5.2.1简单的轴对称图形 课件　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

5.2.1 简单的轴对称图形——等腰三角形 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的定义 有两条边 的三角形叫做等腰三角形。 其中，相等的两边叫做 ，另一边叫做 ， 两腰的夹角叫做 ，腰与底的夹角叫做 。 相等 腰 底边 顶角 底角 2 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 情景引入 等腰三角形是生活中常见的图形，它有哪些性质呢？ 3 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？ B A C D 思考·交流 性质1：等腰三角形是轴对称图形. 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？ 4 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB＝AC ∠B ＝ ∠C. 沿对称轴折叠后，发现： 等腰三角形两底角相等. 猜想 ： 等腰三角形的两腰相等. 定义： 5 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 如图△ABC 中，AB = AC. 试说明：∠B=∠C. A C D B 方法一：作底边上的中线 作底边BC的中线AD，则BD=CD 在△BAD和△CAD中 ∴△ABD ≌ △ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) 6 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 A C D B 方法二：作顶角的平分线 作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD 在△BAD和△CAD中 ∴△ABD ≌ △ACD (SAS) ∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) 如图△ABC 中，AB = AC. 试说明：∠B=∠C. 7 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 A C D B 方法三：作底边的高线 作AD⊥BC于点D，则∠BDA=∠CDA=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中 ∴Rt△ABD ≌ Rt△ACD (HL) ∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) 如图△ABC 中，AB = AC. 试说明：∠B=∠C. 8 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 性质2：等腰三角形两底角相等. （简称为：等边对等角） 在△ABC中, ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.（等边对等角） 几何语言： A C B 9 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB＝AC BD＝CD ∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB＝∠ADC = 90° (AD平分顶角) (AD为底边的高) (AD为底边的中线) （2）等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？请你描述一下 10 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 (1)BD=CD， AD为底边上的中线. (2)∠BAD=∠CAD， AD为顶角的平分线. (3)∠ADB=∠ADC=90° AD为底边上的高. 对于这三个结果如何表述? 等腰三角形底边上的中线、高线及顶角角平分线互相重合。 简称“三线合一” 11 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 已知在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC． 求证：AD为底边BC上的中线，且AD为底边BC上的高． D 证明：∵ AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴△ABD ≌△ACD(SAS)， 在△ABD和△ACD中， ∴BD=CD 即AD为底边BC的中线， ∵△ABD≌△ACD(SAS) ∴∠ADB=∠ADC=90°， 即AD为底边BC的高线， 想想其他两种怎么证明？ 12 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 性质3： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴. 13 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质 A B C D 在△ABC中，AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD（三线合一）. 在△ABC中，AB＝AC， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC，BD＝CD（三线合一）. 在△ABC中，AB＝AC， ∵BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）. 知其一，得另二 几何语言： 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 解：设顶角为x度，则底角为2x度， 则x＋2x＋2x＝180，解得x＝36. 所以这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°. 15 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 16 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若未给出，要分类讨论. 等腰三角形性质应用 17 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 变式: 如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM等于（ ） A．90° B．75° C．70° D．60° 18 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 法一：∵AB=AC，AD=AE ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE ≌ △ACD (AAS) ∴BE=CD (全等三角形的对应角相等) ∴BE-DE=CD-DE (等式基本性质） 即：BD=CE 2. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. 若AD＝AE，试说明：BD＝CE. (请用多种方法证明） 19 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 法二：∵AB=AC，AD=AE ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD ≌ △ACE (SAS) ∴BD=CE (全等三角形的对应角相等) ∴∠ADE-∠B=∠AED-∠D (等式基本性质） 即：∠BAD=∠EAC 2. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. 若AD＝AE，试说明：BD＝CE. (请用多种方法证明） 20 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 2. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. 若AD＝AE，试说明：BD＝CE. (请用多种方法证明） 解：过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC，AF⊥BC ∴BF＝CF（三线合一） 又∵AD＝AE，AF⊥DE ∴DF＝EF（三线合一） ∴BF－DF＝CF－EF（等式基本性质） 即BD＝CE. F 21 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形性质应用 22 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形 23 5.2.1 简单的轴对称图形——等腰三角形 成都市泡桐树中学 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的性质 性质：1.等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴 2.等边对等角 3.等腰三角形顶角的平分线、底边的高线、底边的中线重合。(三线合一) 25 特殊等腰三角形 等腰直角三角形 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 特殊的等腰三角形，有哪些性质呢？ 等边三角形 26 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰直角三角形性质 （1）等腰直角三角形有几条对称轴？ 有一条对称轴. （2）沿对称轴折叠，你还能发现它的哪些特征？ 两锐角相等，均为45°. 顶角平分线，斜边上的高线，斜边上的中线，“三线合一” 27 等腰直角三角形性质 等腰直角三角形 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 定义：有 一个角为直角 的等腰三角形叫做等腰直角三角形。 A B C D 性质：1.等腰直角三角形是轴对称图形，有一条对称轴 2.等腰直角三角形的两个锐角都为450 3.等腰直角三角形的顶角平分线，斜边上的中线、斜边上的高线，三线合一 4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 28 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等边三角形性质 （1）等边三角形有几条对称轴？ 有三条对称轴. （2）沿对称轴折叠，你还能发现它的哪些特征？ 等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都是60°. 每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（简称“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. 29 等边三角形性质 等边三角形 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 定义：有 三 边 相等 的三角形叫做等边三角形。 A B C D 性质：1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，交于一点。 2.等边三角形的三条边相等，三个角都为600 3.等边三角形各角的平分线、其对边的高线、对边的中线重合。(三线合一) E F O 30 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等边三角形的应用 （3）如图，AD是等边三角形ABC的一条中线.若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为 　15°　. 15°　 31 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰直角三角形的应用 《12周自主评价》 22. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE交AD于点O，AF⊥BE于点F，交BC于点G. （1）试说明：△ABO≌△CAG； 解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠C＝45°. 又∵AG⊥BE，∴∠AFO＝∠ADG＝90°. ∴∠AOB＝180°－∠AOF＝∠OAF＋90°， ∠CGA＝180°－∠AGD＝∠OAF＋90°， ∴∠AOB＝∠CGA. 在△ABO与△CAG中， 所以△ABO≌△CAG（AAS）. 32 等腰三角形的判定 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 1、定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形 等腰三角形性质： ①等边对等角；②三线合一 如何判定一个三角形是等腰三角形呢？ 判定一个三角形是等腰三角形还有其他方法吗？ 两角相等的三角形是等腰三角形. 猜想 ： 33 等腰三角形的判定 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 A B C 在△ABC中，已知∠B＝∠C， 求证：△ABC是等腰三角形 D 34 等腰三角形的判定 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 A B C 判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等。 简称：等角对等边 几何语言：∵∠B =∠C ∴ AB＝AC（等角对等边） 35 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等边三角形的判定 定义：1.有三条边相等的三角形叫等边三角形 2.三个角都相等的三角形，为等边三角形。 3.两个角为600的三角形，为等边三角形。 4.有一个角为60°的等腰三角形，为等边三角形。 36 cxj (c) - 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的判定 ； 补例 如图，BD是∠ABC的平分线,交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E。 求证：ΔBED为等腰三角形。 角平分线+平行----等腰三角形 37 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的判定 ； 变式： 已知：如图5-3-13，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F， ①过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．求证： BD＋EC＝DE 38 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等边三角形的判定 【背景资料】在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． A B C 当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为等边三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，由两点之间线段最短，可知，当B，P，P′，P′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC＝∠BPC＝∠APB=120° ； P 39 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形 40 $$