函数  f x 的对称中心为  13， D．过  31，可以作三条直线与  y f x 的图象相切 试卷第 3页，共 5页 11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模 型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后， 机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第 1层由 2个钉子（图中圆点）隔出 的 3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此 继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编 号①②…⑧的槽内概率分别为 1 2 8, , ,P P P 则下列结论正确的是（ ） A． 1 2 3 4P P P P   B． 9 ( 1, 2, ,8)i iP P i   C． ( 1, 2, ,8)iP i   的最大值为 25 96 D． ( 1, 2, ,8)iP i   的最小值为 1 32 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请把答案填在答题卡相应位置上。 12．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将 0、 1r 、 2r 、 3r 、 4r 从小到大排列，应为 ． 13．小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为 3 4 ，周二去健身的概率为 5 6 ，且小李周 一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的 2倍，则小李周一、 周二都去健身的概率为 ． 14．已知随机变量  6,0.8X B ，若  P X k 最大，则  1D kX   ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号 指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 15．现有编号为A， B，C的 3个不同的红球和编号为D， E的 2个不同的白球. (1)若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D， E不相邻，则有多少种不同的排 法？ 试卷第 4页，共 5页 (2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同 的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 16．已知函数   ln 2f x x ax  . (1)若 1x  是 ( )f x 的极值点，求 a的值； (2)讨论函数 ( )f x 的单调性； (3)若 ( ) 0f x  恒成立，求 a的取值范围； 17．某市从 2015年起每年 6月都举办一届民俗文化周，到 2020年已举办了六届，据旅游部 门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现 将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 民俗文化周届数编号 X 1 2 3 4 5 外地游客人数Y（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 (1)求Y关于 X 的线性回归方程  ˆY bX a  ； (2)据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加 100元左右的旅游 收入，利用（1）中的线性回归方程，预测 2023年第 9届民俗文化周期间的外地游客可为本 市增加的旅游收入为多少万元. 参考公式：      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ，  ˆa y bx  . 试卷第 5页，共 5页 18．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标， 由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中 a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差 分别为 2 1s ， 2 2s ，试比较 2 1s ， 2 2s 的大小（只要求写出答案）； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机各抽取1桶，恰有一桶的质量指标大于 20的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z服从正态分布  2,N   ．其中  近似为样本平均数 x， 2 近似为样本方差 22s ，设 X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其 质量指标值位于  14.55,38.45 的桶数，求 X 的数学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 2 142.75 11.95s   ②若  2,Z N   ，则   0.6826P Z        ，  2 2 0.9544P Z        ． 19．已知函数 ( )y f x ，x D ，设曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程为 y kx m  . 如 果对任意的 x D ，均有：①当 0x x 时， ( )f x kx m  ；②当 0x x 时， ( )f x kx m  ；③当 0x x 时， ( )f x kx m  ，则称 0x 为函数 ( )y f x 的一个“ʃ--点”. （1）判断0是否是下列函数的“ʃ--点”：① 3( )f x x ； ② ( ) sinf x x .（只需写出结论） （2）设函数 2( ) lnf x ax x  . （ⅰ）若 1 2 a  ，证明：1是函数 ( )y f x 的一个“ʃ--点”； （ⅱ）若函数 ( )y f x 存在“ʃ--点”，直接写出 a的取值范围. 2024-2025学年三校联考期中检测 高二数学 答题卡 班级: 姓名: 考场: 座位号: 正确填涂 缺考标记 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色字 迹的钢笔或者铅笔填写准考 证号和姓名等,再用2B铅笔 把准考证号的对应数字涂 黑。 2.保持卡面整洁,不要折叠,不 准 考 证 号                                                                                                     一、客观题(40分) 1 2 3 4 5 6 7 8         二、客观题(18分)(其中9-11为多选题) 9 10 11   四、解答题(77分) 15、(13分) 三、填空题(15分) 12、(5分) 13、(5分) 14、(5分) 16、(15分) (续) 第 1面 共 2面 17、(15分) 18、(17分) 19、(17分) 第 2面 共 2面 (续) 请勿在此区域作答 2024～2025学年度第二学期三校联考期中检测 高二数学 命题学校：众美中学 审题人：莞美、大岭山中学 说明：本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑。 1．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．9 B．12 C．15 D．18 3．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为 A． B． C． D． 5．盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．恰有2个是坏的 C．至多有2个是坏的 D．4个全是好的 6．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C．-1 D．-2 7．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86 8．若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．设函数则下列说法正确的有（    ） A．函数仅有1个零点 B．是的极小值点 C．函数的对称中心为 D．过可以作三条直线与的图象相切 11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填在答题卡相应位置上。 12．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为 ． 13．小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ． 14．已知随机变量，若最大，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 15．现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球. (1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 16．已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围； 17．某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 民俗文化周届数编号 1 2 3 4 5 外地游客人数（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 (1)求关于的线性回归方程； (2)据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元. 参考公式： ，. 18．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机各抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 ②若，则，． 19．已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有：①当时，；②当时，；③当时，，则称为函数的一个“ʃ­-点”. （1）判断是否是下列函数的“ʃ­-点”：①； ②.