精品解析：陕西省镇安中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

镇安中学2024—2025学年度第二学期期中考试试题 高一数学 命题：杨媚 校试：高宗云 考生注意： 1.本试卷分共150分.考试时间120分钟. 2.请考生在答题卡密封栏内正确书写班级、姓名、考号信息. 3.选择题答案请填涂在机读答题卡上，非选择题答案请填写在答题卡上，超出答题栏内的作答无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若与均为实数，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 2. 下列函数中，周期为的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期公式求解即可. 【详解】根据公式 的周期为，故A错误； 的周期为，故B错误； 的周期为，故C错误； 的周期为，故D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量共线定理求出的充要条件为，而当时，此时也满足， 但不满足，故不具有充分性；当时，，满足，故具有必要性，由此可得答案. 【详解】由向量共线定理可知，向量平行，当且仅当存在实数，使得， 即，解得，所以的充要条件为， 对于题干，解方程，得， 充分性：当时，满足，当时，不满足，故不具有充分性； 必要性，当时，，满足，故具有必要性， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设，其中a，b，，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. －5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再由诱导公式求出； 【详解】∵， ∴． ∴． 故选：C 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为角终边过点，由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. 故选：A. 6. 设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，求出，得到为等腰三角形. 【详解】， 即，，， 所以，为等腰三角形. 故选：D 7. “七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. 14 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正方形的边长为4，且点分别是线段的中点， 可得，则， 所以. 故选：C. 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使，求取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于的不等式，解出即可． 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围， 作出与的图象，如图所示， 由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为， ∴，解得． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列三角式中，值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案. 【详解】A选项,，故正确. B选项，，故正确. C选项，，故正确. D选项，，故错误 故选：ABC 10. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，再求其外接圆面积判断A，由体积结合正弦定理可得，再结合大边对大角判断B，结合正弦定理和余弦定理可得为钝角，判断C，再结合正弦定理将关系转化为角的关系，判断D. 【详解】设的外接圆的半径为， 对于A，因为，所以，故， 所以的外接圆的面积为，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，由大边对大角可得，B正确； 对于C，由， 所以，故， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，故为钝角三角形，C正确； 对于D，由可得，， 所以，又，， 所以，由条件无法确定是否为直角， 例如：若，则，此时满足条件， 但不是等腰直角三角形，D错误. 故选：BC. 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数为纯虚数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义求出，再求出复数的模. 【详解】由复数为纯虚数，得，，所以. 故答案为：1 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】由，得，又， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 14. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为： 15. 若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数和二次函数的单调性及端点值可画出分段函数的图象，若函数与直线恰有三个交点，则，由此可得出答案. 【详解】当时，，此时，在上单调递减； 当时，，此时，在上单调递增； 当时，，对称轴为， 故在上单调递增，又，画出函数的图象如图所示： 由图象可知，若函数与直线恰有三个交点，则，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知向量，满足，，．计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】根据已知条件得，结合向量数量积的运算律及向量模运算求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得，因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的单调增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，从而得到，代入，求出，得到函数解析式； （2）根据伸缩变换和平移变换得到，整体法得到函数的单调递增区间. 【小问1详解】 ，由图象可知， 设的最小正周期为，由图象可知，，解得， 又，故，解得， 则， 将代入解析式，，故， 所以，又，所以， 所以. 【小问2详解】 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 纵坐标伸长到原来的倍，得到， 再向右平移个单位长度得到， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为. 18. 已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为； （1）求； （2）若任意，均使恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数化成一个三角函数，再由函数图象相邻的两对称轴之间的距离为得出函数的周期，进一步求解得出结果. （2）在给定区间上求的最大值，进一步求解不等式即可. 【小问1详解】 ， 又因为函数相邻的对称轴距离为， 所以，又，，，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，， 故，即， 所以，解得. 故实数的取值范围. 19. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可； （2）利用正弦定理得，所以，将的周长的取值范围转化为正弦型函数的值域问题求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得：， 即，所以， 由于，所以，又， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故，所以. 故的周长的取值范围为：. 20. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，用正弦的和差公式和辅助角公式化简计算即可； （2）由余弦定理解得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可； （3）设，，，通过代入余弦定理化简，通过题意代入化简，用重要不等式进行求解最小值即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即， 所以，所以， 即，又所以，得； 【小问2详解】 由即①， 由余弦定理得②， 由①②得，由且点为的费马点， 则， 故， 化简得：， 即； 【小问3详解】 设，，， 在，，中，由余弦定理得， ， ， 又则得，， 即， 由，则， 故， 即有，解得或（舍去）， 当且仅当且且，解得时，等号成立， 故实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇安中学2024—2025学年度第二学期期中考试试题 高一数学 命题：杨媚 校试：高宗云 考生注意： 1.本试卷分共150分.考试时间120分钟. 2.请考生在答题卡密封栏内正确书写班级、姓名、考号信息. 3.选择题答案请填涂在机读答题卡上，非选择题答案请填写在答题卡上，超出答题栏内的作答无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若与均为实数，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 下列函数中，周期为的是 A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，其中a，b，，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. －5 D. 5 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 7. “七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. 14 D. 20 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列三角式中，值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数为纯虚数，则______． 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 14. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 15. 若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知向量，满足，，．计算 （1）； （2）． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的单调增区间. 18. 已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为； （1）求； （2）若任意，均使恒成立，求实数的取值范围. 19. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围. 20. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $