天津市九校联考2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试卷

天津市九校联考高三年级模拟考试（一） 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第 I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1,每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答聚标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千 净后，再选涂其他答聚标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： ·如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)十P(B). ·如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B). ·棱柱的体积公式V=Sh,其中S表示校柱的底面面积，h表示校柱的高 ·粮维的体积公式V=号S,其中S表示校维的底面面积，h表示被维的离。 一，选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合U={-2,0,1,2,3},M={-2,2},N={x|-1≤x≤2，x∈N},则(CuM)∩N=( (A){-1,0,1} (B)(-1,0,3} (C)(0,1) (D){0,1,2} 2.已知x>0,y>0,则“x2o25>y2o5"是“lnx>lny的 ( (A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 -2-10 lnlx·sin(z-x) lnlx·sin(登-) (B)f(x)= (A)f(x)= Inlzl·sin(-z) (Dfx)=lnlx·sinx (C)f(x)= 数学第1页（共4页） 4.下列说法正确的是 (A)一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4 (B)在回归分析模型中，若决定系数R越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 (C)两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 (D)根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X=8.932,根据小概率值a=0.01的独立 性检验(x。.1=6.635),可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.01 5.已知a=log≥ 6=1g3c=(信》，则 (A)b>c>a (B)c>b>a (C)a>c>b (D)a>b>c 6.已知x=是函数f(x)=2cos(2x十p)(1pl<)图象的一个对称轴，则下列说法错误的是 ( (A)(爱，0)是函数f(x)图象的一个对称中心 (B)函数f(x)的图象可由y=2sin2x图象向左平移登个单位长度得到 (C)函数fx)在区向（答，）上单调递减 (D)函数f(x)在区间(-若，)上有且仅有一个零点 1已双面线号-首=1>0,6>0)的左右焦点分别为R,R,点2w)为双曲线右支上一点， 以坐标原点O为圆心，以|OF,|为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P,同时点P 在线段OF2中垂线上，则该双曲线的标准方程为 () ()x2-2y=1 3 (装-y=1 (c号-苦-1 D哈-苦-1 8.已知数列{an)和{b}的通项公式分别为a,=3",b=n,在bn与bm+1之间插入数列{an)的前m 项，构成新数列{cn},即b1a1,b2,a1,a2,b,a1,a2,a3,b,,a1,a2ag,a4,b,….记数列{bn}的前n 项和为5，则2之， ( =1】 (A)30 (B)4944 (C)9876 (D)14748 9.《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍蕊者，下有表有广，而上有表 无广.刍，草也.甍，屋盖也.”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没 有宽为一条棱.现有一刍甏如图所示，底面ABCD为矩形，EF∥AB且 EF=是AB,△BCF为等边三角形，且平面BCFL平面ABCD,点M为 棱EF上靠近点E的三等分点，平面BCM将几何体分成体积为V,,V,(V,>V,)的左、右两部 分，则兰的值为 (AN异 (B)23 9 (C)33 2 (D)号 天津市九校联考高三年级模拟考试（一） 数学试卷 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签宇笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共1门小题，共105分。 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部 答对的给5分 10.已知i是虚数单位，化简牛的结果为 的展开式中，x5的系数为 12.已知圆心位于抛物线y2=4x焦点处的圆，与直线3x一4y十7=0相交于A,B两点，且|AB引= 25,则圆的标准方程为 13.某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑，剪纸、 相声五个特色杜团.假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔 书法社团的概率为 ；每位同学只能加人一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨 柳青年画社团的条件下，两人选择不同杜团的概率为 14.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=,AB|=3,|AD|=2,点E为BC 中点，C武=CD,点F为边AD上的点.若点F满足A-A市，且E=AAB+ AD,则1十μ=；若点F为线段AD上的动点，则E市·F心的取值范 围为 15.已知函数f(x)=|ax2+2x十1|-ax一3.若函数f(x)恰有四个零点，则实数a的取值范围为 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,且a=3,5 asin C=3 Bcsin B,.cosC=导 (I)求c的值： (Ⅱ)求sinB的值； (Ⅲ)求sin(2B+)的值。 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥S一ABCD中，SA⊥平面ABCD,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,AD=AS= 4.M为SD的中点. (I)求证：MC∥平面SAB; (I)求直线CM与平面SAC的夹角： (Ⅲ)求点M到平面SAC的距离. 18.(本小题满分15分) 已知椭圆C:号+若-1(a>b>0)的离心率为2：左顶点为A,上顶点为B,△0AB的面积 为3 (I)求椭圆C的方程； (I)过点P(0,一3)的动直线L与椭圆C交于不同的两点M,N(M在P,N之间)，求o的 S AOPM 取值范围 19.(本小题满分15分) 已知等差数列{an》满足a2十a5=16,a4=3a1,记数列{an}的前n项和为S. (I)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)在数列的每相邻两项间插人这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶 “H拓展”.例如，对于数列1,2,3，一阶“H拓展”得到数列1,3,2,5,3：二阶“H拓展”得到 数列1,4,3,5,2,7,5,8,3；…设n阶“H拓展”得到数列1，x1,x2,…,xm,3(m∈N”),设 b.=1+x1+x2++xm+3,则b,=1+3+2+5+3=14,b2=1+4+3+5+2+7+5+8+ 3=38. (i)求数列{bn}的通项公式； an(6n-2),n=2k-1, （i)设数列{cn}满足cn= 12(4n十5) 求数列{cn}的前2n项和T. n+1)(n-1(6,-2万n=2k, 20.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=x一alnx一a,g(x)=x一ln(x十l)十m, (I)求函数f(x)的单调区间： (Ⅱ)若对0<a<1,函数F(x)=g(x)一∫(x)一a恰有两个零点，求实数m的取值范围： (Ⅲ)求证：对于任意正整数m,有号名有<(a+1)<名是 参考答案 天津市九校联考高三年级模拟考试（一） 对于选项C,(2)= n121·sim(受-2-h2xes2< 2 2 数学试卷 0,符合题意，故选C. 1.C【解析1因为朵合U={-2,0,1,2,3}.M=《-2,: 4.B【解折1A选项，8×60%=4.8，将数据从小到大播 2}, 列，第5个数为第60百分位效，故第60百分位数为5， 所以CuM=0,1,3). 故A错误： 又N={xl-1≤r≤2，x∈N}=0.1,2)、 B选项，在回归分析模型中，若决定系数越小，则残 所以(CM)∩N={0.1},故选C. 差平方和越大，模型的拟合效果越差，故B正豌， 2.A【解析】因为x>0,y>0, C选项，两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关 z>ym>0等价于x>y>0,能推出lnx>lny, 系数的绝对值越接近于1，故C错误： 所以充分性成立， D选项，由于x=8.932>6.635,得到X与Y有关联 反之，若lnx>lny,则x>y>0,能推出x2>y2赠> 不独立，此推断犯错讽的概率不大于0.01，故D错设， 0,所以必要性成立 故选B. 综上，“x>y2"是“lnx>lny"的充要条件，故 选A. 5.A 【解析1因为a=1og号=log,3rt=-合，b= 3.C【解析】根据函数图象可知(x)为奇函数，对于进 1ogs3>ogs5-1,0<c=(传)<（传）°=1， nlzl·sin(受- 项B,D,∫(x)= 和f(x)= 所以b>c>a,故选A. lnlr·in玉在定义城上均为偶函数，不合题意排除。 6.D【解析】因为x=吾是的数f(x)=2cos(2x+p） 由图象可知，(2)<0， (Ip<受)图象的一个对称轴， 对于选项A,(2) lnl2i·sin(受-1 故2X答十甲=kx,可得甲=一号+，k∈乙 2 2 0,不合题意排除。 因为1l<受，所以p=-受 1 所以解析式为x)=2cos(2.r-号) 对于A:(》=2co(2×经-子）=2cos是=0，放 (管，0)是函数fx)图象的一个对称中心，故A正确： 对于B:将y=2sn2x图象向左平移登个单位长度得8.B【解桥】由题意可知5=a少 2 记数列(a}的前n项和为T., 到y=2sn[2(r+)]-2ain(2x+)-=2sin(2x-号+ 则T.=32-g-0. 1-3 受)=2cos(2x-)的图象，故B正确： 所以2c,=T,+T,+…+T+6,十十…+6， 对于C,当x∈（若，号）时，2z-背∈(0，，故函数 -3+3+…+1-(a-1D]+aa里 2 心)在区间（管，）上单调递减，放C正确： -号(3-0-是(m-1+aa 对于D当r(-吾，)时，2x-吾∈(-，），函 婴+-是 数八x)在区间（一吾，管）上有两个零点，故D错误， 则4=8时，2c,=494,故选B 故选D. 9.D【解析】设AB=4a,BC=b.则EF=3a.MF=2a 7.C【解析1如图.根据圆的性质可知∠OF,P=∠OPFz. 由于平面BCF∩平面ABCD=BC,AB⊥BC.则AB⊥ 又点P在线段OF,中正线上， 平面BCF, 则∠OF,P=∠POF.则△OPF2是等边三角形， 又EF∥AB,故EF⊥平面BCF 放双曲线渐近线OP的倾斜角为60°. 所以之=1aa60-=3,即6=30， v. 则驱曲线方程为号一-1 如图，在平面EABF上作EK∥FB,与棱AB交于点 K,在平面EDCF上作EI∥FC,与棱DC交于点I,连 将点(2n)代人双血线方程，得-忌=1， 接KI.故五面体ABCDEF的体积可视为三按柱 廊得。=3，则双曲线方程为号-首-1故法C EKI一FBC与四梭锥E-AKID的体积之和， 即V=Vx1-C+VgAD 3+2L 又点E到平面AKID的距离即△FBC的高， V3+示=2， 又弦长IABI=25, 则点E到平面AK1D的E商A一6 所以由垂径定理可知+（罗）一2+5=9. 所以V=Sg·EF+号Sm·A=县分X3a+片X 故所求圆的标准方程为(x一1)2+y2=9. abx-18 12 1小云号【解折】设事件A表示“两位同学都选择软笔 则V=v-y=6-得w-398. 书法”，则P(A)=号×兮=宗 4 设事件B表示“两位同学至少有一人选择杨柳青年画 =6 故35 一= 2 ,故注D 社团”，事件C表示“两人选择的社团不相同”， 4 则P(B1-号×音-是： 所以PCB-器-- 8 P(B) 9 10-音+号：【保标2-=牛 -二1+i= 5 14.-[-12,-51【解折】E市=弦+酞+亦= -+ -茄-恋+动-迹-西， .-160【解1(2-' 的展开式中，通项为工-， 所以入=一1μ=-子则+拟=一号， c2a(-2广--r2c 若点F为线段AD上的动点， 设A市=tAD,t∈[0,1]. 令12-登-5，得-3， 又E=-动-店+市=-范+(t-)市， 所以x5的系数是(-1)产×2×C=-160. 12.(x一1)2+y=9【解折】抛物线的焦点为(1,0)， 元=F币+心=(1-芯+号A恋， 所以圆心坐标为(1,0). 所以EF,F心 圆心(1,0)到直线3x一4y+7=0的距离d= =[-防+(-)]·[-疝+号] 2 1-(-含》不动-+（停-专）.本=-1+延<0，且，< =41--号)-号×9+（号-）×3x2×2 又h(z)的零点x,=-三>0 a =-42+11l-12. (1)当-三≤x,即a≤-3时y=g(x)与y=(z) a 由于1∈[0,1]，则函数y=-4+11t-12在[0,1门上 单调递增，则y∈[-12，-5]. 的图象至乡有三个交点，即∫(x)至多有三个零点，不 合题意： 15.(-3.-2)U(-2,0)U(0,6-42) 【解析】当a=0时，f(x)=12x+1川-3，有且仅有两个 (1)当-召>.