10.3—10.4 平行线的性质 平移-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

10.3—10.4 平行线的性质 平移 1、 平行线的性质 1. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 2. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 3. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 二、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等。 三、平移 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小。具体来说： 1. 平移后，对应线段平行且相等。 2. 平移后，对应角相等。 3. 平移后，对应点所连线段平行且相等。 4. 平移后，新图形与原图形是一对全等图形。 巩固课内例1:平行线的性质求角度 1．如图，直线，直角的顶点在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补分析作答． 由可得，然后根据已知条件进行角的和差计算． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵直角的顶点在直线上，若， ∴， 故选：B． 2．如图，已知，，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质结合邻补角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，，求的度数，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而根据平角的定义得到，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：∵， ∴． ∵点在上， ． 巩固课内例2:数学依据 1．古希腊地理学家埃拉托斯特尼曾巧妙估算出地球的周长．如图，A处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．B处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离d约为，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为．根据可以推导出的大小，依据是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据太阳光线看作平行光线，利用两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵太阳光线看作平行光线， ∴， 依据是：两直线平行，同位角相等， 故选：C． 2．如图，在四边形中，，且交于点，交于点，则与的位置关系是 ，其依据是 ． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的线性质，熟知平行于同一直线的两条直线互相平行是解题的关键． 利用平行线的线性质，平行于同一直线的两条直线互相平行得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， 故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行． 3．如图，点B，D在直线上，，，．试求的度数．请你阅读并补全下面的解题过程及推理依据： 解：因为（已知） 所以________（________________） 因为（已知） 所以________（等量代换） 所以（________________） 所以（________________） 因为 所以________ 所以________（________________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定，根据题意正确填空是解题的关键；根据平行线的性质和判定填空即可． 【详解】解：因为（已知） 所以（两直线平行，同位角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 因为 所以 所以（对顶角相等） 巩固课内例3:经过平移得到图形 1．下列各图中，三角形M平移后能与三角形N重合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移概念，根据平移概念逐项判断，即可解题． 【详解】 解：根据图形观察可知，三角形M平移后能与三角形N重合的是， 故选：B． 2．如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点 ，平移的方向是 ，平移的距离是 ． 【答案】 射线（或）的方向 线段的长（或的长） 【分析】本题考查了平移的方向、距离、性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移的方向、距离、性质等知识点解答即可． 【详解】解：是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点， 平移的方向是射线（或）的方向，平移的距离是线段的长（或的长）， 故答案为：；射线（或）的方向；线段的长（或的长）． 3．已知的顶点A平移到顶点D，请用两种不同的方法，在图中作出平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题涉及平移的知识．熟练掌握平移的定义是关键． 方法一：过点B作且使，过点C作且使，然后顺次连接D、E、F即可； 方法二：过点D作且使，过点D作且使，然后顺次连接D、E、F即可． 【详解】解：方法一，如图1； 方法2，如图2． 巩固课内例4:平移的实际问题 1．如图，在长为米，宽为米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移知识，能发现种植草坪的面积等于去掉所有小路后的长方形的面积是解题的关键．根据平移的性质可得，种植草坪的面积相当于长为米，宽为米的长方形的面积． 【详解】解：种植草坪的面积()． 故选：B． 2．如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，有一条的弯曲小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】本题考查了生活中的平移现象，通过平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键． 根据小路的右边线向左平移就是它的左边线，可得路的宽度是，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， ∴将小路右半部分的草地向左平移，与小路的左半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 因此这块草地的绿地面积是． 故答案为：200． 3．如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【答案】这块草地的面积为24平方米． 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为6米，宽为4米的长方形面积，据此计算求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为4米的长方形面积，即平方米， 答：这块草地的面积为24平方米． 类型一、生活中的平移现象 1．下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．落叶随风飘落 B．把打开的数学课本合上 C．升降电梯的上下移动 D．荡秋千运动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中平移的现象，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有C． 故选：C． 2．下列现象是数学中的平移的是 .（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 【答案】①② 【分析】平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 【详解】①．苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，符合题意； ②．电梯从底楼升到顶楼，只沿着竖直方向向上改变，符合题意； ③．骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不符合题意； ④．钟摆的摆动，是沿着弧线左右摆动，不符合题意； 故答案为①② 【点睛】此题考查的知识点：平移的概念；抓住：所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，是解答此题的关键． 3．下列图案可以由什么图形平移形成？ 【答案】见解析 【分析】根据平移的性质以及基本图形的组成分别得出即可． 【详解】如图所示， 虚线方框图形平移形成此图案， 图案分别由虚框中的图像平移而成． 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，正确根据已知图形得出基本图形是解题关键． 类型二、两直线平行同位角相等 1．如图，已知，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角互补，根据两直线平行，同位角相等，得，最后结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型三、两直线平行内错角相等 1．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角是，那么第二次的拐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质求出角的度数，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同． ∴水渠转弯前与转弯后方向平行， ∵第一次的拐角是， ∴， 故选：D． 2．如图，，平分，平分，如果，那么 ． 【答案】155 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 3．如图，直线被直线c所截，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的意义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据邻补角互补以及求出度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 类型四、两直线平行同旁内角互补 1．小明同学在学习过程中善于动手实践，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的相关内容后，他又开始了新的探索：将直角三角板按图示方式放置在直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 过点M作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，则，结合，即可解答． 【详解】解：过点M作， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：平分，， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 3．在西安的大雁塔广场、兴庆公园等地，不少市民会在闲暇时间进行“抖空竹”活动，将其作为一种健身和娱乐方式．小华在研究传统文化“抖空竹”时，把它抽象成数学问题：如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．过点作，根据平行于同一直线的两直线平行，可得，根据两直线平行，同旁内角互补，分别求出，，即可得出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ，， 根据平行线的性质，可得， ， ． 类型一、平行线之间的距离 1．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：C． 2．如图，地面上有一样长的电线杆分别与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离．他没有梯子，于是就测量了底端之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？ （填“对”或“不对”），依据是 ． 【答案】 对 两条平行线的所有公垂线段都相等 【分析】本题主要考查平行线间的距离，根据“两条平行线的所有公垂线段都相等”解答即可． 【详解】解：B，D之间的距离等于A，C之间的距离，说法正确，依据是：两条平行线的所有公垂线段都相等； 故答案为：对；两条平行线的所有公垂线段都相等． 3．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 类型二、平移(作图) 1．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形可以看作是三角形经过平移得到的，写出一种由三角形得到三角形的过程： ． 【答案】向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到△CDE． 【分析】根据平移变换的性质解决问题即可． 【详解】解：将△ABO向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到△CDE； 故答案为：向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到△CDE． 【点睛】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，平移，使点A移动到点D的位置． (1)画出平移后所得的，并写出对应点、对应边、对应角． (2)结合平移的定义，写出是由经过怎样的平移得到的． 【答案】(1)图见解析，点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应点，线段和线段，线段和线段，线段和线段分别是对应线段，和，和，和是对应角 (2)是由向右平移7个单位长度，向下平移1个单位长度得到的 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移图形之间的平移方式，平移的相关概念等等，熟知平移的相关知识是解题的关键． （1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，据此确定E、F的位置，顺次连接D、E、F即可；再写出对应角，对应点和对应线段即可； （2）点A和点D的位置可确定平移方式，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应点， 线段和线段，线段和线段，线段和线段分别是对应线段， 和，和，和是对应角． （2）解：由题意得，是由向右平移7个单位长度，向下平移1个单位长度得到的． 类型一、平移中的阴影部分 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点向点的方向平移6个单位长度到三角形的位置，，，则阴影部分的面积为（   ） A．40 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得到，，阴影部分的面积与梯形的面积一致，即可得到答案． 【详解】解：将其中一个沿点向点的方向平移6个单位长度到三角形的位置，，， ，， 阴影部分的面积与梯形的面积一致， ， ． 故选D． 2．如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向向右平移，得到三角形，连接，则图中阴影部分的周长为 cm． 【答案】15 【分析】本题主要考查平移的性质，将线段和转为已知线段求阴影部分周长即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：15； 3．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)10 【分析】（1）由平移的性质得，，，，，则，由此可得的度数；由得，由此可得的度数； （2）先根据，得，再根据三角形的面积公式可求出图中阴影部分的面积； 此题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． 【详解】（1）解：由平移性质得：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴； 类型二、平行线的性质与判定与数量关系 1．如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质可得，，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵， ∴， ∴； 同理可得， ∴，，， ∴， 则， ， 即 ∴； 故答案为：． 3．如图1，已知直线，点在直线之间，点分别在直线上，连接． (1)若，，则的度数为___________； (2)若，则与，之间存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图2，分别平分相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键． （1）过点P作，则根据平行线的性质得出，即可求出的度数； （2）同（1）的步骤求解即可； （3）借助（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，   ， ， ， ， ， ∵，， ． 故答案为：； （2）解：过点P作，   ， ， ， ， ， ∵， ； （3）由（2）可知，，， ∵分别平分， ∴， ∴， ， 即． 类型三、平行线的性质与判定与角平分线 1．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 2．如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ． 【答案】/100度 【分析】本题考平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，解题的关键是综合运用上述知识点，通过等量代换得出与的关系． 过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中，， 即， ∴， 故答案为： 3．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， 设 ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， ∵ 由（1）可得， ∴ ； 如图所示， 由（1）可得， ∴ 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述，或或 1．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质得到，由平角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：如图，因为直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，， 所以， 所以， 所以， 故选：C． 2．如图，点在上，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，并灵活应用． 利用平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①四边形的面积加上的面积为的面积， 四边形的面积加上的面积为的面积， 而和面积相等， 所以，四边形的面积与四边形的面积相等， 故①正确，符合题意； ②由平移的性质可得，，但与不一定相等， 故②错误，不符合题意； ③根据平移的性质可得， 所以，向右平移了， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图①是一辆竖直放在地面上的自行车，图②是其示意图，其中，，若，则 度． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 故答案为：65． 5．绿色出行，健康出行，你我同行．抚州市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等、同旁内角互补成为解题的关键. 先由，根据平行线的性质可得，再根据运用两直线平行、同旁内角互补即可解答． 【详解】解：∵、都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：． 6．如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ． 【答案】98米 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：98米． 7．如图，在四边形中，延长至点，延长至点，连接，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定即可证明． 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 8．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由 解：过点作直线， 已知，， 【方法运用】 （2）如图2，直线，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据（1）的方法过点作直线，进而根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， 两直线平行，内错角相等 已知，， 平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行，内错角相等 （2）解：过点作直线 ， ， ，， ， ， ， ， °． 9．已知，直线与、分别交于点、，，平分． (1)将线段沿平移得到线段（的对应点为），在图1中完成平移作图，并写出的度数为______； (2)如图2，若平分，求证：； (3)射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，平分，同时直线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，若直线和直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)2或6 【分析】（1）根据平移性质，过点F作射线，在射线上截取，再利用平行线的性质与角平分线的定义求出的度数即可； （2）利用角平分线的定义与平行线的性质证明，即可得出结论； （3）设直线和直线相交于H，直线和直线相交所夹的锐角为，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求， ∵， ∴， ∴， ∵平分． ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵， ∴ ∵平分． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （3）解：设直线和直线相交于H，直线和直线相交所夹的锐角为， 分三种情况： ①当，即时，即，如图， 由旋转可知：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当且，即时，即，如图， 则，，， ∴， 解得：； ③当，即时，，如图， 则，，， ∴， 解得：不符合题意，舍去； 综上，若直线和直线相交所夹的锐角为，运动时间t秒的值为2或6． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，平移作图，角平分线的定义，角的计算，三角形内角和，分类讨论是解第（3）小题的关键． 10．（1）观察计算：如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，， ①线段平移的距离是______， ②四边形的面积为______； （2）动手操作：如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线． ①面出平移后的折线； ②连接，，多边形的面积为______； [说明：在正方形网格中，1个格长为1个单位长度] （3）类比探索：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），请直接写出小路的面积． 【答案】（1）①3；②6；（2）①见解析；②6；（3） 【分析】本题考查作图－平移变换，解趣的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 （1）①利用平移变换的性质判断即可； ②利用平行四边形的面积公式求解； （2）①根据要求画出图形； ②利用分割法求解； （3）利用平行四边形的面积公式求解； 【详解】解：（1）①线段AB平移的距离是3； ②四边形的面积为． 故答案为：3，6； （2）①折线即为所求； ②多边形的面积为． 故答案为：6； （3）小路的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3—10.4 平行线的性质 平移 1、 平行线的性质 1. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 2. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 3. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 二、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等。 三、平移 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小。具体来说： 1. 平移后，对应线段平行且相等。 2. 平移后，对应角相等。 3. 平移后，对应点所连线段平行且相等。 4. 平移后，新图形与原图形是一对全等图形。 巩固课内例1:平行线的性质求角度 1．如图，直线，直角的顶点在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则 ． 