第10章 相交线、平行线与平移（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）
|
2份
|
109页
|
193人阅读
|
9人下载
内容正文：
第10章 相交线、平行线与平移思维导图
【类型覆盖】
类型一、相交线的规律
【解惑】如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（ ）
A．18 B．10 C．8 D．7
【答案】C
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2＝3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3＝6个交点，…；可知n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝ ，再将28代入计算即可．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2＝3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3＝6个交点；
…
n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝，
当＝28时，解得：n＝8或﹣7（舍）
故若有8条直线相交，最多有28个交点；
故选C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1个是解题的关键．
【融会贯通】
1．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】分析：首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的关系式，然后根据交点个数为27，列出关于n的方程，解方程求出n的值即可．
详解：∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1.即：
当n=3时，共有2个交点；
当n=4时,共有5个交点；
当n=5时,共有9个交点；
…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)=个.
解方程=27,得n=8或−7(负值舍去).
点睛：本题考查了相交线.
2．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个．
【答案】
【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可.
【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1.
即：当n=3时，共有2个交点；
当n=4时，共有5个交点；
当n=5时，共有9个交点；…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个.
故答案为：.
【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律.
3．观察图形，并阅读相关的文字，回答：如有9条直线相交，最多有交点 ．
【答案】36．
【分析】根据题意，结合图形可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）个交点．
【详解】∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，
而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，
∴当n＝9时，n（n﹣1）＝×8×9＝36．
故答案为36．
【点睛】此题主要考查了相交线，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
类型二、平移的性质求解
【解惑】如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：；；；；⑤阴影部分的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质得到，，，，据此可判断①；再由线段的和差关系可判断②；求出的长即可判断③；再由平行线的性质即可判断④；证明阴影部分的面积即可判断⑤．
【详解】解：由平移的性质可得，，，，故①正确
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
阴影部分的面积 ，故⑤正确；
故选：A．
【融会贯通】
1．如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．3
【答案】B
【分析】本题考查平移的性质，设，由题意得，根据，，可得，求解即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【详解】解：设，
∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴点与点的距离为．
故选：B．
2．如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号）
【答案】①③⑤
【分析】本题考查了三角形的面积和平移的性质，利用线段转化和面积转化，可以求解．
【详解】解：由平移性质可得，，，故①正确，②不正确；
阴影部分的周长为，③正确；
时，四边形的周长为，的周长比四边形的周长少，④不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴边上的高h为，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
3．如图，将沿所在直线向右平移得到，点C为延长线上一点，交于点E，平分，则 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平移的性质，平行线的性质及角平分线的定义．根据平移的性质，得，，由平分，得，再根据角平分线的定义“角平分线分得的两个角相等”，即可得出答案．
【详解】解：是沿射线平移所得，
，，
平分，
，
∵
∴
故答案为：．
类型三、平行线之间的距离
【解惑】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键．
依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案．
【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为，
分两种情况讨论如下：
①当直线在直线之间时，如图1所示：
此时与之间的距离是：；
②当直线在直线外时，如图2所示：
此时与之间的距离是：，
综上所述：与之间的距离是或．
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，，，．若，则与之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，求出和是平行线和之间的距离，根据平行线间的距离处处相等求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
2．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
【详解】解：
如图①，a与c之间的距离为；
如图②，a与c之间的距离为．
∴a与c之间的距离为或，
故答案为：或．
3．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是 ．
【答案】或/或
【分析】此题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【详解】解：如图1，直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
如图2，直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
综上所述，a与c的距离为或．
故答案为：或．
类型四、平行的性质与判定依据
【解惑】如图，，于点．
(1)若，则_______；
(2)若与互为余角．试说明：．
以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整．
解：因为（已知），
所以_______．
因为，
所以（ ），
所以（ ），
所以，
因为与互为余角（已知），
所以_______．
所以_______（等量代换），
所以（ ）．
【答案】(1)
(2)；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，余角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据可推出，从而得到即可得到答案；
（2）根据平行线的性质和判定即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：因为（已知），
所以．
因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同位角相等），
所以，
因为与互为余角（已知），
所以．
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行．
【融会贯通】
1．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点在上，点在上，，，
求证：．
证明：∵（已知），
（①______），
∴，
∴（②______），
∴（③______），
又∵（已知），
∴（④______），
∴．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
结合题意，根据平行线的判定及性质定理分析，即可得到答案．
【详解】证明：∵（已知），
（对顶角相等），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
2．填上每步推理的依据．如图，已知于点于，求证：．
证明：，
（___________）
（ ）
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（___________），
（___________），
（___________）．
（已知），
（等量代换），
（___________）．
【答案】垂线的定义；同位角相等，两直线平行；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可证明，则由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明，再证明即可证明结论．
【详解】证明：，
（垂线的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
3．问题情景：如图1，，，，求的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
．（______）
．
．（______）
，，
，
问题迁移：
（2）如图3，，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；（2），见解析；（3）或
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理，是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图2，过点作，
，
．
（两直线平行，同旁内角互补）
．（两直线平行，同旁内角互补）
，，
，，
；
（2），理由如下：
如图3所示，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：
过P作交于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴；
当P在延长线时，如图5所示：
同（2）可知：，，
∴．
综上所述，与、之间的数量关系为：当P在BA延长线时，或当P在延长线时，．
类型五、平移的解决实际问题
【解惑】实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地．
(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）；
(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）；
(3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）求出草坪种植的长和宽进行计算即可；
（2）利用平移求出小路所占的长和宽进行计算即可；
（3）设植物园的长为，宽为，由题意得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，此方案中草坪种植的面积为：；
（2）解：由平移可知，此方案中小路所占的面积为：；
（3）解：在这块空地上不能修建出符合要求的植物园，理由如下；
设植物园的长为，宽为，
依题意得，，
，
由边长的实际意义可得，
植物园的长为，，
，
，
，即植物园的长大于这块正方形空地的边长；
在这块空地上不能修建出符合要求的植物园．
【融会贯通】
1．如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置．
(1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图．
(2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
（1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置．
（2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置．
【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置．
（2）解：如图所示，即为两座桥的位置．
2．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
(1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔
(2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？
(3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由．
【答案】(1)；；
(2)长：，宽
(3)够用；理由见解析
【分析】（1）根据长方形面积公式进行解答即可；
（2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可；
（3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：；；
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则：
，
（负值舍负），
长方形场地的长，
长方形场地的宽．
（3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，
则，
（负值舍负），
长方形场地的宽，
长方形场地的长，
则两条小路的总面积为：，
将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元，
，
．
答：总预算5200元够．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质．
3．为实现“绿色江夏·和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为，宽为的长方形空地．
(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 ；
(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路，则这块草地的面积为 ；
(3)方案三：修建一个长是宽的倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)这个篮球场能用做比赛，理由见解析
【分析】本题考查了平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程等知识．熟练掌握平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程是解题的关键．
（1）由平移可知，小路的面积为，根据草地的面积为，计算求解即可；
（2）由题意知，草地的面积为，计算求解即可；
（3）设宽为，则长为，依题意得，，可求，根据，可知宽满足要求；由，，可知长满足要求；然后作答即可．
【详解】（1）解：由平移可知，小路的面积为，
∴草地的面积为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，草地的面积为，
故答案为：；
（3）解：这个篮球场能用做比赛，理由如下；
设宽为，则长为，
依题意得，，
解得，，
∵，
∴宽满足要求；
∵，，
∴长满足要求；
∴这个篮球场能用做比赛．
类型六、平行线中的旋转平行求t
【解惑】已知点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，其中，，，设．
(1)根据图1填空：______°．
(2)如图2，的平分线交直线于点，而且，求此时的度数．
(3)在（2）的条件下，将三角板绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当时，求射线的运动时间的值．
【答案】(1)270
(2)
(3)的值为秒或秒或60秒
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
（1）先作辅助线构造平行，根据平行线的性质求出，进而可求出的值；
（2）由平行线的性质求出，从而，由角平分线的定义得，进而可求出；
（3）分三种情况，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t．
【详解】（1）解：如图1，过点G，作，
，
，
，，
，
∴．
故答案为：；
（2），
，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵的平分线交直线于点H，
，
∵
∴，
即；
（3）∵射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．
∴
分三种情况：
当在下方时，
由题意，得，
∵，
∴，即，
解得；
如图，当在直线的上方时，
由题意，得，
∴．
∵，
∴，即，
解得；
当在直线的上方时，
由题意，得，
∵
∴
∴
解得；
综上可知，的值为秒或秒或60秒．
【融会贯通】
1．如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)在图1中________°，________°；
(2)如图2所示，现把三角板绕点逆时针旋转，当点恰好落在边上时，若比大，求的值；
