吉林省吉林市毓文中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

吉林毓文中学2024-2025学年度下学期高一年级期中考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足z+2z=3+i,则z=( A.1-i B.1+i C.-3+i D.-3-i 2.已知m,n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是() A.若m/la,nl/a,则m∥n B.若m⊥，m⊥n,则n/1a C.若m⊥a,nca,则m⊥n D.若m/la,m⊥n,则n⊥a 3.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险：丙，理财类保 险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司 对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的 是() 254 比例 阁岁 18-29 A.丁险种参保人数超过五成 109% 周岁 15% B.41岁以上参保人数超过总参保人 42-53周岁 3041周岁 数的五成 0.0204 0.1 35% 40% 甲乙 丙 戊险种 C.18一29周岁人群参保总费用最少 参保险种比例 参保人数比例 D.人均参保费用不超过5000元 7000 人均参保费用/觉 6000 5000 4000 3000 2000 1000 年龄 全段 1829304142-5354周岁以上 不同年龄段人均参保费用 4.已知同=2，=1，：-2=25，则向量a在向量6方向上的投影狗量为( A.B B.-6 C.38 D.V3弼 第1页共4页 5.△MBC按斜二测面法得到6"BC,如图所示，其中B0=C0=,A0= 那么 2 △ABC的形状是() A.等边三角形 B.直角三角形 C.腰和底边不相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形B 6.已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( A.r B.5π C.25π D.2x 3 7.一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 分钟后到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口 A的东偏南20°处，那么B,C两点的距离是( 海里 A.10W5 B.10W2 C.20 D.152 8.已知△MBC电，AB=AC=5,BC=8,点D是AC的中点，M是边BC上一点，则CM而 的最小值是( k昌 B.-1 C.-2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是( A.若非零向量a,b满足仍，，则a忙 B.BD+DA+AC=CB c.若，6为单位向量，则2%+可=+2间 D.向量m=0,2),元=(5,25)可以作为平面内的一个基底 10.已知复数Z=3-,则下列结论正确的是( ). A.☑=√0B.Z在复平面内对应的点位于第二象限C.Z1-i)的虚部为-2 D.若复数21满足忆-2Z=1,则忆+的取值范围为[V3-1√3+1] 第2页共4页 11.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，M,N分别为棱C,DCC的中点，则下列 选项正确的有() A.直线MN与直线AC所成的角是 3 B.二面角M-AB-C的平面角是交 C.平面BMN截正方体所得的截面面积为 9 8 B D.三棱锥B-MWC外接球半径为 如 4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△4BC中，a=12,b=45,4=120°，则SMBc= 13.如图，平面C,B互相垂直，棱1上有两点A,B,ACca, BDcB,且ACLl,BD⊥1，AB=8cm,AC=6cm,BD=24cm, 则CD= cm. >D 14.在对毓文中学高一年级学生身高（单位：cm)调查中，抽取 了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别 可 为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 方差为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15.已知向量ā=(1,2)，=(-2,3) (1)求2运+36； (2)求(a+)(a- (3)求cos(a,). 16.如图，在三棱柱ABC-48C中，AC=3,BC=4,AB=5,LA=4,点D是AB的 B 中点，CC⊥平面ABC. (1)求证：AC∥平面CDB; (2)求三棱锥D-BBC的体积； (3)求三棱柱ABC-AB,C外接球的表面积. 第3页共4页 17.2025年吉林市马拉松赛将于5.月18日7：30正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林 市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15 公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是 [50,60)[60,70)[70.80)-[30,90)-[90,100] 频率 组距 (1)求图中a的值； 0.04 (②)根据频率分布直方图，估计这100名学生比0.03 赛成绩的平均数： 0.02 (3)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛 0 成绩的第80百分位数； 5060708090100时间/分钟 (4)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完 成15公里马拉松比赛？ 18.如图，在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为a,点R是棱PC的中点，点是底面 ABCD内任意一点点2到侧面PAB,PBC,PCD,PDA的距离分别为d,d,4,d. (1)证明：平面PBC⊥平面BRD: (2)求直线BR与底面ABCD所成的角的正切值； (3)求d1+d2+4+d4: 19.在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,a且c+ccos=√5 asinC,a=2. (1)求角4 (②)若△ABC为锐角三角形，求b+c的取值范围； (3)若△ABC的面积S∈ E为线段BC上一点，且存在1>0，使得 ]"ad 求AE长度的取值范围 命题人、校对人：贺家颖李重 第4页共4页吉林毓文中学2024-2025学年度下学期高一年级期中考试数学 参考答案 题号12345678910 容案 B B A A B B AC ACD 题号11 答案ACD 12.125 13.26 14. 168 46.8 5.04国8@源 16.(1)证明见解析(2)4(3)41π 【详解】(1)连接BC,设BC∩B,C=O,连接OD,由三棱柱的性质可知，侧面BCCB为 平行四边形， C .O为BC的中点，又：D为AB中点，∴在aABC中，ODIIAC, 又：ODc平面CDR,AC平面CDB, AC∥平面CDB. (2)因为AC=3,BC=4,AB=5,A4=4, CAP+CB=AB2,即CA⊥CB, 又CC,MBB,CC⊥平面ABC,所以BB⊥平面ABC, e=m-m照-皆传x3x4小4=4 17.(1)0.005(2)73(3)82.5(4)2250 【详解】(1)由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1 可得2a×10+(0.04+003+0.02)×10=1, 解得a=0.005 (4)样本中80分钟之前频率为(0.005+0.04+0.03)×10=0.75， 因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为 3000×0.75=2250 第1页共2页 180运明见解析25句25。 5 【详解】(1)因为在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为a,点R是棱PC的中点 所以PC⊥DR,PC⊥BR, 又DR∩BR=R,DR,BRC平面BRD,所以PC⊥平面BRD, 又PCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面BRD: (3)设ACOBD=O,连接PO,则PO⊥平面ABCD, 设点P到平面ABCD的距离为h,因为在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为a, 所以四个侧面的正三角形的面积均为女×如60°=5。，底面正方形的面积为口。 依题意可得'D='。-Ps+'。-微+'g-cD+'。-m 所以ah=sd+片Sd+Sm4+nd, 即×盟。=5，+dd,+d小解得4+话+话+d=25。: 19.04- (2)(25,4] 圆 【分析】(1)由正弦定理及辅助角公式化简即可得解： (2)由正弦定理转化为三角函数，利用正弦型函数的值域求解： (3)根据正弦定理及余弦定理，利用面积公式化简，由二次函数性质求解 【详解】 (3)设d为线段4E长，由题可知，为∠B4C内角平分线，则∠BAE=∠CAE= 由5k女m4得，0c<5,所以ce02 由余弦定理得d2=B+c2-2 bccosA,即2+2-bc=4,所以b+c=V4+36 因为衣传小所以d可)甲线段长度的取值意围为Q】 第2页共2页