精品解析：广东省汕头市南澳中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

南澳中学2024-2025学年度第二学期期中质检 高一级数学科必修第二册试题 答卷时间：120分钟，全卷满分150分，使用黑色水性笔答题，不准使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （复数几何意义） 1. 当时，复数在平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （向量） 2. 关于平面向量，下列正确的是（ ） A. 若是单位向量，零向量，则 B. 若向量与不共线，则存在一对实数，使 C. 海拔、温度、角度都是向量 D. 若，则四边形ABCD是菱形 （旋转体） 3. 如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. （向量∥⊥） 4. 已知向量，，下述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则AB的中点是 D. 若，则 （直观图） 5. 如图，ABC是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，轴，，则这个平面图形的实际周长为（ ） A. B. C. 12 D. （内切、外接） 6. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. （几何体计算） 7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. （解△应用） 8. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. （命题） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且，，则 B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 C. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D. 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 （复数） 10. 复数（为虚数单位），为z的共轭复数，则下列错误的是（ ） A. 对应的点是 B. 的虚部为1 C. D. （展开图） 11. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是（ ） A. BM与ED平行 B. CN与BE是异面直线. C. BE与BM成角. D. DE与AF是异面直线. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （侧面展开图） 12. 已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m． （向量互相表示） 13. △ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设，，则，用表示向量__________ （棱台） 14. 正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积是____________，体积是__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：． （2）已知复数z与均是纯虚数，求z． 16. 如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点， （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，若，求：正四面体的体积. 17. 已知单位向量，的夹角为60°，，， （1）求，； （2）求与的夹角. 18. 在中，角所对的边分别为，且满足，. （1）求的面积； （2）若，求、的值. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南澳中学2024-2025学年度第二学期期中质检 高一级数学科必修第二册试题 答卷时间：120分钟，全卷满分150分，使用黑色水性笔答题，不准使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （复数几何意义） 1. 当时，复数在平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用的范围求出、的范围即可确定答案 【详解】，，点在第四象限． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，关键是确定的正负来确定象限，属于基础题. （向量） 2. 关于平面向量，下列正确的是（ ） A. 若是单位向量，零向量，则 B. 若向量与不共线，则存在一对实数，使 C. 海拔、温度、角度都是向量 D. 若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由单位向量，零向量定义可判断选项正误；对于B，由平面向量基本定理可判断选项正误；对于C，由向量定义可判断选项正误；对于D，由向量相等定义结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. （旋转体） 3. 如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可得组合体由球体，圆柱组成，然后结合题中数据可判断选项正误. 【详解】由三视图可得组合体由球体，圆柱组成. 由题可得，球体半径为1，则球体体积为：； 圆柱底面半径为1，高为3，则圆柱体积为：. 则组合体体积为：. 故选：D （向量∥⊥） 4. 已知向量，，下述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则AB的中点是 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的平行坐标表示计算判断A，根据数量积计算夹角余弦判断B，中点坐标计算判断C，先应用垂直计算得出，再计算模长判断D. 【详解】对于A，若，则，A选项错误； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若，，则AB的中点是，C选项错误； 对于D，若，则，， 则，D选项正确； 故选：D. （直观图） 5. 如图，ABC是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，轴，，则这个平面图形的实际周长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则作出原图，再求周长. 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图， 画法：①画直角坐标系，在x轴上取，. ②在题图中，过作轴，并使. ③连接，则即为原来的图形，如图． 则周长为. 故选：A （内切、外接） 6. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设正方体的棱长为，内切球的半径为，外接球的半径为， 则，所以，所以，故选D. （几何体计算） 7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. （解△应用） 8. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里 【答案】A 【解析】 【分析】分别在和中利用正弦定理计算，再在中利用余弦定理计算即可 【详解】由题意可知， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，因为， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. （命题） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且，，则 B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 C. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D. 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 【答案】ABC 【解析】 【分析】由两点确定一条直线即可判断A；由两条相交直线确定一个平面即可判断B；由空间等角定理即可判断C；由直线与平面的位置关系即可判断D． 【详解】对于A，因为两点确定一条直线，所以若，，且，，则，故A正确； 对于B，两条相交直线确定一个平面，故B正确； 对于C，由空间等角定理知，故C正确； 对于D，直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，故D错误； 故选：ABC． （复数） 10. 复数（为虚数单位），为z的共轭复数，则下列错误的是（ ） A. 对应的点是 B. 的虚部为1 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义求出即可判断AB选项；利用复数的乘法运算以及复数的模的计算公式即可判断C选项；利用复数的除法运算即可判断D选项. 【详解】，则，则对应的点是，虚部为，故AB均错误； ，，， 则，故C正确； ，故D错误. 故选：ABD （展开图） 11. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是（ ） A. BM与ED平行 B. CN与BE是异面直线. C. BE与BM成角. D. DE与AF是异面直线. 【答案】CD 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原，结合正方体的结构特征逐项分析判断. 【详解】将给定的展开图还原成正方体，如图： 观察图形知，与是异面直线，，与是异面直线，AB错误，D正确； ，则，因此与成角，C正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （侧面展开图） 12. 已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式以及弧长公式即可求出． 【详解】设圆锥的底面半径为，直径为，母线长为，所以， ，，解得，即． 故答案为：． （向量互相表示） 13. △ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设，，则，用表示向量__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得O为三角形重心，然后由重心性质可得，结合图形即可推得结论. 【详解】因三角线三条中线交于一点，交点为重心，则O为三角形重心. 又由重心性质可得， 则 . 故答案为： （棱台） 14. 正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积是____________，体积是__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】 如图在正六棱台中， 因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：， 所以梯形的面积为：， 所以该正六棱台的上底面积为：， 同理下底面积为：， 所以正六棱台的表面积为：， 正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积为：， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：． （2）已知复数z与均是纯虚数，求z． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘除法运算计算即可； （2）设（），由是纯虚数，结合复数的乘法运算列出方程，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ． （2）设（）， 则， 得，解得，故． 16. 如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点， （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，若，求：正四面体的体积. 【答案】（1） 因分别为的，上的中点，所以，且； 因分别为的，上的中点，所以，且； 所以，且， 所以四边形为平行四边形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线求证，且，，且即可； （2）取的中心，则为正四面体的高，即可利用三棱锥的体积公式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中心，连接，连接， 则为正四面体的高， 在中，可得，， 在中，由勾股定理得， 则正四面体的体积为. 17. 已知单位向量，的夹角为60°，，， （1）求，； （2）求与的夹角. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由数量积计算公式及数量积运算律可得，然后由模计算公式可得； （2）由向量的夹角余弦公式可得答案； 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 ，. ∴，∴. 18. 在中，角所对的边分别为，且满足，. （1）求的面积； （2）若，求、的值. 【答案】（1）2；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算公式，由得到，再由同角三角函数求出，利用三角形面积公式，得到答案；（2）根据（1）中，得到，根据余弦定理得到的值，再利用正弦定理，得到的值. 【详解】（1）， 而， ∴ 又，∴， ∴ （2）∵，而，∴ 在中，由余弦定理可得： ， ∴， 由正弦定理可得：， ∴. 【点睛】本题考查向量的数量积公式，正、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 ［方法一］【最优解】：余弦定理 由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】略 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $