专题28 相似三角形（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题28 相似三角形 真题重现 （2024九年级上·吉林长春·竞赛）如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知D，E，F分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故选：D． 考点突破 一、平行相似 【学霸笔记】 在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。 【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：6 B．1：8 C．1：9 D．1：10 【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G， ∵AD是BC边上中线， ∴1，即BG＝GE， 又∵GD∥EC， ∴， ∴AE， ∴AE：EB：2EG＝1：10； 故选：D． 【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 二、相似的判定与应用 【典例】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，点C是半圆O上，且，是直径，弦于点E，交于点F，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于，过点作于，过点作于，设的半径为，则，利用解直角三角形可得，再证得，利用相似三角形性质得出和，再由，可求得，运用面积法求得，最后运用勾股定理建立方程求解得出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接交于，过点作于，过点作于， 设的半径为， 则， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ． 故选：C． 【点睛】本题是几何综合题，考查了圆的概念和性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【巩固】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连接．连接，． (1)直接写出与的数量关系； (2)如图，连接，，在上取点，使得，，，求的面积． 三、动态几何中的相似问题 【典例】已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点P在线段BQ的垂直平分线上 (2)S与t的函数关系式为 (3)当时，与相等，理由见详解 (4)不存在某一时刻t，使线段被平分．理由见详解 【分析】当点P在线段的垂直平分线上，，过点P作于点G，用含t的式子表示，的长，再利用等于和等于减列方程求t的值． 过点P作于点H，证明，得到，进而得到，含的代数式，最后求的面积为即可． 证明，得到，求出的长，再求出，利用与相等，列方程求 当线段被平分时，且先利用求出t的值，再分别求出与的长，若它们相等，即存在；不相等，则不存在． 【详解】（1）解：如图1，当点P在线段BQ的垂直平分线上，，过点P作于点 在矩形中，，，点E为边的中点， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （2）解：如图2，过点P作于点 由可知，，，， 又， ， 已知，，， 则有， 解得：，， ， 的面积为， 与t的函数关系式为． （3）解：存在． ，，， ， ， ， 点E为边的中点， ， ，解得：， 则， 当时，， 解得舍去或， 当时，与相等． （4）解：不存在． 理由：当线段PQ被BF平分时，且 当时，，解得 当时，， 当时，． ， ， ， 不存在某一时刻t，使线段被平分． 【点睛】本题是矩形的综合题，根据动点的位置，涉及到垂直平分线的性质，三角形面积计算，相似三角形的判定与性质等知识点．将线段用含t的式子准确表示出来，熟练运用解直角三角形的知识求线段的长是解题的关键．题目思维含量高，难度大，是中考模拟卷压轴题． 【巩固】 如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 模拟演练 1．如图，在中，，且，则四边形与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（  ） A．5 B．6 C．10 D．11 3．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，若，，小孔到的距离，则小孔到的距离为 ． 4．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 5．如图，的三边长满足，延长到，使，若，则的度数为 6．如图，点，分别在菱形的边，上，，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形的面积为，则四边形的面积为 ． 7．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．以的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在的其它边上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．要求：在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形的面积均不相等． 8．如图，的顶点都在网格点上． (1)以点为位似中心，把按放大在轴的左侧，画出放大后的； (2)点的对应点的坐标是 　　； (3)　　． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标． 10．【问题背景】如图（1），已知，求证：； 【尝试应用】如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值； 【拓展创新】如图（3），是内一点，，，，，求的长． 11．如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． (1)证明：的形状不变； (2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 12．如图，在中，，，．动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的平分线上时，求的值． (3)连结，当为钝角时，求的取值范围． (4)作点关于直线的对称点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题28 相似三角形 真题重现 （2024九年级上·吉林长春·竞赛）如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知D，E，F分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故选：D． 考点突破 一、平行相似 【学霸笔记】 在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。 【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：6 B．1：8 C．1：9 D．1：10 【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G， ∵AD是BC边上中线， ∴1，即BG＝GE， 又∵GD∥EC， ∴， ∴AE， ∴AE：EB：2EG＝1：10； 故选：D． 【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵PE∥AB， ∴△DEF∽△DAB， ∴， ∵PF∥CD，∴△BPF∽△BDC，∴， ∴1，所以A选项符合题意，D选项不符合题意； ∵PE∥AB，∴， ∵PF∥CD，∴， ∴，所以B选项不符合题意； ∵PE∥AB，∴， ∵，∴，所以C选项不符合题意． 故选：A． 二、相似的判定与应用 【典例】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，点C是半圆O上，且，是直径，弦于点E，交于点F，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于，过点作于，过点作于，设的半径为，则，利用解直角三角形可得，再证得，利用相似三角形性质得出和，再由，可求得，运用面积法求得，最后运用勾股定理建立方程求解得出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接交于，过点作于，过点作于， 设的半径为， 则， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ． 故选：C． 【点睛】本题是几何综合题，考查了圆的概念和性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【巩固】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连接．连接，． (1)直接写出与的数量关系； (2)如图，连接，，在上取点，使得，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可证得，于是可得，，连接，利用等腰直角三角形的性质可得，利用圆的基础知识可证得，，于是可得，据此即可得出结论； （2）由（1）可得，，进而可证得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是可求得，，过点作于点，于是可求得，再利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 如图，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，且， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴， ∵，， ∵， ， ∴， ∴， 即：， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴， 解得：或（不符合题意，故舍去）或或（不符合题意，故舍去）， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴，， 如图，过点作于点， ∴， ∴，， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、动态几何中的相似问题 【典例】已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点P在线段BQ的垂直平分线上 (2)S与t的函数关系式为 (3)当时，与相等，理由见详解 (4)不存在某一时刻t，使线段被平分．理由见详解 【分析】当点P在线段的垂直平分线上，，过点P作于点G，用含t的式子表示，的长，再利用等于和等于减列方程求t的值． 过点P作于点H，证明，得到，进而得到，含的代数式，最后求的面积为即可． 证明，得到，求出的长，再求出，利用与相等，列方程求 当线段被平分时，且先利用求出t的值，再分别求出与的长，若它们相等，即存在；不相等，则不存在． 【详解】（1）解：如图1，当点P在线段BQ的垂直平分线上，，过点P作于点 在矩形中，，，点E为边的中点， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （2）解：如图2，过点P作于点 由可知，，，， 又， ， 已知，，， 则有， 解得：，， ， 的面积为， 与t的函数关系式为． （3）解：存在． ，，， ， ， ， 点E为边的中点， ， ，解得：， 则， 当时，， 解得舍去或， 当时，与相等． （4）解：不存在． 理由：当线段PQ被BF平分时，且 当时，，解得 当时，， 当时，． ， ， ， 不存在某一时刻t，使线段被平分． 【点睛】本题是矩形的综合题，根据动点的位置，涉及到垂直平分线的性质，三角形面积计算，相似三角形的判定与性质等知识点．将线段用含t的式子准确表示出来，熟练运用解直角三角形的知识求线段的长是解题的关键．题目思维含量高，难度大，是中考模拟卷压轴题． 【巩固】 如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 模拟演练 1．如图，在中，，且，则四边形与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由可得，，进而得到，，设，则，，分别求出四边形与四边形的面积，求出比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，， ∴， 故选：． 2．如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（  ） A．5 B．6 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质和判定定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 如图，设交轴于，交于，设，则，设．利用相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：设交轴于，交于，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 则，设， 点A在双曲线上， ， ， 四边形是矩形， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，若，，小孔到的距离，则小孔到的距离为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得到，得到相似比，根据对应边的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 5．如图，的三边长满足，延长到，使，若，则的度数为 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，又因为，得到，所以，根据等边对等角得，求得，再根据的内角和等于即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定和性质、等边对等角、三角形外角的定义、三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．如图，点，分别在菱形的边，上，，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于，设，则，，根据菱形的性质得，则，进而得，，，证四边形为平行四边形得，，再证得，则，同理，则四边形为平行四边形，继而可得，再根据，，得，则，，再由，得，同理，然后根据可得出答案． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： 设， ， ， ， 四边形为菱形， ，，， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ：：， 即：：， ， 同理 四边形为平行四边形， ， ， ， 菱形的面积为， ， ， ， ：：：， 的边和边上的高相同， ， ， 同理：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，理解菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 7．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．以的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在的其它边上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．要求：在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形的面积均不相等． 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，掌握等腰三角形的定义，格点的特点是解题的关键． 根据等腰三角形的定义，网格的特点作图即可． 【详解】解：作图如下， 图①，在边上取， ∵， ∴， ∴点即为所求点的位置，即为所求等腰三角形； 图②，以为边作长方形，连接对角线，交于点，则点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求点的位置，即为所求等腰三角形； 图③，在网格上取格点，连接，设交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 设到的高为， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置，即为所求等腰三角形． 8．如图，的顶点都在网格点上． (1)以点为位似中心，把按放大在轴的左侧，画出放大后的； (2)点的对应点的坐标是 　　； (3)　　． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了位似作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了相似三角形的判定和性质． （1）依据点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3）解：由题可得，， ， 又位似比为， ， ． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为： (2)的最大值为，此时 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质．掌握二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点、坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）利用，得，则， 设，，，用含的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ，解得：． 该抛物线的函数表达式为：． （2） ，， ，， 由勾股定理可得， ， ， ， ， ，， ， ，， 直线的解析为：， 设，，， ， ， 开口向下，， 当时，的最大值为，此时． 10．【问题背景】如图（1），已知，求证：； 【尝试应用】如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值； 【拓展创新】如图（3），是内一点，，，，，求的长． 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；拓展创新： 【分析】问题背景：由题意易得，，则有，进而问题可求证； 尝试应用：连接，由题意易得，然后根据三角函数可得，进而问题可求解； 拓展创新：过点A作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角函数、相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：【问题背景】∵， ，， ， ， 即， ； 【尝试应用】连接， ，， ， 由问题背景知， ，， ，， 在中，， ， ， ，， ， 【拓展创新】过点A作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 11．如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． (1)证明：的形状不变； (2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 【答案】(1)证明过程详见解答 (2) 【分析】（1）连接，作于，可求得和长，进而得出的正切值，可得出共圆，从而得出，进一步得出结论； （2）以所在的直线为轴，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于，可得出，从而得出，可设，从而得出，进而得出坐标，从而求得点坐标，进而得出点在一条线段上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，连接，作于， ， ， ， ， ， 点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的形状不变； （2）解：如图2，以所在的直线为轴，以点为两坐标轴交点，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设， ， ， ∴点运动路线是一条线段， 当点在处时，， ， 当点在处时，作于， ， 即， ， ， ， ∴的中点的运动路径长为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线，求出点的运动轨迹． 12．如图，在中，，，．动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的平分线上时，求的值． (3)连结，当为钝角时，求的取值范围． (4)作点关于直线的对称点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)0＜t＜或＜t＜ (4)或或 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，根据两个角相等，两个三角形相似求证，推出，从而求出长度，即可求出长度，利用矩形的性质即可求出的长度． （2）分情况讨论，当点在边上时，利用角平分线的性质和结合第（1）问的部分结果推出和的长度，再结合直角三角形的特殊全等方法求出以及相关长度，进而求出长度，根据矩形的性质求出以及相关长度，根据面积法，列关于的方程，即可求出的值；当点在边上时，根据点的运动轨迹可表示出的长度，利用推出相关线段比例从而求出和的长度，利用矩形的性质求出的长度进而求出的长度，利用角平分线的性质求出，利用矩形的性质求出以及相关长度，根据面积法，列关于的方程，即可求出的值． （3）分情况讨论：当点在边上时，假设的特殊值，可证和，根据三角形相似的性质推出对应线段比即可求出和的长度，从而求出的长度，根据平行线的性质和已知条件推出，从而证明相应线段成比例，即可求出的值；当点在边上时，利用第一种情况的方法分别求出，，以及及相关长度，利用即可求出的值． （4）分四种情况进行讨论（①当点在边上时，时；②当点在边上时，时；③当点在边上时，时；④当点在边上时，时），然后利用三角形相似求出用表示的相应线段长度，再结合矩形的性质以及线段，找出等量关系，列关于的方程，即可计算出的值． 【详解】（1）解： ，，， ． ， ， ． ， ， ． 动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，点的运动时间为秒， ， ， ． ， ． 矩形， ． （2）解：①当点在边上时，如图所示，连接，，，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 矩形， ． 由（1）可知，，，， ， ． 在和中，，， ， ， ． ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． ②当点在边上时，如图所示，过点作于点，作于点， 连接，，， 由题意可知，运动的距离为，即， ， ． ，， ， ， ， ，． ， ． 矩形， ，， ． 在和中，，， ， ， 平分，，， ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． 当时，点运动的距离为：， 与重合，不符合题意． 综上所述，． （3）解：①当点在边上时，时，如图所示，连接， ，矩形， ， ，，在同一条直线上． ，， ， ， ， ，， 由（1）可知，， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 时，． 若为钝角，． ②点在边上时，时，如图所示， 则， 按照第一种情况同理可知，，， ． ， ， ． 时，． 当时， 与重合． 若为钝角，． 综上所述，若为钝角，或． （4）解：①当点在边上时，时，如图所示，延长交于点，设直线交于点， 交于点， ， ， ， 和是对称点， ， ， ， ， ， ， ，， 由题意得：，， 由（1）可知，，，， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 和是对称点， ． ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． ②当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点， 由（1）可知，，，， ， ． ，， ， ， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． 和是对称点， ． ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ，，， 为矩形， ， ， ． ③当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点， 根据点运动轨迹可知，，， ，， ， ， ， ，． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 和是对称点， ． 同理可得：， ， ， ， ， 为矩形， ， ， ． ④当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点， 根据点运动轨迹可知，，， ，， ， ， ， ，． ， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 和是对称点， ． 同理可得：， ，， ， ， 为矩形， ， ， （不符合题意，舍去）． 综上所述：当直线与的边平行时，或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质以及灵活运用分类讨论的思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$