精品解析：山东省青岛市青岛第五十八中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024—2025学年第二学期高二年级期中检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 22024 3. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高x（单位：） 167 173 175 177 178 180 181 体重y（单位：） 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图： 由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则____________． 13. 设，则_____． 14. 若，定义关于的函数，当取得最大值时，__________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置. （1）当时，求； （2）当时，求随机变量X的分布列及数学期望. 16. 已知函数. （1）若，求函数过点的切线方程; （2）证明:当时，. 17. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关； （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望. ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强. （iii），其中.附表： 18. 已知函数 . （1）设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; （3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 19. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. （1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高二年级期中检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理可得出结果. 【详解】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人， 第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种. 故选：B. 2. 的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 22024 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理得 . 故选：A. 3. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解. 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小， 结合选项，可得选项D复合题意. 故选：D. 4. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 5. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 6. 某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高x（单位：） 167 173 175 177 178 180 181 体重y（单位：） 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图： 由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数. 【详解】身高的平均数为， 因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大， 所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故， 去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以. 故选：A 7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 8. 已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的概念和性质即可分析求解各选项. 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布所以，则，故A错误； 对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确； 对于C， 根据正态分布曲线，显然成立，故C正确； 对于D，由，则，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，是的极大值点，A正确； 对于B，在上单调递减，，则，B错误； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，令，，函数是奇函数， 函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称， 若函数的图象还有一个对称中心，则 ，而不为常数， 因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心， 则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确. 故选：ACD 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对ABD选项根据条件概率公式求解；对C选项根据求解. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，，所以，B错误； 因此，，C正确； 从而．D正确． 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则____________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据导数的定义可知原式等于，通过求导可得结果. 【详解】∵，∴， ∴. 故答案为：. 13. 设，则_____． 【答案】120 【解析】 【分析】结合题意，根据二项式的展开式求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为：120. 14. 若，定义关于的函数，当取得最大值时，__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式，利用导数求解单调性，即可求解最值，进而由二项分布的方差公式以及方差的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则． 当时，；当时，． 所以当取得最大值时，，此时，， ． 故答案为：24 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置. （1）当时，求； （2）当时，求随机变量X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的特点即可计算相关概率值； （2）首先分析出的所有可能取值，再按步骤写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 当时，“”则表示四次移动中向右1次，向左3次， 因此； 【小问2详解】 当时，质点所能到达的位置必满足且为奇数， 随机变量的所有可能取值为， ，， ，， ，， 因此随机变量的分布列为 . 16. 已知函数. （1）若，求函数过点的切线方程; （2）证明:当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出切点，求出切线方程，代入点求解即可； （2）构造函数，求导，证明其最小值大于零即可. 【小问1详解】 若，则，所以， 设过点的切线方程的切点为， 则，切线方程为， 代入点得， 解得， 故切线方程为； 【小问2详解】 当时，设， 则，令得，令得， 所以， 设， 则， 令得，令得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 即. 17. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关； （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望. ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强. （iii），其中.附表： 【答案】（1），与线性相关较强 （2）认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 （3）分布列答案见解析，数学期望： 【解析】 【分析】(1)利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可； （2）直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关； (3)采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出可能取值0,1,2，分别求出对应概率，即可得的分布列，再结合期望公式，即可求解. 【小问1详解】 （1）相关系数为 故与线性相关较强. 【小问2详解】 零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立， 即购买电动汽车与车主性别无关. 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问3详解】 抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故 ,, 故的分布列为： 0 1 2 18. 已知函数 . （1）设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; （3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【小问1详解】 由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 【点睛】方法点睛：原不等式进行同构函数，然后再利用单调性，化简为简单不等式，再用分离参变量方法,来求解即可. 19. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. （1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 【答案】（1）可靠度 （2）优化后系统可靠度提高了. 原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了. 按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法： 方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为； 方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为. ； 因为，所以，，即， 所以当时，两个方案都可以； 当时，方案二可靠度更高. 【解析】 【分析】（1）根据图表中的数据即可求出甲型部件的可靠度，再根据条件概率的定义即可求得这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）根据题干可得一共有两种分配方案，分别计算出他们的概率比较大小即可得到优化方案. 【小问1详解】 （i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为， 故甲型部件的可靠度； （ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且， 故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B， 设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C， 则, 设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D， 则, 设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E， 则, , , , 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $