福建省福州市福州恒一高级中学等校2025届高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷

2025届高三下学期第三次高考模拟考试卷 数学试题 一、单选题 1. 设集合A={x>4,B={=Z-4<x<7,则AB中元素的个数为( B.5 C.6 A.4 D. 7 2. 已知复数z满足(1+2i)z=3+4i,则复数2的共复数的虚部是() B.-2 A.2 C. 3. 已知向量ā-(x1),b=(1,2),若(2+)/(á-2),则x=( ) . B. C.-2 D. 2 tang () tan/B C. D. A.3 B.2 5. 如图,双头陀蝶可以看作是两个底面积相同的圆锥底面重合后拼接而成的,其中圆锥的底面圆心为O,两个顶 2 体积比为() P C.4 B.3 A.2 D.8 [-x2+3ax+a-1.x<1. 6. 若函数/(x)-{ C.2} 1B.22 A.2 D.#~2)#(1) 7. 函数/(x)-2sin(2x+)与函数g(x)=lnx的图象交点个数为( ) C.6 B.5 A.3 D.7 8. 已知函数/(x)的定义域为R,f(2x+1)为奇函数,/(x)+/(x+2)=2/(1),则( ) A. /(x)为奇函数 试卷第3页,共4页 B. f(x)的图象关于直线x-3对称 C. f(2x)的最小正周期为4 D./(2)的图象关于点()对称 二、多选题 9.为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100) 其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀·则下列说法正确的是( ) 参考数据:随机变量N(ug}),则P-<<+o)=0.6826,P(-2o<<+2o)=0.9544, P-3o<5<+3o)=0.9974 A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到85% D. 该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 10. 已知/(x)=x&+ax2}+hx-2.不等式/(x)<2的解集为(xx<1且x*-2),则下列说法中正确的是( ) A.函数f(x)的极大值点为1 B.函数/(x)的对称中心为(-1,0) D. 过点(-4.-18)且与曲线y=f(x)相切的直线有2条 11. 如图,曲线C是一条双纽线,曲线C上的点满足:到点F(-3.0)与F(3,0)的距离之积为9,已知点P(x,%)是 双纽线C上一点,则下列结论正确的是() A.点(3v2,o)在曲线C上 B. 双纽线C的方程为(x2+)2-9(x-y2) C.-1y。1 试卷第2页,共4页 三、填空题 直于x轴,若C的离心率为2,则AB的斜率为 14. 甲乙丙丁四人打循环赛,每两人之间都有一场比赛,已知乙丙丁三人胜率完全相同,而甲水平较高,面对三人 每场比赛胜者得一分,败者得零分,总分最高或同为最高者并列冠军,问:甲拿到冠军的概率 是_ 四、解答题 (1)求cosC的值; (2)若c=5.4BC的面积为、5,求△ABC的周长 (1)求证: 并求fa.)的通项公式; (2)记S.=aa+aa+.+a,求s. 试卷第3页,共4页 17. 如图,直四校柱ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形,BAD为锐角,E.F分别为梭4D.CD的中点,点M在 楼C.D上,且CM=3MD,A4=AB=4,点P在直线EM上 (1)证明:EM//平面ABF: (2)若直四梭柱ABCD-ABCD的体积为32、3,当直线FP与平面ABF所成角的正弦值最大时,求MP的长 18. 函数/(x)-e"-ax,aeR. (1)讨论f(x)的单调性 (2)当x>0时,/(x)>(x+1)恒成立,求a的取值范围; (3)证明:当a-1时,/(x)>hx+1. 与圆E的另一交点为C,PB与圆E的另一交点为D(C,D均不与圆E上下顶点重合) (1)求圆E的方程 (2)证明:直线CD过定点; (3)设(2)问中定点为O,过点C,D分别作直线/:y=-的垂线,垂足分别为M,N,记△CMO,△MNO,aDNO的 面积分别为S,S,S,试问:是否存在常数t,使得S,tS。,S.总为等比数列?若存在,求出t的值;若不存在, 说明理由. 试卷第4页,共4页 2025届高三下学期第三次高考模拟考试卷 数学 参考答案与解析 学校:___姓名: 班级: 考号: 一、单选题 1.【答案】B 【分析】首先求集合B,再求AoB,即可求解元素个数 【详解】B=(-3,-2,-1,0.1,2,3,4,5.6],A={ x4, 依题意可得AoB=(2.3.4.5.6),则AOB中元素的个数为5 故选:B 2.