精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期期中质量调研数学试题

2024-2025学年上海市华师大二附中高一年级第二学期 期中数学试卷 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分. 1. 若是第四象限角，则点在第_____________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据正、余弦函数的符号法则，得，,即可得到答案. 【详解】是第四象限角，则， 故点在第三象限， 故答案为:三 2. 已知点是角的终边上一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用诱导公式及终边上的点求函数值即可. 【详解】. 故答案为： 3. 已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的弧长及面积公式计算求出，最后计算求出圆心角即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 所以， 所以，所以，， 所以这个扇形圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 4. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 5. 若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________. 【答案】4 【解析】 【分析】先计算，，，再利用求模公式计算. 【详解】由题意可得， ， ， 则 . 故答案为：4. 6. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式结合均值不等式得到，再利用诱导公式化简得到答案. 【详解】根据题意：，故， ， 当，即时等号成立. . 故答案为：. 7. 已知，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质有，结合已知有且，再应用诱导公式求目标函数值. 【详解】由，而， 所以，故且， 所以， 所以. 故答案为：1 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】令，函数定义域为，关于原点对称， 又，则函数是奇函数， 又函数和在上都单调递增，则函数在上单调递增， 不等式， 因此，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 10. 如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ，    在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 11. 已知函数，则关于的方程：的实根个数为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】先化简，再设，将问题转化为和的交点问题，数形结合得到其交点的范围，再次数形结合即可得解. 【详解】因为 ， 令，，则换元整理为， 作出图像和在上的大致图象， 由图可知两函数在定义域内有两交点， 即方程在定义域内有2个实根分别为，， 再作出的图像，用和与之相交，共有8个实根. 故答案为：8 12. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【详解】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线的坐标运算可得或，即可根据方向求解. 【详解】由与共线可得，故，解得或， 由于与方向相反，故，则，故， 故选：A 14. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据附近的函数值即可排除BC；根据的符号即可排除D. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 当且时，，故排除BC； 又，故排除D. 故选：A. 15. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】（）的周期为和的最小公倍数，然后验证得到正整数所有可能取值即可. 【详解】（）的周期为和的最小公倍数， 所以为和的最小公倍数，所以，所以， 因为，，所以为250的约数，为5的整数倍，为偶数， 所以， 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 所以，所以满足条件的正整数的所有可能取值有4个. 故选：C 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，，表示，利用数量积的运算律计算可比较大小. 【详解】 ∵，∴， ∵，∴. ∵，∴. ∵依次是边的四等分点（靠近点）， ∴， ， ， ∴ ， ， ， ∴. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用表示，结合数量积的运算律计算，即可比较大小. 三、解答题 （本大题满分78分，17、18题各14分，19、20、21题各18分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知，，，. （1）分别求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由、范围得范围，结合缩小范围，再用平方关系求，同理可求； （2）考虑到，用两角和的余弦公式求得，用二倍角变形公式求，再结合范围即可求出. 【小问1详解】 因为，， 所以，又因， ，故， 因为，又因， 则，则. 【小问2详解】 因为； 所以 ， 因为， 则得， 因，故. 18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． （1）求，； （2）设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合数量积求模长即可； （2）根据题意可得，结合数量积列式求解即可. 【小问1详解】 因为，是两个夹角为的单位向量， 所以，， 又，， 所以 ， 又， 所以． 【小问2详解】 因为，． 若是以为斜边的直角三角形，则， 即， 可得， 即，化简得，解得， 所以存在满足条件． 19. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）若为线段上一点，且，求实数的值； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理列方程组进行求解; （2）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可. 【小问1详解】 设，则， 所以，解得. 【小问2详解】 记， ， 设， 则，， ，， 所以当，即时，取得最小值为. 20. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解； ②由三角形面积公式及向量数量积求解； （2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解； 【小问1详解】 ①在 中，由正弦定理得， ，有， ， ， ，，又， ； ②由①知，则 的三个角都小于， 由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以 . 【小问2详解】 由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. 21. 定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； （1）已知，判断它是否为“函数”； （2）若函数是“函数”，当，，求在上的解. （3）判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 【答案】（1）是“函数” （2） （3）是，，， 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可； （2）根据函数新定义结合正弦函数余弦函数值域计算求解； （3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参. 【小问1详解】 若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立， 即，即对任意的实数恒成立， 则， 解得， 所以是“函数” 【小问2详解】 因为函数是“函数”，所以， 由于当，， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 则， 所以当，， 令，则， 所以或，即或， 因为，所以 故在上的解为. 【小问3详解】 由题可得：， 则，其中，且， 由于，可化为， 即 由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有： 解得：， 由，解得： 所以函数为“函数，其中，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市华师大二附中高一年级第二学期 期中数学试卷 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分. 1. 若是第四象限角，则点在第_____________象限. 2. 已知点是角的终边上一点，则______． 3. 已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为__________. 4. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 5. 若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________. 6. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_______． 7. 已知，则__________. 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是_____. 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 10. 如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 11. 已知函数，则关于的方程：的实根个数为__________. 12. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 或3 14. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 15. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题 （本大题满分78分，17、18题各14分，19、20、21题各18分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知，，，. （1）分别求和的值； （2）求的值. 18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． （1）求，； （2）设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）若为线段上一点，且，求实数的值； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 20. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 21. 定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； （1）已知，判断它是否为“函数”； （2）若函数是“函数”，当，，求在上的解. （3）判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $