清单06 一元一次不等式和一元一次不等式组（14个考点梳理+14题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材冀教版

清单06 一元一次不等式和一元一次不等式组（14个考点梳理+14题型解读） 清单01 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 清单02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 清单03 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 清单04 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 清单05 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 清单06 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 清单07 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 清单08 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 清单09 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 清单10 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 清单11 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 清单12 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 清单13 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 清单14 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）交通法规人人遵守，文明城市处处安全，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故D正确． 故选：D． 【变式1-1】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【答案】3 【知识点】不等式的定义 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，③；④；⑤都是不等式， ∴不等式的有3个， 故答案为：3． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据，则由不等式的性质可得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）若想，且，则m的值可以是 (写出一个即可) 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质得到，再求解即可． 【详解】解：，， ， 解得． 比m小的任意一个数就可以,如1 故答案为：1（答案不唯一） 【变式2-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 【考点题型三】不等式的解集（） 【例3】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集、不等式的定义 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式3-1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】不等式的解集、不等式的性质 【分析】根据不等式的性质即可得． 【详解】解：将两边同乘以2可得一元一次不等式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 【考点题型四】一元一次不等式的定义（） 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】4 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】（22-23七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【答案】见解析 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义举例说明即可． 【详解】解：∵当系数等于0时，不等式中x无论取何值，不等式的解集均为全体实数或无解， 此时不等式中不含有未知数，  例如：若不等式为：，当x的系数时，此时，不等式变为，无论x取何值，此不等式均不成立．； 【点睛】本题考查的是一元一次不等式应具备系数不为条件，因为系数为时，不等式的解集均为全体实数或无解，此时不等式中不含有未知数． 【考点题型五】求一元一次不等式的解集（） 【例5】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查不等式的解集以及解集在数轴上的表示，分别解出选项中的解集和数轴上的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的解集为： A. 解得：，不符合； B. ，解得：，不符合； C. 解得：，不符合； D. 解得：，符合； 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）写出一个满足不等式的的整数值为 . 【答案】7（答案不唯一，只需填的整数即可） 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 解一元一次不等式，得出，即可解答． 【详解】解：∵， 解得：， 满足不等式的整数解为大于6的任意一个整数即可， 故答案为：7（大于6的任意一个整数均可）． 【变式5-2】（23-24七年级下·河北张家口·期末）（1）解方程组； （2）解不等式，并写出非正整数解． 【答案】（1） （2），非正整数解是 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和解方程组的方法． （1）先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集； （2）根据解一元一次不等式的方法可以求出该不等式的解集，然后再写出非正整数解即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得， 将代入①，得：， ∴该方程组的解是； （2）解：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴该不等式组的非正整数解是． 【考点题型六】在数轴上表示不等式的解集（） 【例6】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图所示，下面数轴表示某个不等式的解集，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示解集的方向和端点的实心或空心求解即可． 【详解】解：根据数轴，该不等式的解集为， 故选：B． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则“□”盖住的符号是 （填“”“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集、不等式的性质，根据数轴上的表示得到，进而利用不等式的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：由数轴得该不等式的解集为， 利用不等式的性质可得， 则“□”盖住的符号是， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）（1）用你喜欢的方法解二元一次方程组： （2）解不等式并在数轴上表示解集： 【答案】（1）；（2），数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组、解一元一次不等式，熟练掌握求解方法和步骤是解答的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求解不等式的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：（1）， 由得， 将代入①，得，解得， ∴该方程组的解集为； （2）解不等式， 移项合并同类项得：， 即该不等式的解集为， 在数轴上表示解集如图：    【考点题型七】求一元一次不等式的整数解（） 【例7】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）若代数式的值不大于的值，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，求不等式的最大整数解，先根据题意得到，解不等式后求出其最大整数解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴的最大整数值是6， 故选：B． 【变式7-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）一元一次不等式的负整数解是 ． 【答案】，， 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【详解】解：， ， ， 则不等式的负整数解为，，， 故答案为，， 【变式7-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）整式的值为P． (1)当时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的最小负整数值．    【答案】(1) (2)的最小负整数值为 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式． （1）把代入代数式中进行计算便可； （2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）由数轴知，， 即， 解得， 的最小负整数值为． 【考点题型八】列一元一次不等式（） 【例8】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）语句“的与的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】根据“的与的3倍的差的平方是一个非负数”，即可列出不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，非负数的性质，读懂题意，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）用不等式表示“的3倍与2的差不大于”为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题列出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 首先表示x的3倍与2的差，再抓住关键词“不大于”列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式8-2】（22-23七年级下·河北邢台·期末）已知“的与x的2倍的差大于x与10的和”．    (1)试用不等式表示上述不等关系． (2)解（1）中的不等式，并在数轴表示此不等式的解集． 【答案】(1) (2)；见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、列一元一次不等式 【分析】（1）根据不等关系列式即可； （2）先移项合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：的与x的2倍的差大于x与10的和用不等式表示为：． （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示：    【点睛】本题主要考查了列不等式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确计算． 【考点题型九】用一元一次不等式解决实际问题（） 【例9】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于，则至多可打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该商品打x折销售，利用利润售价进价，结合要保持利润不低于，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设该商品打x折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7， 该商品至多可打7折． 故选：C． 【变式9-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销．已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于，则该电商平台至多可以打 折销售． 【答案】七/7 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设该电商平台打x折销售，根据“获利不低于”列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设该电商平台打x折销售， 由题意得， 解得， 因此该电商平台至多可以打七打销售， 故答案为：七． 【变式9-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，小志和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，小志和妈妈坐在一端，爸爸坐在另一端．三人的体重一共为，小志的体重是妈妈体重的一半．求小志的体重应小于多少千克？ 【答案】小志的体重应小于千克． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式实际应用．根据题意设小志的体重为，则妈妈体重为，再利用图形中的实际意义列式计算即可． 【详解】解：设小志的体重为，则妈妈体重为， ∵三人的体重一共为， ∴爸爸体重为， ∵图象中爸爸比小志和妈妈加起来重， ∴，解得：， ∴小志的体重应小于千克． 【考点题型十】求不等式组的解集（） 【例10】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有解 ∴，解得，不等式组的解集为， ∵不等式组的解都是不等式的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式10-1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）解不等式组：，并求整数解． （2）计算：． 【答案】（1），整数解是：，0，1；（2） 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、整式乘法混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式，单项式与多项式的乘法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可． （2）先根据乘法公式，单项式与多项式的乘法法则打开括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集是， 不等式组的整数解是：． （2）原式． 【考点题型十一】求一元一次不等式组的整数解（） 【例11】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【详解】 ， 不是其整数解， ， 解得：， 是关于x的不等式的一个整数解， ， 解得：， ． 故选：D． 【变式11-1】（七年级下·河北秦皇岛·期末）写出不等式组的整数解 【答案】0，1，2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据不等式组的解集口诀“大小小大取中间”求得不等式组的解集即可求解． 【详解】解：∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴该不等式组的整数解为0，1，2， 故答案为：0，1，2． 【点睛】本题考查求不等式组的解集，解答的关键是熟知不等式组的解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”． 【变式11-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）解不等式，在数轴上表示解集： （2）解不等式组，并求其最大整数解． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2），最大整数解为1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，最大整数解问题等． （1）先去括号，再移项合并同类项计算即可，并在数轴上表示出解集； （2）先解第一个不等式，再解出第二个不等式，并求出最大整数解即可． 【详解】解：（1）， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 解得：， 数轴上表示：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为：， ∴最大整数解：1． 【考点题型十二】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例12】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知关于的不等式组，下列说法不正确的是（    ） A．若它的解集是，则 B．当时，此不等式组无解 C．若它的整数解只有2，3，4，则 D．若不等式组无解，则 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可． 【详解】解：∵ 由①得：； 由②得，， 故不等式组的解集为：． ∵它的解集是， ∴，故A正确； ∵，则②的解集为：， ∴不等式组无解，故B正确； ∵它的整数解只有2，3，4，则， ∴，故C正确； ∵不等式组无解， ∴，故D错误． 故选D． 【变式12-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式，能从读取图像的信息，会解含有参数的不等式，用参数表示不等式的解由图像可以知道，，只需要根据写出的解集，即可求出的值 【详解】解：∵， ∴， 由图像可知， ∴， 解得， 故答案为： 【变式12-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可； 【详解】（1）解： 解不等式得， ∴， ∴ 解不等式得， ∴， ∴ ∴不等式组的解集为． （2）解：， 设常数“□”为m， ∵， ∴， ∴ ∴不等式的解集为 又∵不等式的解集为， 而不等式组的解集为 ∴， ∴． ∴． 【考点题型十三】由不等式组解集的情况求参数（） 【例13】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若关于x的不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有解，利用大小小大中间找可得a的范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ， 解得：， 故选：D． 【变式13-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组并表示出不等式组的解集， 然后根据不等式组有3个整数解进而得出a的取值范围． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 又∵关于x的不等式组 的整数解共有3个， ∴整数解为，0，1， ∴． 故答案为：． 【变式13-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）关于x的不等式组只有个整数解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查不等式组的知识，解题的关键是掌握解不等式组，根据不等式的解集，求出的值，即可． 【详解】.解：令 解不等式，得：， 解不等式，得：， 如图所示， ∵不等式组只有个整数解，即，， ∴的取值范围为． 【考点题型十四】一元一次不等式组的其他应用（） 【例14】（23-24七年级下·河北承德·期末）如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于79”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的值不能是（    ） A．20 B．30 C．38 D．40 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运行程序正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据程序操作进行了两次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 解得， 只有选项D符合要求， 故选：D 【变式14-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得： 解得：． 故答案是：． 