(3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．当时，直接写出旋转时间的值．
【答案】(1)120，90
(2)n的值是8；
(3)12或48
【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）根据比大列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：120，90；
（2）解：∵比大，
∴，
解得，
∴n的值是8；
（3）解：存在，理由如下：
如图：由题意，得：，，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图：
∵，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为12或48．
2．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
【答案】(1)
(2)①5或35 ②或或
【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果；
（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图，当在上方时，，
，
，
，
，
．
如图，当在下方时，，
，
∵，
∴，
此时旋转了，
∴，
．
在旋转过程中，若边，的值为5或35．
②如图，延长，与交于H，由题意得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
如图，延长，与交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上：t的值为或或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
3．【综合与实践】折纸中的数学
【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)．
（1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°；
（2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】
（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示______；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
【答案】；
张华的说法正确，理由见解析；
在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行．
【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解．
根据折叠的性质可知；
根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确；
灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前；
根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时．
【详解】解：根据折叠的性质可知，
故答案为：；
张华的说法正确，
证明：根据折叠的性质可知，
由可知，
，
；
灯射线转动秒后，灯射线开始转动，
当灯转动秒时，灯转动了秒，
在灯P射线第一次到达之前，，
故答案为：；
解：灯的射线从转到需要的时间是秒，
在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，
灯的射线转动的速度是每秒，
灯从转到需要的时间是秒，
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
∴
，
解得：；
综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行．
类型七、平行线中的折线模型
【解惑】【问题提出】
（1）如图①，，，，求的度数；
（2）如图②，，点在直线上，点在直线上方，连接，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，，点在直线上，点在直线上方，连接，，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数以及探究角度之间的关系，作平行线是解题的关键．
（1）过点作．根据平行线的性质得出．最后根据角的和差关系即可求解．
（2）过点作．，．最后根据角的和差关系即可求解．
（3）过点作．，．进一步得出，再根据角平分线的定义得出，再结合（2）中的结论进一步即可得出答案．
【详解】解：（1）如图①，过点作．
因为，，
所以，．
所以．
因为，，
所以．
（2），理由如下：
如图②，过点作．
因为，
所以．
所以，．
所以．
即．
所以
（3）如图③，过点作．
因为，，
所以．
所以，．
所以．
所以．
又因为，分别是与的平分线，
所以，．
所以．
由（2）知，，
所以．
所以．
即．
【融会贯通】
1．（1）【探究感知】如图1，，求的度数是_______．
（2）【类比应用】如图2，，求的度数；
（3）【拓展延伸】如图3，与的平分线相交于点，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
[探究感知]：过点C作，根据平行线的判定和性质求解即可；
[类比应用]：过点C作直线，根据平行线的性质，得到，再判定，得到，即可求出的度数；
[拓展延伸]：过点F作，根据角平分线的定义，得到，，再根据平行线的性质，得到，，最后利用，即可求出的度数．
【详解】解：解：[探究感知]
过点C作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
[类比应用]
如图，过点C作直线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
[拓展延伸]
如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
．
2．在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（）的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【基础探究】
（1）如图1，三角尺角的顶点在上．若，则的度数为_________．
【巩固提升】
（2）如图2，小夏同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，她认为与是互余的，请你判断小夏同学的结论是否正确，并说明理由．
【类比探究】
（3）看到小夏的操作，小强进行了调整，他把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上，如图所示．当，他发现与依然存在某种数量关系，用含的式子表示这种数量关系是_________．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）小夏同学的结论正确，理由见解析（3）
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，有关三角板的角度计算．
（1）根据平角的性质得出，由平行线的性质求得，即可求解；
（2）过点作，利用平行线的性质即可求解；
（3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，小夏同学的结论正确，
理由如下：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．已知，解决下列问题：
(1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________．
(2)如图②，若，，则与的数量关系为__________．
(3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，角等分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
（）过作，过点P作，可得，即得，，得到，即可得，再根据角平分线的定义得，进而根据平行线的性质，得出即可求解；
（）过作，可得，同理（）解得即可求解；
（）过作，过点P作，可得，同理（）解得即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过作，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵分别平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图②，过作，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图③，过作，过点P作，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
类型八、平行线中的数量关系
【解惑】已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D．
(1)如图1，若，则______°；
(2)点E是射线上一动点（不与点C，D重合），OF平分交于点F，过点F作交于点G．
①如图2，当点E在线段上时，若，时，求的度数；
②当点E在线段的延长线上时，设，，求出和之间的数量关系．
【答案】(1)60；
(2)①；②．
