河南省八市2024-2025学年高三下学期5月考前适应性考试数学试题

秘密★启用前 河南省普通高中2024一2025学年 高三考前适应性考试 超 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知i为虚数单位，则，+3i 3-i 菊 A.3i B.i C.-i D.- 2.已知集合A={-4,-3,-2,-1,0,1,2},B={x|x2-x-12<0},则A∩B= A.{-2,-1,0,1,2} B.{-1,0,1》 C.{0,1,2} D.{-3,-2,-1,0,1,2} 3.已知向量a=(3-m,3),b=(2,m+4),若a-3b|=|a十3b|,则实数m= A.3 B.6 C.-6 D.-18 4.已知0<g<a<受，且tan(a-2p)=l,tan(a+29)=2,则tan2a= A.-3 &品 C.-31o 3 10 D.10 5.已知a=3°.2，b=log52,c=log32,则 ☒ A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a 号 6.设双曲线C:。一。=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F,过F,的直线1与C交于 A,B两点，其中点A在第-象限，点B在第二象限，若△AF2B是以∠AF,B为直角的等 数学试题第1页（共4页） 腰直角三角形，则C的离心率为 A.2 B.√2 C.3 D.3 7.若函数f(x)= x3-3x2+ax+2a-5,x≤1， 是定义在R上的增函数，则实数a的取值范 alogax+2a,x>1 围为 A.(1,8] B.[3,7] C.[4,7] D.(4,18] &.已知A>0,w>0,函数f(x)=Asin w的图象与函数g(x)=Asin(z+）的图象相邻的 三个交点分别为B,C,D,若△BCD是边长为12的等边三角形，则函数F(x)=f(x)十 g(x)的最大值为 A.6 B.63 C.12 D.123 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为8.0,8.5,9.0,8.0,8.5,5.5,8.5，关于 这组数据，下列说法正确的有 A.这组数据的中位数大于平均数 B.这组数据的80%分位数为8.5 C.这组数据的众数为8.0 D.去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大 10.在如图所示的透明的正三棱台形容器ABC-A1B,C1内注入一些水（容器厚度忽略不计）， 3 水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为？，AB=6, A1B,=2,正三棱台形容器ABC-A,B,C1的高为2，下列结论正确的有 4正三棱台形容器ABC-A1B,C的体积为263 B.正三棱台形容器ABC-A:B,C1的侧面积为8√6 C.等边三角形DEF的边长为3 523 D.水的体积为9 1.已知圆0：x2+y2=a,且a>2,正方形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(1,1), B(-1,1),C(-1,一1)，D(1,-1),P(xoy)是正方形ABCD边上的动点，过坐标原点O 数学试题第2页（共4页） 作直线l:xox十yoy=a的垂线，垂线与l交于点Q,点Q的轨迹记为曲线T,则下列结论 正确的有 A.直线l与圆x2十y2=a相切 B.曲线T的周长为2aπ C曲线r所围成图形的面积为1+》 D.圆O:x2+y2=a与曲线P没有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x>0,则4红+1二的最小值为 1.已知函数f)=ln兰2一为奇函数，则实数a 14.如图，有三个不同单位的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（用序号1~6表示）上 开会，则同一单位的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同单位的另一个 人不能坐6号座位)也不能左右相邻就坐的概率为 4 桌子 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3a一csin B=√3 bcos C,△ABC的 5√3 面积为 4 (1)求角B: (2)求ac的值： (3)若点E为AC的中点，BE= ,求△ABC的周长. 数学试题第3页（共4页） 16.(15分) 在等差数列{a.}中，a=1,an=21.数列6.)的前n项和S.=3-(得). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)求数列{a.·b.}的前n项和T. 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,AB⊥AP,AB=AC=4,D,E分别为BC,AC的中 点，PA=PE=2. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB; (2)求平面PED与平面PBC的夹角的余弦值. 18.(17分) 已知期国C兰 +方=1a>6>0)经过点A(2,1D,离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线1交椭圆C于M,N两点（均异于点A),且AM·AN=0,则直线1是否过定 点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由 19.(17分) 若函数F(x)在开区间I内满足：3x,∈I(i=1,2,…,n)(n≥2，n∈N),y=F(x)在 x=x:处的切线的斜率均为m(m∈R),则称F(x)为I内的“n-m缘分函数” (1)判断f(x)=lnx一x2+2x是否为(0，+c∞)内的“2-3缘分函数”，并说明理由： (2)若g(x)=-ln工-x2+ax为（行1）内的？-3缘分函数”，求实数a的取值范围： (3)证明：h(x)=(x2-2.x+2)e- 女2-2znx+2x不是(0，+o∞)内的n-1缘分函数” (n≥2，n∈N'). 数学试题第4页（共4页）河南省普通高中2024一2025学年 高三考前适应性考试 数学 参考答案 1B【标-得部-培- 3×1'+a×1+2a-5≤2a,得a≤7，所以a的取值 范围为3≤a≤7. 故选B 故选B. 2.A【解析】由x2一x-12<0,得-3<x<4,故 B={x|-3<x<4},故A∩B={-2,-1,0. &.B【解析】令Asin=Am(ar十），得sin r 1,2}. 故选A osr,则nar 3.D【解析】由a-3b|=a+3b|,得a·b=0,故 3 2(3-m)+3(m十4)=0，解得m=一18. 2 COs=0,即tanr=3,又△BCD是边长为 故选D. 12的等边三角形，则吾=号=6，故。=吾，由 4.A【解析】由题意得tan2a= π tan(a-23)+tan(a+2g)_1+2 1-tan(a-29)tan(a+29)-1-1X2=-3. am吾=5，得音=吾十，k∈么当长分别取 0,1,2时，3个相邻的交点分别为x1=2,x=8, 故选A x=14,又△BCD的高为63，故f(x1)= 5A【解标10<16g,2<log5=号=1og3< 3 2,解得A=6,故F(x)=f(x)+ log2<1=3<30,故a>c>b. 故选A. gr)-6n吾x+6n(吾r+）-6w5(血吾x+ 6.C【解析】设|AFz|=|BF:|=t,则|AB=√2t, 又|BF,|-BF,|=2a,AF,|-|AF:|=2a,故 2o看）)=6v3sin(后x+,故函数F)- |AF1=2a+t=√2t+t-2a,放t=2√2a, f(x)十g(x)的最大值为63， 设半焦距为c,在△BF,F:中，由余弦定理，得 故选B FF:=BF+BF:-2BF 9.ABD【解析】从小到大排序为5.5,8.0,8.0,8.5， |BF:cos135°， 8.5,8.5,9.0. 故4c=(22a-2a)+8a2-2×(2√2a-2a)X 对于A,平均数为号×(6.5十8,0十8.0十8.5十 2a×(-》 8.5十8.5十9.0)=8.0，中位数为8.5，故A正确： 化简得号=3，故C的高心率为后。 对于B,7×80%=5.6,故80%分位数为8.5，故B 正确： 故选C. 对于C,众数为8.5，故C错误： 7.B【解析】当x>1时，y=alog.r十2a单调递增， 对于D,去掉一个最低分和一个最高分后，平均数 1 故a>1:当x≤1时，若y=x3-3.x2十a.x+2a-5 为后×(8.0+8.0+8.5+8.5+8.5)=8.3，故D 单调递增，则y'=3x2一6.x十a≥0在区间 正确。 (一∞，1门上恒成立，只需y'm≥0，即当x=1时， 故选ABD, 3-6+a≥0，得a≥3.若函数f(x)= x3-3.x2+a.x+2a-5,r≤1 10,AC【解析】易得等边三角形ABC的面积为？× 是增函数，则1 alog r+2a,>1 6×6×sin60°=9v3,等边三角形AB,C,的面 ·数学答案（第1页，共5页）· 1 积为2×2×2Xsin60°=√5， P(xay。)是正方形ABCD边上的动点，故 |OP≤2，又a>2,故点P(xoyo)在圆x+ 1 由棱台体积公式得VAA,4=3X2× y2=a内，即xi+y<a, (S么十S△A,品，G,十1SaA度SA,H,G)= 3×2X 圆心0(0,0)到直线1的距离d= x十y (93+3+V√93×w3)= ，放A正确： 26W3 则直线l与圆x2十y°=a相离，故A选项错误； 设BC的中点为M,B,C,的中点为M1,三角形 若P(1,0),则有x=a,此时l:x=a, ABC的中心为O,三角形A,B,C,的中心为O,, 当xm=1,一1≤y。≤1且y。≠0时，直线1：x十 则MM:为侧面梯形的高，如图在截面 yny=a过定点T(a,0),由-1≤ya≤1且yo≠ AA,MM中， 0,直线！的倾斜角。的取值范围为[至，)U (受] 因为OQ与直线1垂直，综上曲线P是以OT为 0 O01=2,AM=35,A,M1=3,又A0=2OM 直径的右半圆，如图所示， A0=20,,放MM,=2+ ，所以正三棱台形容器ABC-A,B,C的侧 4v3 面积5m=3××2+6)×4=165,放B 1 3 其余类型同理可得，故曲线T如图所示， 错误： 了 将正三棱台形容器ABC-A1B,C,的侧棱延长交 于点P,由相似比可得三棱锥P-ABC的高为3， 段三角形DF的中心为0，放胎-品 3 21 3=2,故DE=3,故C正确： 1 等边三角形DEF的面积为2X3X3×sin60° 故曲线r的周长为2ax:面积为+受)a,放B, 9w3 3 ,则水的体积为Vm=号× C选项都正确： (SAAx十S△e十VS△A度rS△EF）=3 3 2 又0与自线r上点的距离1≥，且。>2，放口 633 8 ，故D错误. >√a,故圆O:x十y2=a与曲线P没有公共点， 故D选项正确。 故选AC 故选BCD. 11.BCD【解析】如图， 12.3【解析】由x>0,得4r+1二工=4r+1 -1≥ x 2…-1=4-1=3,当且仅当=子即 x=之时等号成立，放4红十一的最小值为3 1 ·数学答案（第2页，共5页）· 13.-1【解桥1/)=ln(2-a） 即c2十a2+ac=49, (10分) 又ac=15,故c2+a”+ac=(a+c)2-ae=49, Inaz+2a+4) ,-f(-x) 得a十c=8,a2+c2=34, (11分) x-2 由余弦定理得，b2=a十c2一2 accos B=19, 故b=v19, (12分) 又-f(-x)=fx),故1n(二-2 故△ABC的周长为8+19 (13分) a.r+2a+4 ) 16.解：1)数列{a.)的公差d=a二a=21-1 10-5 2, 故 -x-2 (2分) x+2u+4 -4r+2a+40,解得a=-1. x-2 所以a。