（只需写出结论） （2）设函数. （ⅰ）若，证明：是函数的一个“ʃ­-点”； （ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，直接写出的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期三校联考期中检测 高二数学 命题学校：众美中学 审题人：莞美、大岭山中学 说明：本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑。 1．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为，切点为(0,)，所以切线的斜率为，则切线方程为，即，又切线方程为，即，所以，. 故选：D 2．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【详解】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.故选：B 3．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. ，故A错；B.，故B错； C. ，故C正确；D. ，故D错.故选：C. 4．已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵f1（x）＝x是奇函数，f2（x）＝ 是奇函数，是偶函数，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，基本事件总数n＝，所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝＝2，∴所得新函数为奇函数的概率p＝.故选C． 5．盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．恰有2个是坏的 C．至多有2个是坏的 D．4个全是好的 【答案】B 【详解】盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为. A：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好1个是坏的概率为，故A错误； D：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 4个全是好的概率为，故D错误； B：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好2个是坏的概率为，故B正确； C：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 至多2个是坏的概率为，故C错误. 故选：B 6．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，则.故选：A. 7．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86 【答案】D 【详解】随机变量服从正态分布，且, 所以，，所以， 故选:D. 8．若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，设公切线与的图像切于点， 与曲线切于点， 所以， 故，所以，所以， 因为，故，设， 则，令 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减，所以， 所以实数a的最大值为e，故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由， 所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确； 的展开式中，的系数为，的系数为， 则，故B错误； 令，得，故C正确； 令，得， 所以，，故D 正确；故选：ACD. 10．设函数则下列说法正确的有（    ） A．函数仅有1个零点 B．是的极小值点 C．函数的对称中心为 D．过可以作三条直线与的图象相切 【答案】ACD 【详解】对AB，，， 当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误； 对C，由，得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对D，设切点为，则，故切线方程为， 又过点，所以，整理得， 即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．故选：ACD． 11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知，，， ，，所以A，B正确, ，，故C正确，D错误.故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填在答题卡相应位置上。 12．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为 ． 【答案】 【详解】由散点图可知，所以. 故答案为:. 13．小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ． 【答案】/ 【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件， 由题意可知：，，且， 由全概率公式可知：， 即，代入，可解得， 所以. 故答案为：. 14．已知随机变量，若最大，则 ． 【答案】24 【详解】由题意知：，要使最大，有， 化简得，解得，故，又， 故. 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分。第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 15．现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球. (1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 【答案】(1)16 (2)150 【详解】（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻， 则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排， 方法有种. （2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球， 则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中. 若按311分配，方法有种， 若按221分配，方法有种. 综上可得，方法共有种. 16．已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)； 【详解】（1）由，得， 因为是的极值点，所以，即，所以，经检验符合题意. （2）. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）的定义域为，若恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，只需，又， 令得，时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以，解得：； 17．某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 民俗文化周届数编号 1 2 3 4 5 外地游客人数（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 (1)求关于的线性回归方程； (2)据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元. 参考公式： ，. 【答案】(1) (2)2320万元 【详解】（1）由所给数据计算得： ， ， ， ， ， ， 所以所求的线性回归方程为. （2）由（1）知，当时，， 于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人， 由232 000×100＝23 200 000（元）， 所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元. 18．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机各抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 ②若，则，． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得； 记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，， 由频率分布直方图可得. （2）设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于， 事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于， 事件：在甲、乙两种食用油中随机各抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于， 则，， ∴ （3）计算得：， ，由条件得， 从而， ∴从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是， 根据题意得，∴. 19．已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有：①当时，；②当时，；③当时，，则称为函数的一个“ʃ­-点”. （1）判断是否是下列函数的“ʃ­-点”：①； ②.（只需写出结论） （2）设函数. （ⅰ）若，证明：是函数的一个“ʃ­-点”； （ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，直接写出的取值范围. 【答案】（1）①0是的“ʃ­-点”； ②0不是的“ʃ­-点”. （2）（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 【详解】（1） ①0是的“ʃ­-点”； ②0不是的“ʃ­-点”. （2）当时，，其定义域为，（）. （ⅰ）证明：因为 ，，所以 在点处的切线方程为， 即 .令 ，则 . 因为 ，所以 .所以 函数是上的增函数.，且 ， 所以 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以 是函数的 “ʃ­-点”. （ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，则的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$