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，也考查了角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解；
（2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，根据即可求解；②当在下方时结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
②如图，点在下方，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴
，
即．
【融会贯通】
1．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
【答案】(1)．理由见解析
(2)①；②或．
【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．
（1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可．
（2）①根据角平分线的定义，利用平角的定义由求出的度数，即可解决问题；
②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）解：①如图2中，
∵EM平分交CD于点M，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②猜想：或；
理由：当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，
，
∴，
，，
，
，
，
．
综上所述，或．
2．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系；
（3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值．
【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解．
（1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案；
（2）设，则，设，则，
由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案；
（3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，
，
，
，，
，
即；
（2）如图，
设，则，设，则，
由（1）知，，
同理可得，
，
，
，
由，得，
由，得，
将，代入，
可得；
（3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图，
根据题意得，，，
则，
直线与直线相交所夹的锐角为，
，
，
，
；
根据题意得，，，
直线与直线相交所夹的锐角为，
，
，
即，
；
根据题意得，，，
直线与直线相交所夹的锐角为，
，
，
即，
；
综上所述，或或．
3．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______度；
(2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系；
(3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明
②连接，与满足______时，．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析； ②当点在的延长线上时，；当点在线段上时，
(3)①；②
【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的关键．
（1）过点作，通过平行线性质求即可；
（2）①过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
②分两种情况：当在的延长线上时；当点在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）①根据（2）的结论得，即可得出结论；
②过点作交于点得出，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，过点作交于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当点在的延长线上时，，
过点作交于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
如图，当点在线段上时，，
过点作交于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
（3）①∵，，
由（2）得：，
∵
∴，
∴，
②如图所示，过点作交于点
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
类型九、平行线中的角平分线
【解惑】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则________°．
②猜想与的数量关系，并说明理由．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】(1)（1），
(2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题．
（1）如图1，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论；
（2）①如图3，过点作，过点作，然后根据平行线的性质得到，，由，，分别平分和，即可求得结论；
②同①即可求得结论；
③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论．
【详解】（1）如图1，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如图2，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）①如图3，过点作，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∵，分别平分和，
∴
∴；
②由（1）可知，，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
③由（2）②知，
同理可证：，
，
……
，
故答案为：．
【融会贯通】
1．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
（1）作，根据平行线的性质得到，再由，即可证明．
（2）先根据角平分线的定义得到，，再求出，根据（1）的结论推出，结合即可得到答案．
（3）利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据进行计算即可解答．
【详解】（1）如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵平分，
∴，．
∵，
∴．
由（1）可得，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（3）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴
．
2．已知，直线FE交AB于点，交CD于点，点在线段EF上，过作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系．
(3)如图3，当，且时，作的角平分线NG．把三角板OKI的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点制时针旋转，速度为每秒，当OI落在上时，三角板立即以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5或或或或．
【分析】（1）过点M作，利用平行线的性质可得，进而可求；
（2）过点M作，过点G作，设，则，设，则，求出，进而可得；
（3）分解析中5种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图过点M作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图过点M作，过点G作，
设，则，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
∴；
（3）解：①到达前，时，
，
解得；
②返回，时，
，
解得；
③当时，
，
解得；
④当时，
，
解得；
⑤当时，
，
解得；
综上可知，t的值为5或或或或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，分类讨论是解（3）本题的关键．
3．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可；
②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可．
（3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，过点作，
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，．
∵，
∴，
∴．
②如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
（3）过点作，过点作．
设，，
同理（2）可得：，，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，
∴，，
由（2）得，
∴.
∵的角平分线和的角平分线相交于点。
同理可得：
∴，
∴，
∴
类型十、平行线中的定值与比值
【解惑】小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确．
证明过程如下：
如图1：延长到点D，过点C作，
图1
∵，
∴_______，_______，
∵③_______，
∴．
(1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容；
(2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E．
①若，求的度数；
②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)①A；②B；③180
(2)①；②是定值，
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：
（1）根据平行线的性质，平角的定义，进行作答即可；
（2）①过点E作，进而得到，根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得出结果；
②由①可知：，根据角平分线的定义，三角形的内角和求出，进行计算即可．
【详解】（1）如图：延长BC到点D，过点C作，
∵，
∴，，
∵，
∴．
（2）①过点E作，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
②为定值，理由如下：
由①可得，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
即为定值．
【融会贯通】
1．同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足．
(1)填空：_________，_________；
(2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，3
(2)当B灯转动12秒或84秒时，两灯的光束互相平行
(3)存在，，．
【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可；
（3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得 ；
当时，如图，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：．
理由：设灯B射线转动时间为秒，
∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，
此时，．
2．如图，已知直线，，点，在直线上，且满足，平分．
(1)求的度数．
(2)若左右平移，在平移的过程中：
①求与的比值；
②是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【分析】（1）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数；
（2）①首先由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可得，，由，进而可得，即可解答，②首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【详解】（1）解：，
．
，平分，
．
（2）解：①，
，．
，
．
．
②设．
，
，
，
，
．
若，则．
解得，
存在．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质，角平分线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．
3．如图，在河岸和河岸（）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B发出射线自逆时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足．
(1)求a、b的值；
(2)如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（），问t为何值时，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，连接，，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作交于点P，则在灯A自转至之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)，，
(2)t为秒或秒时，两灯的光束互相平行
(3)不变，固定值为
【分析】本题主要考查了平行线的性质，二次根式的性质以及角的和差关系的运用；
（1）根据二次根式的性质即可得出a、b的值；
（2）根据灯A自转至之前和之后两种情况讨论，再结合两灯的光束互相平行根据题意列方程即可得到结论；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
【详解】（1）∵
∴，
解得：，
∴；
（2）设交于，交于，
∵两灯的光束互相平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
当灯A自转至之前时，，，，
∴，
解得；
当灯A自转至之后时，，，，
∴，
解得；
故t为秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）不变，
如图3，过C作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴．
【一览众山小】
1．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，
∵，， ，
∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，过点作交的延长线于点，交于点，延长至点，连接并延长交于点，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定条件“同位角相等，两直线平行”，由可证明，故①正确；由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及平行线的判定条件“内错角相等，两直线平行”，由可证明，再借助，可知，即有，进而证明，故④正确；然后证明，，由于没有条件证明和相等，可判定②和③不确定．
【详解】解：如图，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵
∴，
∵，
∴，
∵没有条件证明和相等，
故②和③不确定，
故正确答案是①④；
故选：B．
4．一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，．
【答案】或
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
分两种情况进行讨论：①当时；②当时，利用平行线的判定条件即可求解：
【详解】解：由题意得，，
如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：或；
5．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②如果，必有；③如果，则有；④；正确结论的序号有 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质，求出的度数判断①；根据，得到，进而求出的度数，判断②；根据平行线的性质，判断③，角的和差关系判断④即可．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴；故③正确；
∵；故④正确；
故答案为：①③④．
6．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）．
【答案】①④⑤
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断⑤；过点E作，根据平行线的性质证明即可判断④；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和②．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，故结论①正确；
，
，
，故结论⑤正确；
过点E作，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
， ，
，
但不一定等于，
∴不一定成立，故结论③错误；
∵不一定等于，
∴平分不一定正确，则结论②错误；
综上，正确的是①④⑤，
故答案为：①④⑤．
7．如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)当三角尺不动时，将三角尺绕点 C 转动到图2的位置，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角的计算．
（1）根据题意得，从而可得，由即可求出答案；
（2）过点 C 作 ， 易证，推出 ，由即可求出答案．
【详解】（1）解： ∵，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点 C 作 ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ．
8．如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先由，得到，则，进而得到，由此即可证明；