=a:+(n-5)d=11十2(n-5)=2n+1. 检验：当a=-1时，f)=n告的定义城为 (4分) (2)由S=3- ,得b1=S,=3-1=2. (一∞，-2)U(2,+∞)，定义域关于原点对称. 14.号【解折】由题意1号，2号、3号座位只能安排 (5分) 当n≥2时=3-(） (6分) 三个不同单位的代表，故1号，2号，3号座位的安 排方法有A种，4号，5号、6号座位的人不能和 则6.=S.-5=3-(得)-3-（传）] 正对面座位的人同单位，只有2种安排方法，故同 一单位既不正对面也不左右相邻有2A(种)不同 -(传)+3)=2()· (7分) 坐法，同一单位位置上的两名代表又可换位，故总 b,=2也符合上式，故数列(b.}的通项公式为 共有2AAAA=96(种)不同的坐法，故所求概 率为0品 6.=2(） (8分) 15.解：(1)由正弦定理得，√3sinA-sin Csin B= 8由①2)得a,·6=22m+1(传）， 3 sin Bcos C, (1分) (9分) sin A sin [x-(B+C)]=sin (B+C)= 则T.=2×3×(号)+2×5×（传）+2×7× sin Bcos C+cos Bsin C, 3sin A-sin Csin B=3 (sin Bcos C+ 号)+…+22m+(G).① (10分) cos Bsin C)-sin Csin B=√5 sin Beos C,(2分) 化简得v3 cos Bsin C-sin Csin B=0, 3T.=2×3×(得)+2×5×（日）+2×7× 又sinC≠0，故tanB=、3, (3分) (号）广++22m+10(得）广.@ (11分) 义Be0,x,放B= (4分) ①-②得，号T.=2×3×(兮)°+4×(（得）+ (2)由△ABC的面积为15,3 4 ()+…+(得）)-22m+1(得）广.12分) 故sin B-aW 2cx3_15v5 2 4 (6分) -()》 得ac=15. (8分) 1- -2x2+1(3广 (3)因为点E为AC的中点，所以BA+BC= 2BE. 8-(n+8)(传广， 故|BA+BC1=2BE|=7, (9分) 故/TBA2+BC2+2BA·BC=7, 所以T.=12-2m+0(得）) (15分) ·数学答案（第3页，共5页）· 17.解：(1)证明：因为AC=4,PE=2,则PE= 1 (1分) AC. (1分) 3 b 1 又E为AC的中点，故PA⊥PC, (2分) 又离心率为？，故。 2 (2分) 由AB⊥AC,AB⊥AP,AC,APC平面PAC, 解得a=2√2，b=、2. (3分) AC∩AP=A,故AB⊥平面PAC, (3分) 又PCC平面PAC,故AB⊥PC, (4分) 故椭圆C的方程是写+苦-1. (4分) AB,PAC平面PAB,AB∩PA=A, (5分) 故PC⊥平面PAB. (5分) (2直线1过定点（停，-》 又PCC平面PBC,故平面PBC⊥平面PAB, 当直线1的斜率不存在时，直线/的方程设为x=. (6分) (2)因为D,E分别为BC,AC的中点，故 不妨令MW2-)N(.-2-) DE∥AB, (6分) 又AB⊥平面PAC,故DE⊥平面PAC,(7分) 如图，以E为坐标原点，EA的方向为x轴的正方 由Ai.AN=0得，u-2+1-(2-)=0. 向，ED的方向为y轴的正方向，平面PAC内作 解得1=号或1=2（合去）。 (7分) 垂直于AC于点E的直线为x轴，建立如图所示 的空间直角坐标系E-xy 当直线1的斜率存在时，设直线（的方程为y kx+m,M(ry).N(z:.y:). y=kx十m, 整理得(4k2+1)x2+8km.x十4m°-8=0，(8分) 4>0,x1十x=- 8km 则E(0,0,0),D(0,2,0),C(-2,0,0), (9分) P1.03) (8分) Ep=1,03),Ei=(0,2,0).C庐=(3,03) 又y1=k.x1+my:=kx:十m, CD=(2,2.0) (9分) 由AM·AN=0得，(x-2)(x-2)+ 设n=(x1y1之)为平面PED的法向量， (y1-1)(y:-1)=0, (10分) 即(x1-2)(x4-2)十(kx1+m一1)(kxg十m-1) Ei=0…即+5=0 则 取x1=-5, =0, n·Ei=0,2y=0, 得(k十1)x1x:+(km一k一2)(x1十x2)十4+ 所以n=(-√3,0,1). (11分) (m-1)=0, (11分) 设m=(x2y:·2)为平面PBC的法向量， mC0即小3x,+5=0 故(k+1)· 4m-8 一8kn十 4k2+1 +(km一k-2)）·4k+1 则 取x2=1,所 m·CD=0,2x+2y:=0, 4+(m-1)*=0, (12分) 以m=(1,-1,-√3)， (13分) 化简得12k”+16km+5m2-2m-3=12k2+ 故cos(n,m)|= n· v15 16km+(5m十3)(m一1)=(6k+5m+3)(2k+m nm 5 -1)=0, (13分) 故平面PED与平面PBC的夹角的余弦值为 即6k+5m+3=0或2k十m-1=0, (14分) 15 若2k十m一1=0，则y=kx十m=k(x一2)十1， 5 (15分) 过点A(2,1),与题意不符。 (15分) 18.解：)由椭圆C:+=1(a>b>0)经过点 若6k十5m十3=0，期y=x十m=k-号） ·数学答案（第4页，共5页）· 直线过定点（停-） (16分) 即a的取值范围为(2、2+3,6). (10分) 综上，直线1过定点（停一》 3)证明：由（红）=(e2x+2)e-2x (17分) 2xln z+2x,h'(x)=x'e'-x-2In x, 19.解：(1)不是. (1分) (11分) 理由如下：由f(x)=nx-x十2x,得f'(x)= 1-2x+2 (2分) 若A)=6-2x+2e-7-2xnx+2a 是(0，十∞)内的“n-1缘分函数”(n≥2，n∈ 若f(x)=1nx一x十2x是(0，十∞)内的“2-3 N),则h'(.x)=x'e-x-2lnx=1在x∈(0， 缘分函数”， 十o∞)内有n(n≥2，n∈N)个不相等的实数根. 侧则f'(x)=1-2x+2=3,即2x2+x-1=0有 q(x)=x'e-x-2ln x-1,x>0, 两个不相等的正根， (3分) 则gx)=(x2+2x)e-1-2=+2(rg 但2x+上一1=0的两根分别为号和-1，故不成 1),x>0. 立，即f(x)=lnx-x+2x不是区间(0，+oo) 令p(r)=x“e-l,x>0, 易知(x)在(0，十∞)上单调递增，中(0)=一1< 内的“2-3缘分函数” (4分) 0,g(1)=e-1>0. (12分) (2)g()=-In x-x+ar, 故存在x。∈(0,1)，使得g(xo)=0,即xe一 得g'(x)=-1-2x+a, (5分) 1=0. 为（行）内的2-3 故在(0，x)上，g(x)<0,即q'(x)<0,故q(x) 若g(x)=-lnx-x2+ax 单调递减： (13分) 缘分函数”， 在(xn,+oo)上，p(x)>0,即q'(x)>0,故g(x) 则g'(x)=一 -2x十a=3,即a-3=二+2x 单调递增， x 故q(x)mm=q(xo)=xie°-x。-2lnx。-l, 在区间（号）内有两个不相等的实数根。 (14分) 也即直线y=a一3与函数y=上+2x有两个公 又xie0-1=0,故e=1 故q(xo)=xie-x。-2lnx。-1=1-x。 共点，且两个公共点的横坐标均在区向（兮，）内。 2(-受-1=0， (16分) (6分) 故q(x)=0只有一个正实数根x。, 易得y=+2x在区间（，号） 上单调递减，在 即h'(x)=xe-x-2lnx=1在r∈(0，+o∞) 区间停)上单调遥增， 内只有一个实数根， (7分) 1 所以h(r)=(x-2x+2)e-2r-2xlnx+ 11 当x=3时y=3:当x=1时，y=3:当x √2 2 2.x不是(0，十∞)内的“n-1缘分函数”(n≥2， 时，y=22, (8分) n∈N). (17分) 若有两个交点，则a一3的取值范围为(2V2,3), (9分) ·数学答案（第5页，共5页）·