【变式14-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 (1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？ (2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分． (3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？ 【答案】(1)小亮的得分是72分 (2)参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分 (3)小王答对了17道题 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一元一次不等组的应用： （1）先根据表格列出二元一次方程组，求出的值，进而根据得分规则，列出算式进行计算即可； （2）设参赛学生要答对道题，总分才不会低于60分，列出不等式进行求解即可； （3）设小王答对了道题，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， 故对1题得5分，答错或不答1题扣2分， ， 答：小亮的得分是72分； （2）设参赛学生要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分； （3）设小王答对了道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， 答：小王答对了17道题. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 一元一次不等式和一元一次不等式组（14个考点梳理+14题型解读） 清单01 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 清单02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 清单03 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 清单04 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 清单05 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 清单06 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 清单07 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 清单08 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 清单09 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 清单10 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 清单11 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 清单12 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 清单13 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 清单14 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）交通法规人人遵守，文明城市处处安全，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）若想，且，则m的值可以是 (写出一个即可) 【变式2-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【考点题型三】不等式的解集（） 【例3】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式3-1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【考点题型四】一元一次不等式的定义（） 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【变式4-2】（22-23七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【考点题型五】求一元一次不等式的解集（） 【例5】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）写出一个满足不等式的的整数值为 . 【变式5-2】（23-24七年级下·河北张家口·期末）（1）解方程组； （2）解不等式，并写出非正整数解． 【考点题型六】在数轴上表示不等式的解集（） 【例6】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图所示，下面数轴表示某个不等式的解集，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则“□”盖住的符号是 （填“”“”“”或“”）． 【变式6-2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）（1）用你喜欢的方法解二元一次方程组： （2）解不等式并在数轴上表示解集： 【考点题型七】求一元一次不等式的整数解（） 【例7】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）若代数式的值不大于的值，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）一元一次不等式的负整数解是 ． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）整式的值为P． (1)当时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的最小负整数值．    【考点题型八】列一元一次不等式（） 【例8】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）语句“的与的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）用不等式表示“的3倍与2的差不大于”为 ． 【变式8-2】（22-23七年级下·河北邢台·期末）已知“的与x的2倍的差大于x与10的和”．    (1)试用不等式表示上述不等关系． (2)解（1）中的不等式，并在数轴表示此不等式的解集． 【考点题型九】用一元一次不等式解决实际问题（） 【例9】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于，则至多可打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 【变式9-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销．已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于，则该电商平台至多可以打 折销售． 【变式9-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，小志和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，小志和妈妈坐在一端，爸爸坐在另一端．三人的体重一共为，小志的体重是妈妈体重的一半．求小志的体重应小于多少千克？ 【考点题型十】求不等式组的解集（） 【例10】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）不等式组的解集为 ． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）解不等式组：，并求整数解． （2）计算：． 【考点题型十一】求一元一次不等式组的整数解（） 【例11】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（七年级下·河北秦皇岛·期末）写出不等式组的整数解 【变式11-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）解不等式，在数轴上表示解集： （2）解不等式组，并求其最大整数解． 【考点题型十二】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例12】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知关于的不等式组，下列说法不正确的是（    ） A．若它的解集是，则 B．当时，此不等式组无解 C．若它的整数解只有2，3，4，则 D．若不等式组无解，则 【变式12-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【变式12-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【考点题型十三】由不等式组解集的情况求参数（） 【例13】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若关于x的不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是 ． 【变式13-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）关于x的不等式组只有个整数解，求的取值范围． 【考点题型十四】一元一次不等式组的其他应用（） 【例14】（23-24七年级下·河北承德·期末）如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于79”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的值不能是（    ） A．20 B．30 C．38 D．40 【变式14-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【变式14-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 (1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？ (2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分． (3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$