【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数2,再得共辄复数,即可得其虚部 5 3+4i(3+1)(1-2i) 55 则z二 12^ (1 故选:D. 3.【答案】B 【分析】首先求出2ā+5、-25的坐标,再根据向量平行的坐标表示得到方程,解得即可. 【详解】因为=(x,1),b-(1,2),所以2ā+-(2x+1,4),-2-(x-2,-3). 故选:B 4.【答案】B tand 【分析】先展开sin(g+)与sin(a一):再通过加减运算求出singcosB与cosasin的值:最后代入 tan/B 的转化式 计算. 5 tana sinacos/B 因为 tan/ cosasin 故选:B. 5.【答案】C 试要第1而 士1而 从而可得PO,OO与r的关系,再由圆锥体积公式可得结论. 圆锥 PO的侧面积为S.=x·PB,圆OO的侧面积S.=x·OB, 又S=2S,所以PB=2OB. 即、Po+r-2、Q0+r② r(舍), 6 所以PO-2r. 1Po 则圆锥PO与圆锥Q0的体积比为3= 故选:C. 6.【答案】A 【分析】先分别求两段函数单调递增得出参数范围,再根据分段函数解析式的特点得出分界点的不等关系,解出不 等式组即可判断参数范围. 【详解】二次函数y=-x2+3ax+a-1的图象开口向下. 对称轴为直线o“- 因为/f(x)在R上单调递增,所以y=x*+ln(x+e-1)在[1,+oo)上单调递增 则y=x"+ln(x+e-1),x>1单调递增; -1+3a+a-11+lne, 故的取值范围为. 故选:A. 7.【答案】B 【分析】在同一坐标系内作出函数y=/(x),y=g(x)的图象即可得解 【详解】函数/(x)=2sin(2x+)定义域为R,最小正周期为π,f(x)ms=2,当0<x<1时,f(x)>0, 函数g(x)=lnx在定义域(0,+oo)上是增函数,当0<x<1时,g(x)<0,当x>e*时,g(x)>2 因此函数/(x)=2sin2x+)与函数g(x)=lnx的图象交点横坐标只能在区间(1,e])上, 在同一坐标系内作出函数y=/(x),y=g(x)的部分图象,如图: 试卷第2页,共14页 )-g(x) 观察图象知,函数/(x)-2sin(2x+)与函数g(x)=hnx的图象交点个数为5. 故选:B 8.【答案】D 【分析】根据f(2x+1)为奇函数,得/(2x+1)+f(-2x+1)=0,从而可知f(2x)的对称中心:根据题意令x=0可 知/(1)=0,从而f(x)--f(x+2),结合对称中心可判断/(x)的对称轴与奇偶性和最小正周期 【详解】因为f(2x+1)为奇函数,所以f(2x+1)+f(-2x+1)-0. 所以(c)的图象关于点(10)对称,则/(2)的图象关于点(1-0)对称, D项正确; 因为函数f(x)的定义域为R,易知f(2x+1)的定义域为R, 因为/f(2x+1)为奇函数,所以f(2x0+1)=f(1)=0 则/(x)+f(x+2)-2f(1)-0,所以f(x)=-f(x+2). 根据f(x)的图象关于点(1,0)对称,得/(x+2)--f(-x) 所以f(x)-/(一x),故/(x)为偶函数,A项错误; 因为f(x+2)--f(x+2+2)=-f(x+4). 所以/(x)=f(-x)--f(x+2)-f(x+4),所以f(x)的最小正周期为4, 则/(2x)的最小正周期为2,C项错误; 根据/(×)为偶函数,且关于点(1.0)对称,最小正周期为4. 易知/(x)的所有对称轴为直线x一2k(keZ),故B项错误 故选:D. 二、多选题 9.【答案】BC 【分析】根据随机变量X~N(70,100),求得期望和方差,再结合正态分布曲线的对称性,求得相应的概率,即可 求解. 【详解】由题意知,随机变量X~M(70,100), 可得期望=70,方差。*-100,所以A错误,B正确; 试卷第3页,共14页 选$C中:由P$ 70)=0.5.P(60<$<80)=P-<$x<+)=0.68 6 所以Pt60)=P(60 t$70)+P(t70)=0.3413+0.5=0.841385 所以C正确: 0.9544 选项D中,优秀的概率为P(X90)=P(X70)-P(70<$<90)=0.5- 4_0.0228. 2 0.68260.1587, 不及格的概率为P($X<60)=P($ 70)-P(60 $X<70)=0.5-$$ 2 两者不同,所以D错误. 故选:BC. 10.【答案】BCD 【分析】利用三次函数图象的特征,结合不等式的解集可判断三次方程的根的分布,从而确定参数a,b,再结合导 数来研究三次函数的极值,来判断A选项,利用导函数的对称轴与三次函数的对称中心是同一个x的取值,来判断 B选项,利用函数解析式,结合自变量的范围来证明不等式是否成立,可判断C选项,最后利用导数思想来求过点 的切线,通过方程解的个数来判断满足条件的切线条数,从而可判断D选项 【详解】对于A:因为不等式/(x)<2的解集为(xx<1且xz-2), 即不等式x+ar}+b-4<0的解集为(xx<1且x*-2). 所以方程x+ar*+b-4=0的根为x=1和x=-2(二重根) 得(x+2)(x-1)=0,即x+3x-4-0 fa=3 所以 则/(x)-x+3x2-2,得/(x)=3x}+6x=3x(x+2). 令/(x)<0→-2<x<0,f(x)>0→x-2或x>0, 所以函数/(x)在(-2.0)上单调递减,在(-,-2),(0,+o)上单调递增 所以x=-2是/(x)的极大值点,故A错误; 对于B:由选项A知f(x)=x+3x-2 则/(-2-x)=(-2-x)+3(-2-x)-2---3+2 所以f(-2-x)+f(x)=0. 即/(x)的一个对称中心为(-1.0),故B正确; 只需/(2x+1)>-2~/u)>-2. 而/u)+2-+3}-(+3),由-3<<0, 得(u+3)>0,即/(u)>-2,所以/(2x+1)>-2,故C正确 对于D:由选项A知/(x)=x+3x*-2,f(x)=3x+6x 设在点(x.+3x-2)的切线方程为y-x+3x-2=3x+6x)(x-x) 由切线经过点(-4,-18)得,-18-(x+3x}-2)=(3x2+6x)(-4-x。) 整理得2x+15x2+24x.-16=0,即2x+8x2}+7x2+28x-4x-16=0 因式分解得:(x。+4)(2x+7x.-4)-0-(x。+4)(2x。-1)=0 此时存在两条切线满足题意,故D正确 故选:BCD. 试卷第4页,共14页 11.【答案】AD 【分析】利用曲线C的定义可判断A选项;在双纽线C上任取一点M(x,y),由MF·ME =9结合两点间的距离公 式可化简得出双纽线C的方程,可判断B选项;将曲线C的方程化为x&+(2y{}-18)x*+y+18y②=0,令(-x2可知 关于/*+(2y-18/+y*+18y2=0的方程有解,结合A>0可判断C选项:利用圆的定义、双纽线的定义以及勾股 定理可判断D选项 【详解】对于A选项,记点O(32.o),则loFl=32+3, 10l=3V2-3. 所以]oFl:1orl=(32+3)(3v2-3)-9, 所以点o(3v2,o)在曲线C上,A对: 对于B选项,在双纽线C上任取一点M(x,y),由题意可得MFl.MF -9, 即(x+3){}+(x-3)+-9,即[(2+2+9)+6x][(2+2+9)-6×]-81 即(x2+y+9){-36x-81,即(x2+})+18(x2+)-36x}-0 整理可得(x2+y){-18(x*-y),B错 对于C选项,由(2+”)}=18(x*-)可得x*+(2-18)x2+y4+18y=0, 令t-x”>0,则r*+(2y}-18)r+y4+18y2-0, 所以关于t2+(2y2-18)t+y4+18y2-0在[0,+0)上有解, 设该方程r^+(2y-18)t+y+18y=0在R上的两根分别为t、$, 所以△-(2-8)(①(-1))解得-#<},故=)o} 当-时#(-)1-}#---0、得 3 即点)在双线C上,故y的取值范不是1)C错: 对于D选项,圆2222} 过79 3/2 所以a-3 2,则c-a2--3,所以圆的两个焦点恰好为F、, 由圆的定义可得DFl+DF]-2a-36. 由DF1DF可得 DF^+DFP=EEP}=36 因为(|DF+ DED}=DE^}+DE^+2DElDE=36+2 $DElDE =5 4 试卷第5页,共14页 解得DFl:lDF]-9, 因此,QeC,D对. 故选:AD. 三、填空题 12.【答案】y=x+e-1 【分析】求出切点的纵坐标及切线的斜率,即可得答案 【详解】解:因为/(1)=c/(n)-(x-1) -+1+lnx: 2 /'(1)=1, 所以切线方程为y-e=x-1. 即y=x+e-1. 故答案为:y=x+e-1 13.【答案】3 .再根据斜率列出等式求解即可. 【详解】设双曲线题为26,则(60)6)(.0)e一12. -+. =e+1-3 c-aa(c-a)a(c-a) 故答案为:3. 7 14.【答案】 【分析】按甲拿冠军时的得分情况分类求解可得 【详解】由题意知,甲乙丙丁四人共进行C-6场比赛,且每人共参加C=3场比赛 故甲拿到冠军至少拿2分,至多拿3分,分类情况如下; 第一类:甲共得3分拿到冠军,即甲与乙丙丁三人的比赛均获胜拿到冠军 第二类:甲共得2分拿到冠军,即甲恰与乙丙丁三人比赛中2场获胜1场败,且其余三人得分均小于等于2分 记事件A-“甲共得2分”, B-“甲拿到冠军”, 则事件“甲共得2分拿到冠军”即为AB, 则AB-“甲共得2分未拿到冠军”,即甲恰与乙丙丁三人比赛中2场获胜1场败,且乙丙丁中有人得3分” 由ABUAB=A-“甲共得2分”,即甲恰输给乙丙丁中一人, 则P#_c(#().# 若乙丙丁中有人得3分,因为每人参加3场比赛,至多得3分, 则得3分的人必然是乙丙丁中赢得甲的人,且另外两人1人得1分,另1人得0分 故P#)_C#(2)#(#)C()# 故“甲共得2分拿到冠军“的概率为C.()()1-C()-# 试卷第6页,共14页