专题6.13 反比例函数与几何图形变换（9类题型）（拓展培优）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题6.13 反比例函数与几何图形变换（9类题型）（拓展培优） 反比例函数与几何变换的综合题型是中考数学的常考难点,主要考查学生对函数性质、几何图形变换（平移、对称、旋转等）的掌握以及数形结合能力。本专题分类梳理出中考常考题型，供参考使用！ 第一部分【知识梳理与题型目录】 综合提升（选择填空题） 【题型1】反比例函数图形的平移变换...................................................1 【题型2】反比例函数与几何图形的对称变换.............................................5 【题型3】反比例函数与几何图形的折叠问题.............................................9 【题型4】反比例函数图象的旋转变换..................................................14 【题型5】反比例函数与几何图形面积综合..............................................18 拓展压轴（解答题） 【题型6】反比例函数图形的平移变换..................................................23 【题型7】反比例函数与几何图形的对称变换（折叠）....................................29 【题型8】反比例函数图象的旋转变换..................................................36 【题型9】反比例函数与几何图形面积综合..............................................40 第二部分【题型展示与方法点拨】 综合提升（选择填空题） 【题型1】反比例函数图形的平移变换 【例1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平移后的双曲线的解析式为，联立解析式，利用根与系数的关系，进行求解即可． 解：由题意，平移后的双曲线的解析式为：， 联立，整理，得：， 设两个交点的横坐标为， 则：， ∵交点的横坐标之和与的值无关， ∴每两个交点的横坐标之和均为， ∴这2024个交点的横坐标的和为； 故选C． 【变式1】（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】36 【分析】作轴于点于，根据证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值． 解：作轴于点于， 在中，，点均落在坐标轴上，且，点的坐标为， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设向上平移个单位，则，则， 又 ∵点和在该比例函数图象上， ∴，解得， ， 故答案为： 36 ． 【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化-平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识． 【变式2】（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于， 两点．正方形的顶点，在第一象限，且顶点在反比例函数的图像上． （1）的面积为 ； （2）若正方形向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图像上，则 ． 【答案】 2 8 【分析】（1）首先求得点的坐标，可得，，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）过点作轴于点，交反比例函数图像于点，过点作轴于点，证明，，进而确定点的坐标，然后求得的值，即可获得答案． 解：（1）对于一次函数， 令，则有，解得，即， 令，则，即， ∴，， ∴； （2）如图，过点作轴于点，交反比例函数图像于点，过点作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 同理可得， ∴，， ∴，即， 将点代入反比例函数， 可得，解得， 即该反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点的纵坐标为5， ∴点的横坐标为1，即， ∵将正方形向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图像上， 即此时点重合， ∴点移动了个单位长度，即， ∴． 故答案为：（1）2；（2）8． 【点拨】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 【题型2】反比例函数与几何图形的对称变换 【例2】（2022·浙江宁波·一模）如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性可得函数l2的解析式为：，令，组成一元二次方程，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，由根与系数的关系可得出m＋n＝2，mn＝，再结合点A是OB的中点，可得出m和n的值，由此可得出结论． 解：由对称性可得函数l2的解析式为：， 令，整理得，k2−2k2x＋k1＝0， 设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n， 则m和n是k2−2k2x＋k1＝0的两根， 由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝， ∵点A是OB的中点， ∴2m＝n②， 由①②可知，m＝，n＝， ∴mn＝，故A正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数l2的解析式是解题关键． 【变式1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．    【答案】或/或 【分析】根据题意求得反比例函数解析式为，得到和，根据反比例函数的对称轴的平移规律得到反比例函数上的点的平移规律，即可根据勾股定理求得两点间距离， 解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1， 故将代入一次函数得，故点， 将代入反比例函数，得，故反比例函数的解析式为； 令，整理得，解得，， 将代入一次函数得，故点； 故点与点关于直线对称， ∵反比例函数关于直线对称， 则直线关于直线对称后的图像为直线； 令反比例函数的图像关于直线对称后的图象为，的图象关于直线对称 故的图象可以看做是由反比例函数进行平移得到， 原点关于直线的对称点，如图：    故直线可以看做直线每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位）， 则的图象可以看做是由反比例函数图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位）， 则点平移之后的坐标为， 点平移之后的坐标为， 即反比例函数的图像关于直线对称后的图象经过直线上的点的坐标为或， 线段的长度为，或； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数的平移，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于A，B两点，当A为中点时，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由对称性得到函数的解析式，再和一次函数联立，得到，然后设A、B两点坐标分别为m、n，用根与系数的关系结合A为中点求出m、n的值，即可得出答案． 解：由对称性可得函数的解析式为：， 令，整理得： ， 设点A得横坐标为m，点B的横坐标为n， 则m和n是的两根， ∴，， ∵A为中点， ∴， ∴可得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数的解析式是解题关键． 【变式3】（22-23八年级下·江苏·期末）如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ． 【答案】 解：利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出的值． 解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x=1对称， ∴反比例函数l2为：y， ∵直线y=k2x与l2交于A，B两点， ∴， 整理得：， ∴，（根与系数的关系）， ∵A为中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，求出函数l2的解析式是解题关键． 【题型3】反比例函数与几何图形的折叠问题 【例3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，设，根据矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，，则，利用勾股定理求出，则，进而在中由勾股定理求出，从而得点，则反比例函数的表达式为，然后根据点的纵坐标为4得点，据此可得的长,理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握图形的折叠变换及性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 解：设， 四边形为矩形，点， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为：， 反比例函数的图象与边交于点， 点的纵坐标为4， 对于，当时，， 点， ． 故选：A． 【变式1】（21-22九年级上·广东佛山·期末）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值． 解：正方形的边长为4，点是边的中点， ，，，， 沿着折叠得到， ，， 设， ， ， ，， 点的坐标为，， 设直线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 解方程组得， ，， 点，在反比例函数的图象上， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质． 【变式2】（2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可． 解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点， ∴，，则，，， ∵沿折叠得到， ∴，， 设，则，， 解得，，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键． 【题型4】反比例函数图象的旋转变换 【例4】（2023·河南商丘·一模）如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点D是的中点求出点B的坐标和反比例函数解析式，再由得到点C的横坐标，代入反比例函数解析式求得点C的坐标，再根据点D是的中点求出点A的坐标，再根据旋转的周期性得解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点，点D是的中点， 又∵ ∴， 将点代入得： ∴ ∴反比例函数的解析式是． ∵ ∴点C的横坐标是4， 当时，， ∴ 又∵点D是的中点，， ∴ ∵绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴点A的坐标每4次旋转作为一个循环， ∵，第三次旋转之后点A的坐标是 ∴第次旋转结束时，点A的坐标为 故选：D． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，旋转的性质等知识，利用数形结合思想和掌握旋转的周期性是解题的关键． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为 ． 【答案】； 【分析】本题考查了反比例函数的性质、旋转的性质、勾股定理及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，先设出B点坐标，表示出D，E点坐标代入反比例函数即可得到答案； 解：设， ∵点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵绕着点B旋转得到， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点D和点E， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为 ．    【答案】// 【分析】反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，得出，作轴于，设，并且是由绕点顺时针旋转得到的，则，从而，可证出是等腰直角三角形，得的坐标，代入从而得出的值，进而求得的长度，利用三角形面积公式解决问题． 解：设反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于， 设， ， ， ， ， ， ， 作轴于，是由绕点顺时针旋转得到的， ∴点K在原反比例函数图象上． 设， ， ∴， 过点作轴于，轴，   是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 解得或（舍， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 【题型5】反比例函数与几何图形面积综合 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 【变式2】（2023·四川内江·二模）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先由一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点求得点和点的坐标，从而可得的值，再将一次函数与反比例函数的解析式联立，由判别式得到与的数量关系式及点和点的坐标，然后用含和的式子表示出四边形的面积，将含的部分配方，即可得出答案． 解：的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， 为中点， 在的图象上， ， 是唯一公共点， 由，得：， ， ， ， ，， ， 当，即时，取到最小值48． 四边形的最小面积是48． 故答案为：48． 拓展压轴（解答题） 【题型6】反比例函数图形的平移变换 【例6】（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b是常数，且）的图象与反比例函数（k是常数，且）的图象交于一、三象限内的两点，与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将直线沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于两点（点E在点F左侧），连接、，求的面积． （3）在（2）的条件下，设D是反比例函数图象上一点，使得的面积是的，求点D的横坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）代的坐标入，求出，即可求出反比例函数解析式，求出的坐标，把的坐标代入一次函数的解析式求出即可； （2）将直线沿轴向下平移6个单位长度后的解析式为，解方程组得到，，于是得到结论； （3）分为①点在第一象限，且在直线的上方，②点在第一象限，且在直线的下方，③点在第三象限，且在点的上方，④点在第三象限，且在点的下方，四种情况讨论即可． 解：（1）将代入， 解得， 将代入，得， 又将，代入 ， 解得， ． （2）由（1）可知直线，， 直线沿y轴向下平移6个单位长度后， 得到直线， 联立，即， 整理得， 解得， ，， 如图，设直线与轴交点为，   ． （3）， 设， 当点在第一象限，且在直线的上方时，    整理得， 解得（负值舍去）， 当点在第一象限，且在直线的下方时，    整理得， 解得（负值舍去）， 当点在第三象限，且在点的上方时，   ， 整理得， 解得（正值舍去）， 当点在第三象限，且在点的下方时，   ， 整理得， 解得（正值舍去）， 综上所述，或 【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题解直角三角形，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的交点的求法和分类讨论思想． 【变式】（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． （1）一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； （2）在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；；（2）存在，；（3）①，；②点的坐标为或或 【分析】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题； （2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题； （3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题； ②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题． 解：（1）解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点， ，， 解得，， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为； 故答案为：；． （2）解：存在， 点C的横坐标为3， ，即， 轴，且在反比例函数上， ，，即， 点E在线段上， 设（）， ，， 记点E到的距离， 有， 即， 解得， 点E到的距离等于它到x轴的距离， 或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （3）解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度， 点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上， ， 由平移的性质可知，，， 在一次函数图象上， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，； ②， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 记直线向右平移个单位长度得到直线， 由平移的性质可知，直线的解析式为， 射线与x轴交于点F， ，即， 联立与，有， 整理得， 将代入中有：， 即， ，， ，，， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形， ①当、为菱形的边时， 有，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即； ②当、为菱形的边时， 有，即， 整理得， 解得， 即； ③当、为菱形的边时， 有，即， 解得， 即； 综上所述，点的坐标为或或． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，等面积法，勾股定理，平移的性质，菱形的性质和判定，坐标与图形等，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 【题型7】反比例函数与几何图形的对称变换（折叠） 【例7】（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知点，都在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意，将，代入，即可求解； （2）①设直线的解析式为：，点在直线与抛物线相切的点上，进而求解即可；②设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称，连接，，，根据平行线的性质即可求解 解：（1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 【变式】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，求出的值． 【答案】（1），是矩形的“友好函数”，理由见分析；（2）①；②． 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2） ①求出正比例函数，设点，则，则，根据折叠的性质得，延长交轴与， 根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，根据勾股定理列方程并求出，求出点坐标，即可求出； ②当时，即，将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，根据，得到，即可求解． 解：（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式，得：． ∴反比例函数的表达式为：， 当时，， ∴点在反比例函数图像上， ∴该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式，得， ∴正比例函数表达式为， ∵正比例函数是矩形的“友好函数”， ∴点在直线上， 设点，点， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为，点落在轴上， ∴， 延长交轴于，如图： ∵四边形是矩形． ∴． ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：或， ∵， ∴． ∴． ， 当时，， 把代入反比例函数得：， ∴； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴当时， ， 当时，， ∴，， ， 当时，， ∴，， ， ∴． 【点拨】本题考查了矩形的性质，求函数解析式，反比例函数和一次函数的性质，勾股定理等知识，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解是解题的关键． 【题型8】反比例函数图象的旋转变换 【例8】（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，垂足为B． （1）如图1，当，时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转得点． ①若，直接写出点的坐标是______； ②点在过点的双曲线上，求的值； （2）如图2，将过点的双曲线的分支沿轴折叠得到另一双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在折叠后的双曲线上的点处，试探究和的数量关系． 【答案】（1）①；②或；（2）或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，折叠的性质； （1）①设反比例函数解析式为，根据题意得：当，，求得，从而求出反比例函数解析式为，根据条件确定，，从而确定；②根据点在过点的双曲线上，将代入计算即可； （2）①当点与点关于轴对称时，，，可得， ②当点绕点旋转时，得到点，点在上，过点作轴于点，则，进而解答即可． 解：（1）解：（1）①如图，设反比例函数解析式为， 根据题意得：当，， ， ， 反比例函数解析式为， 过点作轴的垂线， ， 根据题意得：，， ， 故答案为：； ②根据题意得：， 点在上， ， 或； （2）如图2， ①当点与点关于轴对称时，， ， ②当点绕点旋转时，得到点，点在上，过点作轴于点， 则， ，， ， ， 即 ， 点在上， ， 综上所述： 和的数量关系是或． 【变式】（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式以及点的坐标． （2）利用图象，直接写出关于的不等式的解集． （3）如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 解：（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点拨】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 【题型9】反比例函数与几何图形面积综合 【例9】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． （1）求双曲线的解析式； （2）当时，求的面积； （3）若平分，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式． （2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积． （3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标． 解：（1）解：∵双曲线与直线交于点 将代入 ∴ ∴ 将代入 ∴ ∴ （2）解：设直线的表达式为 将代入，得 ∴直线的表达式为 ∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点， 可得方程组， 解方程组得：或 ∴点 又∵ ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：延长交的延长线于点，如图 ∵平分 ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴点是的中点 ∵点在直线上 ∴设点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 设点 ∵点是的中点 ∴ ∴ 【点拨】本题主要考查反比例函数和几何的综合应用，涉及反比例函数的性质与应用，一次函数的性质与应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理，角平分线的性质，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质． 【变式】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线与反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为：；（2）；（3）①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 解：（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.13 反比例函数与几何图形变换（9类题型）（拓展培优） 反比例函数与几何变换的综合题型是中考数学的常考难点,主要考查学生对函数性质、几何图形变换（平移、对称、旋转等）的掌握以及数形结合能力。本专题分类梳理出中考常考题型，供参考使用！ 第一部分【知识梳理与题型目录】 综合提升（选择填空题） 【题型1】反比例函数图形的平移变换...................................................1 【题型2】反比例函数与几何图形的对称变换.............................................2 【题型3】反比例函数与几何图形的折叠问题.............................................3 【题型4】反比例函数图象的旋转变换...................................................4 【题型5】反比例函数与几何图形面积综合...............................................5 拓展压轴（解答题） 【题型6】反比例函数图形的平移变换...................................................7 【题型7】反比例函数与几何图形的对称变换（折叠）.....................................8 【题型8】反比例函数图象的旋转变换...................................................9 【题型9】反比例函数与几何图形面积综合..............................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 综合提升（选择填空题） 【题型1】反比例函数图形的平移变换 【例1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【变式2】（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于， 两点．正方形的顶点，在第一象限，且顶点在反比例函数的图像上． （1）的面积为 ； （2）若正方形向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图像上，则 ． 【题型2】反比例函数与几何图形的对称变换 【例2】（2022·浙江宁波·一模）如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．    【变式2】（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于A，B两点，当A为中点时，则k的值为 ． 【变式3】（22-23八年级下·江苏·期末）如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ． 【题型3】反比例函数与几何图形的折叠问题 【例3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（21-22九年级上·广东佛山·期末）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【题型4】反比例函数图象的旋转变换 【例4】（2023·河南商丘·一模）如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为 ． 【变式2】（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为 ．    【题型5】反比例函数与几何图形面积综合 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【变式2】（2023·四川内江·二模）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为 ． 拓展压轴（解答题） 【题型6】反比例函数图形的平移变换 【例6】（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b是常数，且）的图象与反比例函数（k是常数，且）的图象交于一、三象限内的两点，与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将直线沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于两点（点E在点F左侧），连接、，求的面积． （3）在（2）的条件下，设D是反比例函数图象上一点，使得的面积是的，求点D的横坐标． 【变式】（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． （1）一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； （2）在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【题型7】反比例函数与几何图形的对称变换（折叠） 【例7】（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知点，都在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【变式】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，求出的值． 【题型8】反比例函数图象的旋转变换 【例8】（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，垂足为B． （1）如图1，当，时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转得点． ①若，直接写出点的坐标是______； ②点在过点的双曲线上，求的值； （2）如图2，将过点的双曲线的分支沿轴折叠得到另一双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在折叠后的双曲线上的点处，试探究和的数量关系． 【变式】（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式以及点的坐标． （2）利用图象，直接写出关于的不等式的解集． （3）如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【题型9】反比例函数与几何图形面积综合 【例9】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． （1）求双曲线的解析式； （2）当时，求的面积； （3）若平分，求点的坐标． 【变式】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线与反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 1 学科网（北京）股份有限公司 $$