精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题

平罗中学2024-2025学年度第二学期第三次模拟试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. -1 6. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，选错的得0分. 9. 四棱锥的底面为正方形，面，动点M在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点M，使得 D. 点M到直线的距离的最小值为 10. 已知点P是抛物线上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆上的一个动点，直线l与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 过P作圆C的切线，切点为A，B，则的最小值是 C. 设线段的中点坐标为，则直线l的斜率与无关 D. 若直线l过点F，且，则直线l的斜率为 11. 定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小 B. 函数在处的曲率半径为1 C. 若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2 D. 若曲线在处的弯曲程度相同，则 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为__________. 13. 已知在中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为________． 14. 已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出该对称中心_____；若函数也为中心对称函数，其中，则满足条件的点的个数是_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯） 如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 杯数 4 15 22 26 29 31 32 （1）请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？ （3）若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列. 参考公式和数据：其中 回归直线方程中， 22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2 16. 如图1在直角梯形中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥． （1）证明：平面； （2）当平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在中，的对边分别为，且. （1）求； （2）延长至点，使得，延长至点，使得，依此规律得到点列，且，记的面积为，证明数列是等差数列，并求的前项和. 18. 已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； （3）在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2024-2025学年度第二学期第三次模拟试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方、除法运算结合几何意义判定选项即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内所对应的点为， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数运算得出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为， 又因为集合， 则. 故选：B. 3. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 4. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：求出数列前四项的值，分析可知，数列是以为周期的周期数列，结合数列的周期性可求得的值； 解法二：利用迭代法推导出数列是以为周期的周期数列，结合数列的周期性可求得的值. 【详解】解法一：因为，，所以，即，同理可得，， 故数列是以为周期的周期数列，又，所以. 解法二：由，得，， 故数列是以为周期的周期数列，又，所以. 故选：C. 5. 如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】直接应用向量数量积的定义和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为点在弧上运动，所以， 而余弦函数在内单调递减， 所以当时，取得最小值. 故答案为：C. 6. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，则，，，根据，则，利用勾股定理求得，并得到椭圆参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】连接，设，则，，， 由，则，故， 所以，可得，则， 所以，，又， 所以，可得，即（负值舍）. 故选：C 7. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究单调性，画出图象，先求零点，再借助数形结合判断函数的零点个数即可. 【详解】当时，，令，得或． 当时，，故在单调递增， 又时，； 时，，， 所以使得． 函数图象如图所示： 要使，即或或， 即或或． 由函数图象知，，与都有两个交点， 故或或各有两个零点， 故函数有6个零点． 故选：D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，选错的得0分. 9. 四棱锥的底面为正方形，面，动点M在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点M，使得 D. 点M到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿剪开得到平面图，根据已知求出各边边长，进而计算面积即可得出答案；对于C项，假设存在点M，建立空间直角坐标系，表示出的坐标.进而根据，得出，列出方程解出的值，即可得出判断；对于D项，表示出，进而根据向量法表示出点M到直线的距离.结合二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确； 对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为.故B正确； 对于C项，假设存在点M，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为， 所以，解得. 故存在点M，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点M到直线的距离 ， 所以，当时，点M到直线的距离的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 10. 已知点P是抛物线上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆上的一个动点，直线l与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 过P作圆C的切线，切点为A，B，则的最小值是 C. 设线段的中点坐标为，则直线l的斜率与无关 D. 若直线l过点F，且，则直线l的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可判断选项A；对于B，先设，利用坐标运算求出，再将转化为即可得出判断；设，利用点差法即可判断选项C；将转化为坐标的关系，结合求出坐标即可判断选项D. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，半径， 对于A，， 过点P作垂直于直线，垂直为Q，由抛物线定义可知： ，三点共线时等号成立， 所以的最小值为4，故选项A正确； 对于B，设，则， 因为是圆的两条切线，切点为A，B，所以， 所以，故选项B正确； 对于C，设，则，两式作差，得， 又线段的中点坐标为，所以， 因此直线l的斜率为，故选项C错误； 对于D，设，由得，， 又，解得，所以或， 所以直线l的斜率为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小 B. 函数在处的曲率半径为1 C. 若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2 D. 若曲线在处的弯曲程度相同，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据倒数的性质即知A正确；直接根据曲率半径的定义计算函数在处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断B正确；使用三元均值不等式可以证明函数的曲率圆的半径一定大于2，从而C错误；设，，然后将条件转化为关于的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明D正确. 【详解】对于A，若曲线在各点处的曲率均不为0，显然，由知， 由于曲线在处的曲率为，曲率圆的半径为， 所以曲率圆的半径等于曲率的倒数. 而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圆越小，A正确； 对于B，若，直接计算知，所以， 从而函数在处的曲率为1，从而函数在处的曲率半径为1的倒数，即1，B正确； 对于C，若，直接计算知，这里. 所以处的曲率圆半径， 从而我们有， 所以圆的半径一定大于2，不可能以2为最小值，C错误； 对于D，若，在C选项的过程中已经计算得知， 现在如果曲线在处的弯曲程度相同，则，故， 所以，即. 设，，则，，，将两边展开， 得到，从而. 故，而， 故，这意味着，从而. 定义函数，则，由于，函数在上递增， 故，所以，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：在适当的时候使用均值不等式是解决本题C，D选项的关键. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】列举法应用古典概型公式计算结合条件概率公式计算即可. 【详解】设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为，则样本空间，其包含的样本点有36个. 记事件“”，则事件包含的样本点为，共10个. 记事件“”，则事件“且”，其包含的样本点有4个，为. 所以由条件概率公式知. 故答案为：. 13. 已知在中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】对利用正弦定理可得，对利用余弦定理求出，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，确定点的轨迹，进而得解. 【详解】依题意，，得，， 即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 设，，，，由， 则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为，， 边高的最大值为，所以． 故答案为：. 14. 已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出该对称中心_____；若函数也为中心对称函数，其中，则满足条件的点的个数是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的定义域，计算出，可得出函数的对称中心的坐标；求出函数的定义域，确定函数的对称中心横坐标，然后进行分类讨论，确定每种情况下满足题设条件的个数，综合可得答案. 【详解】函数的定义域为，定义域关于点对称， 又因为， 即，所以，函数的图象的对称中心为； 函数的定义域为且且， 若函数图象的对称中心为，则其定义域关于点对称， （1）若，则必有或或， 即函数图象的对称中心为点或或， 若函数图象的对称中心为点，则，即， 因为，可得， 则， 因为， 即函数图象的对称中心为， 此时满足题意的点的个数为区间内的偶数的个数个； 若函数图象的对称中心为点，则，可得， 由对称性可知，满足条件的点的个数为个； 若函数图象的对称中心为点，即， 此时，， ， 此时，函数为奇函数，合乎题意， 此时，此时满足题意的点的个数为区间内整数的个数个； （2）若，则，此时，函数， 则函数的定义域为且，定义域关于点对称， ， 此时，不是常数， 此时，函数不是中心对称图形； （3）若，则，同（2）可知函数不是中心对称图形. 综上所述，满足题设条件的点的个数为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据函数的定义域的对称性找出函数的对称中心的横坐标，再结合函数对称性的定义进行验证，再验证函数对称性时，需要用到以下结论： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯） 如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 杯数 4 15 22 26 29 31 32 （1）请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？ （3）若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列. 参考公式和数据：其中 回归直线方程中， 22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2 【答案】（1）图见解析，更适宜作为关于的回归方程模型； （2），到第9天才能超过35杯； （3）分布列见解析. 【解析】 【分析】(1)根据散点图趋势即可判断； (2)利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解； (3)根据超几何分布求分布列. 【小问1详解】 根据散点图，知更适宜作为关于的回归方程模型； 【小问2详解】 令，则， 由已知数据得， ， 所以， 故关于的回归方程为， 进而由题意知，令，整理得，即， 故当时，即到第9天才能超过35杯； 【小问3详解】 由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量的可能取值为 ，， ，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 16. 如图1在直角梯形中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥． （1）证明：平面； （2）当平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ， 所以为正方形，所以， 又，平面，平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由为正方向可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）以O为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面=， 平面，所以平面， 又平面， 所以，又由（1）知：， 以O为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， . 17. 在中，的对边分别为，且. （1）求； （2）延长至点，使得，延长至点，使得，依此规律得到点列，且，记的面积为，证明数列是等差数列，并求的前项和. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，在中，， 则点到直线的距离，而，于是， ，为常数， 所以数列是等差数列，. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及二倍角的余弦求解. （2）由（1）求出三角形边上的高，进而求出及即可推理得证，再利用等差数列前项和公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得，而， 由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； （3）在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2）是定值，定值为； （3）存在定点，该定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用焦点到渐近线的距离及过的点求出参数值即可. （2）求出双曲线的渐近线方程，求出过点与其中一条渐近线平行的直线并求出与另一条渐近线的交点，再利用平行四边形面积公式计算求解. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及已知求解. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为，右焦点， 双曲线的渐近线，点到渐近线的距离， 又，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 双曲线：的渐近线为， 由在双曲线上，得，即， 过点与直线平行的直线方程为， 由，解得，得交点， 依题意，四边形是平行四边形，， 点到直线的距离， 所以四边形的面积为定值. 【小问3详解】 假设存在点， 由（1）知，，由直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为， 由消去得，设， ，解得或， 由，得，而， 于是，则平分，因此直线的斜率互为相反数， 即， ，解得， 所以在轴上存在定点，使恒成立. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3）证明如下： 函数， 因为为函数的极值点，所以，所以， 要证明不等式：成立，只需证， 令， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以， 当时，因为，所以． 当时，因为，所以，所以， 要证成立，只需证， 即证对成立． 令，因为， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，即时，成立． 综上所述，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求出，然后对分类讨论求解函数的单调区间； （2）由题意得即可求得，得到的解析式．对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为求的最小值，利用导数求解即可； （3）因为为函数的极值点，所以．要证明不等式成立，只需证．令，证得，．分两种情况证明：当时，由即证得结论；当时，得，只需证，即证对成立，构造函数，结合函数的单调性证明即可． 【小问1详解】 ，定义域为， 所以， 当时，，故在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为，曲线在处的切线垂直于直线， 则在处的切线的斜率为，即，解得：， 则. 对任意恒成立，即对任意， 即对任意恒成立， 令， ，令，得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ， ，则实数b的最大值． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个，其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得不等式；其三先利用放缩、等量代换等方法做适当的变换后再做差构造函数，利用导数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $