第6章 反比例函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第6章 反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)连结，设点为轴上一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数的解析式，函数与不等式，等腰三角形性质，分类讨论，是解题的关键． （1）先把A点坐标代入中求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）结合一次函数图象与反比例函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可； （3）分，列方程求得C的横坐标，即得． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ， ． 将代入， 得， ， ． 将代入中， 得， 解得， ． （2）解：∵函数和的图象交于和两点，如图， ∴不等式的解集为或． （3）解：， ． ∵为等腰三角形， 当时， 得到； 当时，， ∵C点在轴负半轴， ； 当时， 设． ∵中点为， ∴， 解得 ． 综上所述，C点坐标为或或或． 【融会贯通】 1．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【分析】（1）把点坐标代入求得值即可； （2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． 2．如图，在同一直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象的一个交点为． (1)求的值及反比例函数的解析式． (2)若点在轴上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、勾股定理、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到求出的值，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）由（1）得，设点的坐标为，根据题意分①；②；③三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，分别求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：代入到，得， ， 代入到，得， 反比例函数的解析式为， ，反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）得，， ， 设点的坐标为， 则，， ①若，则， 解得：， 点的坐标为或； ②若，则， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； ③若，则， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 3．如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且． (1)求一次函数关系式和的值； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数关系式为，； (2) (3)、、、． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解； （3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 一次函数关系式为， 在一次函数图象上， ， ， 将代入， 得：； （2）解：将与联立，得：， 解得，， 将代入，得 ， ， ， ， ； （3）解：， ． 当时，如图： 点M的坐标为：、； 当时，作轴于点H， 则， ， 点M的坐标为：； 当时，设点M的坐标为， 则， 解得， 点M的坐标为：； 综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，熟练运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键． 类型二、反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入一次函数的解析式求出，待定系数法求出的值 即可； （2）作轴，轴，于点，证明，进而求出点坐标即可； （3）平移得到，直线与反比例函数的交点即为点，求出直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， ∴； 故； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴，过点作轴，则：轴，，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵将沿直线平移， ∴， ∴设的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知：反比例函数的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴ 2．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．    【基础应用】 （1）求k的值； （2）求直线的函数表达式； 【拓展应用】 （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作轴，易得，设，代入一次函数解析式，求出点坐标，待定系数法求值即可； （2）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，证明，得到，进一步求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：过点作轴，    ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得：， ∴直线的解析式为：； （3）存在，过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∵， ∴点的横坐标为， ∵点在双曲线上，， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 3．已知点、点在反比例函数图象上，点C是x轴上的一个动点． (1)求k的值； (2)若，，试判断的形状，并说明理由； (3)若点C在x轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点C的坐标． 【答案】(1)6 (2)等腰直角三角形，见解析 (3)或或 【分析】（1）把点A坐标代入解析式可求k的值； （2）先求出点B坐标，分别求出，，的长，由勾股定理的逆定理可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质先求出点B坐标，代入解析式可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 当，时， ∴点，反比例函数解析式为， 把代入得： ∴点， ∵点，点，点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图，当时，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵点， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴点， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∴点； 如图，当时，过点B作轴于G，过点A作，交的延长线于E，过点C作，交直线于D， 同理可得：点， 如图，当点时，过点B作轴于G，过点A作交，的延长线于E， 同理可得：点， 综上所述：点C坐标为或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 类型三、反比例函数中的直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）根据平移后点的对应点坐标为，代入反比例函数解析式即可求出答案； （3）求出，，是，的直角三角形，则点P在直线上，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，反比例函数的图象经过点． ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为， ∵平移后点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， （3）解：存在点，使得是，的直角三角形， ∵四边形是矩形，顶点，， ∴，， ∵是，的直角三角形， ∴点P在直线上， ∵， ∴， ∴点P的坐标为或 【融会贯通】 1．综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 2．如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）设点B的横坐标为，根据的面积为得到，求出，设反比例函数解析式为，代入点B坐标求解即可； （3）设，根据题意分和两种情况，分别根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数经过点， ∴ ∴； （2）解：∵轴，的面积为 ∴设点B的横坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ 设反比例函数解析式为 将代入得， ∴ ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵点C在直线上 ∴设 如图所示，当时，即    ∵轴， ∴轴 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 类型四、反比例函数中的等边三角形 【解惑】如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上， (1)求直线的解析式； (2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，涉及到直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强． （1）设，，，求得，由点在反比例函数的图象上，求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，， 设，，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴将E点代入反比例函数，解得，（舍）， ； 设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得， 解得， 解得：； （2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小， ∴， ， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． (1)点A的坐标为_____，k的值为___； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图，过点A作轴，连接， ， ， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)，或， (3)Q的坐标为：或或或 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）过点A作轴于E，作直线交反比例函数图象于P，过P作轴于H，作关于直线的对称直线交x轴于点D，如图：由（1）知：，即得出，进而易证是等边三角形．利用待定系数法可求直线的解析式为．联立，求解，即得出或．当时，由对称性可知，当时，同理可得； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）过点A作轴于E，作直线交反比例函数图象于P，过P作轴于H，作关于直线的对称直线交x轴于点D，如图： 由（1）知：， ∴， ∴． ∵轴于E，轴于H， ∴． ∵关于直线的对称直线交x轴于点D， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 设直线的解析式为， 把代入得， ∴直线的解析式为． 联立，解得：或， ∴或， 当时，由对称性可知， 当时，同理可得； ∴，或，； （3）如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ①以为斜边时，， ∴， 解得， ∴Q或； ②以为斜边时，， ∴， 解得， ∴； ③以为斜边时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，菱形的性质，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 3．在平面直角坐标系中，已知为等边三角形，，点C为的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与交于点D，，点B的横纵坐标之和为． (1)点C的坐标为________；（请直接写出结果） (2)求反比例函数的解析式； (3)求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于M，过点A作轴于N，证明，得，，设，则，然后由中点坐标公式求解； （2）设B点坐标为，则．再根据，求得，即可求得，从而求解； （3）先由点C坐标求得，再证明是第一象限角的平分线，从而可得所在直线的解析式为，再联立，求得D点的坐标为，从而可求得的长， 然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于M，过点A作轴于N，如图， 则， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵点C为的中点， ∴点， ∵点B的横纵坐标之和为， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设B点坐标为，则． ∵B的横纵坐标之和为， ∴． 解得． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵ ∴， ∵为等边三角形，点C为的中点， ∴， ∴， ∴是第一象限角的平分线， ∴所在直线的解析式为． 联立， 解得， ∴D点的坐标为． ∴． ∴． ∴CD的长度为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，反比例与一次函数交点，等边三角形的性质，中点坐标公式等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 类型五、反比例函数中的平行四边形 【解惑】如图，平面直角坐标系中，的图象经过，． (1)求k和m的值； (2)在第一象限内取一点D，使得四边形为平行四边形，求直线的函数解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法，以及反比例函数性质，求一次函数解析式，平行四边形判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）采用待定系数法代入计算即可； （2）设直线的解析式为，待定系数法求出的解析式为，再结合且过点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点、， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 又平行四边形中，， ∴直线可以看作是直线平移可得，且过点， ∴直线的函数解析式为：． 【融会贯通】 1．如图，已知函数的图像与x、y轴分别相交于A、B两点，的边与y轴交于点E，且E为中点，反比例函数的图像经过C、D两点． (1)求k的值； (2)已知点P在该双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试写出所有满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1)4 (2)当为对角线时，，；当为对角线时，，；当为对角线时，， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，设，根据E为中点，且点E在y轴上，得出，再利用平行四边形的性质表示出点的坐标，结合反比例函数的图像经过C、D两点，求出的值，再把点代入即可解答； （2）由（1）得，反比例函数解析式为，，，根据题意分①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线三种情况讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，解得：， ，， 设， E为中点，且点E在y轴上， ， 解得：， ， ， ，， ， 反比例函数的图像经过C、D两点， ， 解得：， ，， 代入到，得， 的值为4． （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，，， 设，， ①当为对角线时，则， 解得：， ，； ②当为对角线时，则， 解得：， ，； ③当为对角线时，则， 解得：， ，． 综上所述，当为对角线时，，；当为对角线时，，；当为对角线时，，． 2．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段的中点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向右平移3个单位长度后得到直线，直线交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接，，求的面积； (3)请结合图象，直接写出不等式的解集； (4)在坐标平面内，直接写出点M的坐标，使以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)或或 【分析】（1）先根据直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求得，，根据中点坐标公式可得，再根据反比例函数的图象经过线段的中点C，即可得到k的值； （2）先求出直线的解析式，将反比例函数与直线的解析式联立组成方程组，解方程组得到E、F两点的坐标，过点C作轴交于P，求出P点坐标，根据，即可求解； （3）结合函数图象直接写出不等式的解集即可； （4）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可得等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，得，解得， 令，得， ∴，， ∵线段的中点是C， ∴． 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵将直线向右平移3单位长度后得到直线，线交x轴于点D， ∴，， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得或， ∴，． 如图，过点C作轴交于P，则P点的横坐标为6， 将代入，得， ∴， ∴ ； （3）解：由图象可得，不等式的解集为． （4）解：设点，分以下三种情况： 若和为对角线， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴和互相平分，即和中点是同一个点， ∴，， ∴，， ∴点； 若和为对角线， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴和互相平分，即和中点是同一个点， ∴，， ∴，， ∴点； 若和为对角线， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴和互相平分，即和中点是同一个点， ∴，， ∴，， ∴点； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，行四边形的性质等知识． 类型六、反比例函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． (1)求点的坐标以及的值； (2)连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； (3)点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)点或 【分析】（1）先求出点坐标，根据，求出点纵坐标，然后代入，即可求出点横坐标，最后将点坐标代入，进行求解即可； （2）先求出点D坐标，再求出直线表达式为，设点，根据四边形是菱形，得出，列出方程求解即可得出点P坐标； （3）设点，分两种情况①当点E在点D的下方时，②当点E在点D的上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． （2）由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， ∵，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， （3）设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得，解得：， ∴点． 综上所述，点或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质并灵活运用，正确作出图形添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为；直线的函数表达式为 (2)的最小值为，此时 (3)的值为 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得反比例函数解析式；把点B的纵坐标代入所求反比例函数式中，求得点B的横坐标，从而求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）作点A关于x轴的对称点E，连接，则当三点共线，且时，的值最小；设点，则得，由此可求得最小值，得到点P的坐标； （3）由M在反比例函数图像上得；求出直线的函数解析式，则可得，从而知四边形是平行四边形，若要使它为菱形，则即可，由勾股定理建立关于m的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴； ∵点B的纵坐标为3，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴； 设直线的函数表达式为，把B、C两点坐标分别代入其中， 得：，解得：， ∴． 即直线的函数表达式为． （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点E，连接， 则，， ∴， 则当三点共线，且时，的值最小； 设点，由勾股定理得， ∵， ∴， 当时，有最小值18，则有最小值； 当时，，即， ∴的最小值为，此时； （3）解：存在，理由如下； ∵点M在反比例函数的图像上，且， ∴； 设直线解析式为，则有，解得：， ∴直线解析式为； 同理求得直线的解析式为； 由两直线解析式的系数相等得，且， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是菱形， ∴， 而， ∴， 解得（舍去）， 即的值为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，垂线段最短，对称问题，菱形的判定等知识点，掌握这些知识是关键． 2．如图，在直角坐标平面内，直线与y轴交于点A，与双曲线交于点B． (1)连结，如果的面积为6，求直线的表达式； (2)点C在x轴负半轴上，点D在的延长线上，如果四边形是菱形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出，再根据的面积为6，算出，然后代入反比例进行计算，即可作答． （2）结合四边形是菱形，得证，则，根据角的等量代换得出，结合角平分线的性质得出，再设点，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， ∴时，则， ∴ ∴ ∵的面积为6 ∴ ∵点B在第四象限 ∴； 把代入 ∴ ∴ 设直线的表达式为 把和代入 得 解得 ∴； （2）解：如图：分别过点作轴，点作轴， ∵四边形是菱形，点D在的延长线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∵轴，轴， ∴ 设点 ∵点B在双曲线交于 ∴ ∴（负值舍去） ∴． 3．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，设，得到，代入反比例函数解析式即可求解； （3）设点，，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）当时，，解得， 当时，， 一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 为线段上的点， ∴设，则， 则有， 解得，或舍去 ； ∴； （3）设点，， 由（2）可知：点，点， ∴， 由题意知，为菱形的边， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 由平移规则和得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：或或或． 类型七、反比例函数中的矩形 【解惑】棱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数图象上； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和轴对称、中心对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可； 【详解】（1）点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）已知，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． ∵， ∴点N在反比例函数的图象上； 【融会贯通】 1．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点M，N．连接，． (1)若，，求反比例函数的表达式． (2)判断 (填“”“”或“”)． (3)小颖说“若M是边的中点，则N是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到 ，得到， 求得，把， 代入函数解析式即可得到结论； （2）根据反比例函数系数的几何意义即可得到结论； （3）根据矩形的性质得到 ， 由是边的中点，得到求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴. ∴． ∵， ∴. ∴点N的坐标为． ∵点N在反比例函数的图象上， ∴. ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵反比例函数的图象与边，分别交于点， ， ， 故答案为：=； （3）解：小颖的说法正确，理由： ∵四边形是矩形， ， ∵是边的中点， ， ， ， ∵反比例函数的图象与边，分别交于点，， ， ，， ∴是边的中点． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； (2)点C的坐标为； (3)点N的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）分别把代入和，计算即可求解； （2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于， ∴点， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：①当点在轴上时， 如图：过作直线轴交轴于点，过作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴点N的坐标为； ②当点在轴上时， 同理，点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 3．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)或 【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标，然后利用待定系数法求函数的解析式； （2）分类讨论：当时，，当时，；利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可； （3）分类讨论：当时，当时，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵在直线上， ∴， 又∵双曲线过Q， ∴， ∴， ②当时，， 过Q作，垂足为D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，， 过Q作，垂足为E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 综上所述，． 如图， （3）把代入，得，． 把代入，得，． 结合图象可知，当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求函数解析式，画函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，分类讨论是解题的关键． 类型八、反比例函数中的正方形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合，利用一线三等角模型求得点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴于点，则，证明求得点坐标，再利用中点公式求得点坐标，代入即可解答． 【详解】（1）解：将点分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解： 点， ， 如图，过点作轴于点，则． 四边形是正方形， ． ． ， ． ， ， ， ， 点的坐标为， 点， 点的坐标为，即， 反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点， ． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为与反比例函数的图象交于点，点． (1)求所在直线的解析式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正方形的性质，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定等等，正确求出B、D的坐标是解题的关键． （1）分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E，证明得到，则，再根据正方形对角线中点坐标相同求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出对应的解析式即可； （2）先求出反比例函数解析式，进而求出点D的坐标，再利用两点距离计算公式分别求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：把代入到中得，解得， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴，， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点是线段上一动点，点是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)向左平移1个单位长度 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）作轴于E，由正方形的性质可得，由等角的余角相等可得，可证明，可得到，从而可得出点D的坐标，即可得到k的值． （2）过点C作轴于点F，同（1）可得，故，故可得出C点坐标，把C点纵坐标代入反比例函数的解析式求出M点坐标，再把C、M两点的横坐标相减即可得出结论． （3）设，即，勾股定理求出，得到的周长，的面积，由直线将的周长和面积同时平分，得到，求出m，n，根据得到不存在直线将的周长和面积同时平分的结论． 【详解】（1）解：如图，作轴于E， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图2，过点C作轴于点F，交双曲线于点M， 同（1）可得， ∴， ∴， ∵在反比例函数中，当时，， ∴， ∵， ∴将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上． （3）解：不存在， 设，即， 在中，， ∴, ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴ ∴ 整理得 解得 当时，， 当时，， ∵ ∴不存在直线将的周长和面积同时平分． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，添加适当的辅助线，是解题的关键． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 类型九、反比例函数中的角度问题 【解惑】一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，若点为线段上一点，且，连接，求； (3)直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）将代入，求得，再代入即可求解； （2）连接，令与轴交于点，由函数解析式得，利用，而，则，即可求解； （3）令于轴交于点，得，结合勾股定理可得，即，利用数形结合，考虑点从下方往上运动，找到相应临界位置求得对应的值即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）将代入，得，即， 连接，令与轴交于点， 由一次函数的表达式知，当时，即，可得， ∴， 则， ， 则； （3）令于轴交于点， 当时，，解得：，即， 当时，，即在直线上， ∵，，， ∴，即， 当点与点重合时，，此时与重合，代入，得， 当点在点下方时，显然，符合题意，此时； 当点在点与点之间时，显然，故不符合题意； 当点与点重合时，代入，得，此时不存在，故不符合题意； 当时，此时，但此时与无交点，故不符合题意； 由此可知，当时，与交点在上方，故不符合题意； 当时，与交点在下方，符合题意； 综上，点在直线的下方，且满足时，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，勾股定理的逆定理，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解决相关问题． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)6， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出的坐标，三角形的面积公式求出的面积，等积法求出点到直线的距离即可； （2）过点作轴的平行线，作，证明，进行求解即可； （3）根据，过点作的平行线，等距平移，在的上方作的平行线，两条平行线与双曲线的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， 则：， ∴； ∴点到直线的距离为． （2）过点作轴的平行线，作， 则：，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：； （3）①过点作的平行线，设解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； ②将直线向上平移个单位，得到直线， 则：当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧； (1)若点A的坐标，点B的坐标为，请你求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)点A的横坐标为1，，求出k的值． (3)若反比例函数的图象经过点，点是双曲线上的一动点过B作y轴的垂线，垂足为C，点D是坐标系中的另一点．若以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为多少． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，平行四边形的性质； （1）把代入得到，再求出，最后求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作于，交轴于，证明，得到，，再由得到，代入得，解方程即可； （3）先求出反比例函数解析式为，再由面积得到，最后在中过A，B，C，三个点分别作对边的平行线，交点为，此时以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，利用平移求出点坐标，分别求出对角线的长度，最后取最大对角线长度即可． 【详解】（1）解：把代入得到， ∴反比例函数解析式为； ∵经过点， ∴， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：连接OA、OB，过作轴于，过作于，交轴于，则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点A的横坐标为1，经过点A的双曲线， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 把代入得， 解得， ∵在第一象限， ∴， ∴； （3）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点是双曲线上的一动点， ∴， ∵过B作y轴的垂线，垂足为C， ∴，， 过作轴交于， ∵以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 中过A，B，C，三个点分别作对边的平行线，交点为，此时以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形， 当是平行四边形时，如图，点向左平移4个单位长度得到点，则向左平移4个单位长度得到点，此时对角线，； 同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，； 同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，； 综上所述，以A，B，C，D为顶点的平行四边形的对角线长度的最大值为． 3．如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)的最小值为，此时； (3)符合条件的点的横坐标为或． 【分析】（1）先求出点坐标，利用求出点的坐标，继而求出反比例函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线交直线于点，根据面积求出点坐标，再求出直线解析式，得到点坐标，继而求出线段长，将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，，则四边形是平行四边形，则，当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，据此求出最小值和点坐标即可； （3）分两种情况讨论①当在左侧时，②当在右侧时，根据条件分别求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， ， ， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点， 设点，，则， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， ， 将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ， 当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ，， 直线的解析式为，， 由，解得， ，则， 的最小值为，此时； （3）解：①当在左侧时，如图所示， 设与轴交于点，则， ，则， 当时，， ，则， 过点作轴，垂足为， ，，， ， ，则， ， ， ，即点、、共线， 则点为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）， 点的横坐标为； ②当在右侧时，如图，轴，则， 则， ，则， 直线的解析式为， 由得， 解得或（舍去）， 在右侧的点横坐标为． 综上分析，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键． 类型十、反比例函数中的定值与不变 【解惑】如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，及两定点，． (1)设是反比例函数图像上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值． (2)设直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，． （2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率． （2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值． 【答案】(1)证明见解析， (2)（2.1）线段长度的最小值为，；（2.2）固定不变 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数关系，二次根式的混合运算； （1）设，根据距离公式表示出、，再求出，，最后根据计算即可； （2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，，，然后根据求最小值即可； （2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点， ∴设， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴固定不变； （2）解：（2.1）设直线解析式为，，， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 联立整理得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为， ∵直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，， ∴， ∴， ∴； （2.2）设直线解析式为，，， 联立整理得，， ∴，， ∵当时，，则， 当时，，解得，则，， ∴ ， ∴固定不变． 2．已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【答案】(1)， (2)的面积不变． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先把代入反比例函数求出，再将代入反比例函数解析式即可得解； （2）根据反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； （2）解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． 3．