（2）先由平行线的性质得到，，再证明，结合进行求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
9．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”．
(1)若，在，，中，的“3系数补角”是______；
(2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小．
【答案】(1)
(2)是或；
【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）设，，再根据的位置，结合，再建立方程组，解方程组即可得到答案；
【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是；
故答案为：
（2）解：设，，
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
∴，
联立①②得，
，
解得，
即是；
如图，当在之间时，过作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，
，
解得，
∴；
如图，当在的下方时，
同理可得：，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，
，
解得：，
综上：是或；
10．如图，直线，一副直角三角板中，．
(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分；
(2)若如图2摆放时，求的度数；
(3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数；
(4)若图2中固定，（如图4）将绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出t的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)或15或20
【分析】本题考查了平行线性质、平行公理推论、角平分线的定义、旋转的定义，解题的关键是利用平行线性质添加辅助线，对于第（4）题的解答要注意分情况讨论．
（1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）过点作，利用平行线性质即可求得答案；
（3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别作出相应图形辅助线，结合平行线的性质及一元一次方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：如图，分别过点，作，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵和的角平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：设旋转时间为t秒，
由题意得每秒转，旋转时间为秒，
分三种情况：
①当时，如图，此时，
∴，
∴，
解得：；
②当时，如图，
∴，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，延长交于K，延长交于R，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
综上所述：绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．
6
学科网（北京）股份有限公司
$$
第10章 相交线、平行线与平移思维导图
【类型覆盖】
类型一、相交线的规律
【解惑】如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（ ）
A．18 B．10 C．8 D．7
【融会贯通】
1．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个．
3．观察图形，并阅读相关的文字，回答：如有9条直线相交，最多有交点 ．
类型二、平移的性质求解
【解惑】如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：；；；；⑤阴影部分的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【融会贯通】
1．如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．3
2．如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号）
3．如图，将沿所在直线向右平移得到，点C为延长线上一点，交于点E，平分，则 ．
类型三、平行线之间的距离
【解惑】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
【融会贯通】
1．如图，，，．若，则与之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．不确定
2．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是 ．
3．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是 ．
类型四、平行的性质与判定依据
【解惑】如图，，于点．
(1)若，则_______；
(2)若与互为余角．试说明：．
以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整．
解：因为（已知），
所以_______．
因为，
所以（ ），
所以（ ），
所以，
因为与互为余角（已知），
所以_______．
所以_______（等量代换），
所以（ ）．
【融会贯通】
1．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点在上，点在上，，，
求证：．
证明：∵（已知），
（①______），
∴，
∴（②______），
∴（③______），
又∵（已知），
∴（④______），
∴．
2．填上每步推理的依据．如图，已知于点于，求证：．
证明：，
（___________）
（ ）
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（___________），
（___________），
（___________）．
（已知），
（等量代换），
（___________）．
3．问题情景：如图1，，，，求的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
．（______）
．
．（______）
，，
，
问题迁移：
（2）如图3，，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
类型五、平移的解决实际问题
【解惑】实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地．
(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）；
(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）；
(3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由．
【融会贯通】
1．如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置．
(1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图．
(2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图．
2．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
(1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔
(2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？
(3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由．
3．为实现“绿色江夏·和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为，宽为的长方形空地．
(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 ；
(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路，则这块草地的面积为 ；
(3)方案三：修建一个长是宽的倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．
类型六、平行线中的旋转平行求t
【解惑】已知点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，其中，，，设．
(1)根据图1填空：______°．
(2)如图2，的平分线交直线于点，而且，求此时的度数．
(3)在（2）的条件下，将三角板绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当时，求射线的运动时间的值．
【融会贯通】
1．如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)在图1中________°，________°；
(2)如图2所示，现把三角板绕点逆时针旋转，当点恰好落在边上时，若比大，求的值；
(3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．当时，直接写出旋转时间的值．
2．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
3．【综合与实践】折纸中的数学
【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)．
（1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°；
（2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】
（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示______；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
类型七、平行线中的折线模型
【解惑】【问题提出】
（1）如图①，，，，求的度数；
（2）如图②，，点在直线上，点在直线上方，连接，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，，点在直线上，点在直线上方，连接，，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值．
【融会贯通】
1．（1）【探究感知】如图1，，求的度数是_______．
（2）【类比应用】如图2，，求的度数；
（3）【拓展延伸】如图3，与的平分线相交于点，求的度数．
2．在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（）的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【基础探究】
（1）如图1，三角尺角的顶点在上．若，则的度数为_________．
【巩固提升】
（2）如图2，小夏同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，她认为与是互余的，请你判断小夏同学的结论是否正确，并说明理由．
【类比探究】
（3）看到小夏的操作，小强进行了调整，他把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上，如图所示．当，他发现与依然存在某种数量关系，用含的式子表示这种数量关系是_________．（直接写出结果）
3．已知，解决下列问题：
(1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________．
(2)如图②，若，，则与的数量关系为__________．
(3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）．
类型八、平行线中的数量关系
【解惑】已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D．
(1)如图1，若，则______°；
(2)点E是射线上一动点（不与点C，D重合），OF平分交于点F，过点F作交于点G．
①如图2，当点E在线段上时，若，时，求的度数；
②当点E在线段的延长线上时，设，，求出和之间的数量关系．
【融会贯通】
1．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
2．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系；
（3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值．
3．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______度；
(2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系；
(3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明
②连接，与满足______时，．
类型九、平行线中的角平分线
【解惑】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则________°．
②猜想与的数量关系，并说明理由．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【融会贯通】
1．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数．
2．已知，直线FE交AB于点，交CD于点，点在线段EF上，过作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系．
(3)如图3，当，且时，作的角平分线NG．把三角板OKI的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点制时针旋转，速度为每秒，当OI落在上时，三角板立即以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出的值．
3．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
类型十、平行线中的定值与比值
【解惑】小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确．
证明过程如下：
如图1：延长到点D，过点C作，
图1
∵，
∴_______，_______，
∵③_______，
∴．
(1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容；
(2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E．
①若，求的度数；
②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
【融会贯通】
1．同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足．
(1)填空：_________，_________；
(2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知直线，，点，在直线上，且满足，平分．
(1)求的度数．
(2)若左右平移，在平移的过程中：
①求与的比值；
②是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
3．如图，在河岸和河岸（）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B发出射线自逆时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足．
(1)求a、b的值；
(2)如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（），问t为何值时，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，连接，，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作交于点P，则在灯A自转至之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围．
【一览众山小】
1．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，过点作交的延长线于点，交于点，延长至点，连接并延长交于点，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，．
5．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②如果，必有；③如果，则有；④；正确结论的序号有 ．
6．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）．
7．如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)当三角尺不动时，将三角尺绕点 C 转动到图2的位置，且，求的度数．
8．如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求的度数．
9．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”．
(1)若，在，，中，的“3系数补角”是______；
(2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小．
10．如图，直线，一副直角三角板中，．
(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分；
(2)若如图2摆放时，求的度数；
(3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数；
(4)若图2中固定，（如图4）将绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出t的值．
6
学科网（北京）股份有限公司
$$
资源预览图