3．将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，，求的度数，并说明理由． 巩固课内例2:数学依据 1．古希腊地理学家埃拉托斯特尼曾巧妙估算出地球的周长．如图，A处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．B处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离d约为，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为．根据可以推导出的大小，依据是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．如图，在四边形中，，且交于点，交于点，则与的位置关系是 ，其依据是 ． 3．如图，点B，D在直线上，，，．试求的度数．请你阅读并补全下面的解题过程及推理依据： 解：因为（已知） 所以________（________________） 因为（已知） 所以________（等量代换） 所以（________________） 所以（________________） 因为 所以________ 所以________（________________） 巩固课内例3:经过平移得到图形 1．下列各图中，三角形M平移后能与三角形N重合的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点 ，平移的方向是 ，平移的距离是 ． 3．已知的顶点A平移到顶点D，请用两种不同的方法，在图中作出平移后的图形． 巩固课内例4:平移的实际问题 1．如图，在长为米，宽为米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积（　　） A． B． C． D． 2．如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，有一条的弯曲小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的面积为 ． 3．如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 类型一、生活中的平移现象 1．下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．落叶随风飘落 B．把打开的数学课本合上 C．升降电梯的上下移动 D．荡秋千运动 2．下列现象是数学中的平移的是 .（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 3．下列图案可以由什么图形平移形成？ 类型二、两直线平行同位角相等 1．如图，已知，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，若，则 ． 3．如图，已知，，求证：． 类型三、两直线平行内错角相等 1．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角是，那么第二次的拐角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，，平分，平分，如果，那么 ． 3．如图，直线被直线c所截，．求的度数． 类型四、两直线平行同旁内角互补 1．小明同学在学习过程中善于动手实践，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的相关内容后，他又开始了新的探索：将直角三角板按图示方式放置在直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 3．在西安的大雁塔广场、兴庆公园等地，不少市民会在闲暇时间进行“抖空竹”活动，将其作为一种健身和娱乐方式．小华在研究传统文化“抖空竹”时，把它抽象成数学问题：如图，，，，求的度数． 类型一、平行线之间的距离 1．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．如图，地面上有一样长的电线杆分别与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离．他没有梯子，于是就测量了底端之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？ （填“对”或“不对”），依据是 ． 3．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 类型二、平移(作图) 1．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形可以看作是三角形经过平移得到的，写出一种由三角形得到三角形的过程： ． 3．如图，平移，使点A移动到点D的位置． (1)画出平移后所得的，并写出对应点、对应边、对应角． (2)结合平移的定义，写出是由经过怎样的平移得到的． 类型一、平移中的阴影部分 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点向点的方向平移6个单位长度到三角形的位置，，，则阴影部分的面积为（   ） A．40 B．42 C．45 D．48 2．如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向向右平移，得到三角形，连接，则图中阴影部分的周长为 cm． 3．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 类型二、平行线的性质与判定与数量关系 1．如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 3．如图1，已知直线，点在直线之间，点分别在直线上，连接． (1)若，，则的度数为___________； (2)若，则与，之间存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图2，分别平分相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 类型三、平行线的性质与判定与角平分线 1．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 2．如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ． 3．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 1．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在上，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图①是一辆竖直放在地面上的自行车，图②是其示意图，其中，，若，则 度． 5．绿色出行，健康出行，你我同行．抚州市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为 ． 6．如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ． 7．如图，在四边形中，延长至点，延长至点，连接，已知，，求证：． 8．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由 解：过点作直线， 已知，， 【方法运用】 （2）如图2，直线，若，，求的度数． 9．已知，直线与、分别交于点、，，平分． (1)将线段沿平移得到线段（的对应点为），在图1中完成平移作图，并写出的度数为______； (2)如图2，若平分，求证：； (3)射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，平分，同时直线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，若直线和直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 10．（1）观察计算：如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，， ①线段平移的距离是______， ②四边形的面积为______； （2）动手操作：如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线． ①面出平移后的折线； ②连接，，多边形的面积为______； [说明：在正方形网格中，1个格长为1个单位长度] （3）类比探索：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），请直接写出小路的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$