如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点． (1)求的值； (2)以线段为对角线作正方形（如图③），点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1) (2)结论：的值不发生改变，，证明见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （2）连结，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作轴，垂足为点F，则， ∴, ∵， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴设， ∵四边形是平行四边形，且， ∴是向右平行一个单位，再向下平移2个单位所得， ∴， ∵点D，C在的图象上， ∴， 解得，， ∴； （2）解：结论：的值不发生改变，理由如下： 如图，连， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形中，，而， 所以，， ∵四边形内角和为， ∴． ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)连结，设点为轴上一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 2．如图，在同一直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象的一个交点为． (1)求的值及反比例函数的解析式． (2)若点在轴上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 3．如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且． (1)求一次函数关系式和的值； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．    【基础应用】 （1）求k的值； （2）求直线的函数表达式； 【拓展应用】 （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 3．已知点、点在反比例函数图象上，点C是x轴上的一个动点． (1)求k的值； (2)若，，试判断的形状，并说明理由； (3)若点C在x轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点C的坐标． 类型三、反比例函数中的直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 2．如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 3．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 类型四、反比例函数中的等边三角形 【解惑】如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上， (1)求直线的解析式； (2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． (1)点A的坐标为_____，k的值为___； (2)求四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，已知为等边三角形，，点C为的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与交于点D，，点B的横纵坐标之和为． (1)点C的坐标为________；（请直接写出结果） (2)求反比例函数的解析式； (3)求线段的长度． 类型五、反比例函数中的平行四边形 【解惑】如图，平面直角坐标系中，的图象经过，． (1)求k和m的值； (2)在第一象限内取一点D，使得四边形为平行四边形，求直线的函数解析式． 【融会贯通】 1．如图，已知函数的图像与x、y轴分别相交于A、B两点，的边与y轴交于点E，且E为中点，反比例函数的图像经过C、D两点． (1)求k的值； (2)已知点P在该双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试写出所有满足条件的点P、Q的坐标． 2．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段的中点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向右平移3个单位长度后得到直线，直线交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接，，求的面积； (3)请结合图象，直接写出不等式的解集； (4)在坐标平面内，直接写出点M的坐标，使以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形． 类型六、反比例函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． (1)求点的坐标以及的值； (2)连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； (3)点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 【融会贯通】 1．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在直角坐标平面内，直线与y轴交于点A，与双曲线交于点B． (1)连结，如果的面积为6，求直线的表达式； (2)点C在x轴负半轴上，点D在的延长线上，如果四边形是菱形，求点B的坐标． 3．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、反比例函数中的矩形 【解惑】棱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数图象上； 【融会贯通】 1．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点M，N．连接，． (1)若，，求反比例函数的表达式． (2)判断 (填“”“”或“”)． (3)小颖说“若M是边的中点，则N是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 类型八、反比例函数中的正方形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为与反比例函数的图象交于点，点． (1)求所在直线的解析式． (2)求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点是线段上一动点，点是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 类型九、反比例函数中的角度问题 【解惑】一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，若点为线段上一点，且，连接，求； (3)直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧； (1)若点A的坐标，点B的坐标为，请你求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)点A的横坐标为1，，求出k的值． (3)若反比例函数的图象经过点，点是双曲线上的一动点过B作y轴的垂线，垂足为C，点D是坐标系中的另一点．若以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为多少． 3．如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 类型十、反比例函数中的定值与不变 【解惑】如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，及两定点，． (1)设是反比例函数图像上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值． (2)设直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，． （2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率． （2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值． 2．已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 3．如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点． (1)求的值； (2)以线段为对角线作正方形（如图③），点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$