即-3<a<0时，要使y=g)与 鉴点，不合题意： y=h(x)的图象有四个交点，只需方琶ax2+2x十1= 当a≠0时，设函数g(x)=|ax2+2x+1,h(x)= ax十3有两个实数解，即方程ax2+(2-a)x一2=0 ar+3,y=ax2+2x+1的判别式△，=4-4a, 有两个实数解，即4：=(2-a)产+8a>0,解得a<-2 当4-4a≤0，即a≥1时，g(x)=ar2+2x+1与 或a>-2,故a∈(-3，-2)U(-2.0). h(x)=ax十3的图象至多有两个交点，即了(x)至多 综上，实数a的取值范围为(-3，一2)U(一2,0)U 有两个零点，不合题意， (0,6-42). 当4-4a>0,即a<1时， 16.解：(I)因为a=3.5 asin C=3 csin B, ①0<a<1时，g(x)有两个零点，=二1二a< 则由正弦定理可知5ac=3bc,故5a=36.b=5. a 由余弦定理2=a2+b一2 abcos C, 0,4=二1+<0，且< a 得c3+5-2X3X5×号=28. 又A()的零点名=一<，要使y=gx)与y= 故c=2V7. h(x)的图象有四个交点，只需方程一@x一2x一1= (B)cosCC.). ar+3有两个实数解，即方程ax2+(a+2)r+4=0 则sinC=V1-0gC.25 有两个实数解 5 6 即42=(a+2)2-16a>0,解得a<6-4vE或a>6+ 由正弦定理inB一nC 4V2,故a∈(0.6-4W2) 得inB=sinC_6。厘 c 27 7 ②a<0时g(x)有阀个零点=1二三>0 (Ⅲ)因为6<c,故B为锐角. 2 则osB=V一m8=9 设直线CM与平面SAC的夹角为0,0e[0,]】 则sin2B=2 sin Bcos8-2 sin 0=Icos(CM,m)1- 8 c0s2B=2coes2B-1-与 所以直线CM与平雨SAC的夹角为若 （m)解：AM=(0,2,2), 所以sm(2B+)-号如2B+28-×29+ 2 故点M到平西SAC距离为4==音-反. ×(-》-6 18标：I)油于离心率e=后-宁，Sa0m=克6后， 17.(I)正明：以A为原点，AB,AD,A5分别为x轴、y 又a°=6+c2,解得a2=4,b=3,2=1, 轴、x轴正方向、建立如图所示的空阁直角坐标系， 则精圆C的方覆为号+号-1 (Ⅱ)(I)若直线1的斜率不存在，则M,O,N,P四点 ,气巡无意义，不合题意， 共缓，Som (!)若直线1的斜宰存在，如图，设直线【的方程为 则A(0,0,0),B(2.0,0),D(0,4,0),C(2,2,0), y=kx-3,M(x1,y1),N(x,为)， S(0.0,4),M(0,2,2), 所以M花=(2.0，-2). 联立{ 易知平面SAB的一个法向登m=(0,1,0), y=kz-3, 因为m·M心=0，所以m死 消去y,得(4+3)x2-24kx+24=0, 所以△=(24)2-96(4k+3)>0,即2-3>0， 又MC在平面SAB,所以MC∥平面SAB. (Ⅱ)解：5=(0,0,4)，AC=(2,2,0). 解得>是 设平面SAC的法向量为n=(x,y,z), 由根与系数的关系，得马十= 24 +3西一+3 A5·n=0,4z=0, 有 SAOIN= At.n=0{2x十2y=0, 日为SAw=Sr一S.0M=2r一1、S SAOPM S△0mM S△wrM 今x=1,则n=(1,一1,0). OPl】 CM=(-2,0,2), 3 又=斗写>0，所以写2要 已知a,十ay=16,a,=3a,, 2a,+5d=16, a3=3, 因为+》=++22=五+乡+2， 到 解得 IIIt IIT: 2a,-3d=0, d=2, 2412 x+x)2 故a=2n+L. 4k2+3 24k224 一三 XE1 24 4k2+34+3 4k2+3 (1)X1)6.=1+x1+x+…+x、+3, 61=1十1十x)+工1十(x+工)+x2+(2十石)++ 所以三+互+2=24。 (x1十xn)+x.+(x+3)+3 因为>是所以0<<号4<4+是<6， =3(1+x1+x2+…十x,+3)-1-3=3b,-4, 所以61-2=3(6.-2)， 所以2+2+2=243∈(4,6， 4十 即1二2 6.-2 3.又6-2=12， 所以+三∈(2,4). 则{6.一2}是首项为12，公比为3的等比数列. 设=三，由于M在P,N之间，所以Ix,l<Ixi, 故6-2=12·3-，6.=4·3”+2. (1)当n为奇数时，6，=4(2n+1)3, 即t∈(1，+∞). 记A=G1十G十%+…十4， 设f)=+子在1，+∞)上单调递增， 则A=4[3X3+1X33+…+(4n-1)3产-1]， 令计上=2，解得=1， 9A=4[3X3+7X33++(4m-5)3产：+(4r-1)· 令+=4，解得=2-5（舍）或=2十尽. 31门， 两式相减，得 故t∈(1,2+3). -8A=4[3X3+4X3+4X35+…+4×31-(4n aa@=aok=l=t-1∈(0，ltW). 所以S NIMS. Ds1=49+4x9=g2-4a-08"] 化简，得-2A=9+221二92-(4m-1031= -号+（受-43a, 19.解：(【)设数列{an}的公差为d, 得A=号+(2m-)32, 3