重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

秘密★启用前 【考试时间：5月15日15：00一17：00】 重庆一中高2027届高一下期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.若向量a=(-2,-1),b=(2,),a⊥b,则实数1的值为() 1 A.2 C.-2 D.- 2 2.已知复数z=-3+2i,则z·(1+)的虚部是() A.5 B.-5 C.5i D.-5i 3.如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是三角形A'B'O',若O'B=3, O'=2,则原三角形的面积为(） y A.4 B.6 A C.8 D.10 B: 4.设有两条不同的直线m,n和两个不同的平面α，B,则下列命题正确的是(） A.若alB,l∥a,则1川B B.若ml∥a,ml川B,则a川B C.若allB,nca,则nllB D若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n 5.已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c.cosC=a.cosA,则△ABC的 形状是（) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 6.如图，在梯形ABCD中，AB1DC,BC⊥AB,∠A=元，AB=2CD=4,E为线 段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋 转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（) D 28π A. B. 22元 3 3 C.7π D.6π A E 7,蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最 早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日 的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物 质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A,B,C,P, 1 BC=2√5，∠CAB=60,PA⊥面ABG PA-25,则该鞠（球）的表面积为() A.9π B.18π C.36π D.64元 8.如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC=√5，AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC 变化时，对角线BD的最大值为() A.3 B.4 C.V7+2W5 D.6+1 二、多项选择题本题共3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9如图所示，在正方体ABCD-AB,CD中，O为DB的中点，直线AC交平面CBD于 点M,则下列结论正确的是() D A.直线BC与直线CD所成角为60 B.AC⊥平面CBD C.M、O、C,三点共线 D.直线4G与平面BCD所成角的为号 10.已知函数)=3s如(@r+ce尾@>0外受)的部分图象如图所示，则下列说 法正确的是() (为数网的个对称中心 5π 11元 C.将f()的图象向左平移江 个单位长度后得到一个偶函数图形 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E为线段A的中点，AP=AB+4AD, 其中元，μ∈[0，]，则下列选项正确的是() AH=时，4P1ED 2 B.1=时，4P的最小值为 4 4 C.入=4时，三棱锥D-EBP的体积为定值 D。1+H=1时，直线4P与平面ED,B的交点轨迹长度为 4 三、填空题本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z满足z=3-2i,则 z+51 a-1 的值为 13如图所示，三棱合ABC-AB,C中，AB=2A,B,且三棱锥A-ABC的体积 VM-Bc=4,则三棱锥A-BCC,的的体积为 14.设g,马2为单位向量，满足2g-gs1,a=g+g,b=36+26若ā，6的夹角为日， 则cosB的最小值 四、解答题本题共5个小题，共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，底面ABC为直角三角形， AB=BC,D,E分别为BC,AC的中点. 求证：(1)AB//平面DEC: (2)若AA=4AB=2,求点E到平面ABC的距离. 16.(本题满分15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 sin A bsin B =1. sin B+sin C bsin A+csin B (1)求角C: (2)若c=2反，B=元，求△ABC的周长. 4 3 17.(本题满分15分)在平行六面体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD为正方形， AB=A4=2,∠4B=于侧面CD0G上底面ABCD. D (1)求证：平面ABC⊥平面CDD,G: B (2)求二面角A-AB-C的平面角的正弦值 18.(体题满分17分)如图，在梯形ABCD中，AB=2DC,E、F是DC的两个三等分点， G、H,是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足BP=1BC(0≤九≤1)·AP分 别交EG、FH于M、N两点，记AB=a,AD=b 当=分，Dd=l,@-l,∠DAB=牙时求示.c的值： ②诺A=子求他的值。 R 3)若AN=4AP,求4-2的取值范围， G H 19.(本题满分17分)三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次 发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡 重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=日 时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角日为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A,B,C所 对边长分别为a,b,c,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为日. (1)求证：a-PB+h-PC+c-PA=2g: sin (2)若A=20,是否存在常数1∈R,使得a2+b2+c2=2 be cos2日 若存在，求入的值：若不存在，请说明理由. (3)若8=30°，试判断△ABC的形状.